2013年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)

12013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2013年湖北，理1，5分】在复平面内，复数2i1iz（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限【答案】D【解析】2ii(1i)1i1iz，则1iz，其对应点1,1Z位于第四象限，故选D．（2）【2013年湖北，理2，5分】已知全集为R，集合1{()1}2xAx，2{680}Bxxx，则ABRð（）（A）{0}xx（B）{24}xx（C）{024}xxx或（D）{024}xxx或【答案】C【解析】∵26802,4xxxx，1102xx，∴ABRð{024}xxx或，故选C．（3）【2013年湖北，理3，5分】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）（A）()p∨()q（B）p∨()q（C）()p∧()q（D）p∨q【答案】A【解析】因为p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则p是“没有降落在指定范围”，q是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()p∨()q，故选A．（4）【2013年湖北，理4，5分】将函数3cossin()yxxxR的图象向左平移(0)mm个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）（A）π12（B）π6（C）π3（D）5π6【答案】B【解析】因为3cossin()yxxxR可化为2cos()6yxxR，将它向左平移6个单位得2cos()2cos66yxx，其图像关于y轴对称，故选B．（5）【2013年湖北，理5，5分】已知π04，则双曲线1C：22221cossinxy与2C：222221sinsintanyx的（）（A）实轴长相等（B）虚轴长相等（C）焦距相等（D）离心率相等【答案】D【解析】对于双曲线1C，有1sincos222c，cos1ace．对于双曲线2C，有222222tansecsin)tan1(sinc，cos1sintanace．即这两双曲线的离心率相等，故选D．（6）【2013年湖北，理6，5分】已知点(1,1)A、(1,2)B、(2,1)C、(3,4)D，则向量AB在CD方向上的投影为（）（A）322（B）3152（C）322（D）3152【答案】A2【解析】2,1AB（），5,5CD（），则AB在CD方向上的射影为22(2,1)(5,5)251532cos25255ABCDABCD，故选A．（7）【2013年湖北，理7，5分】一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731vttt（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）（A）125ln5（B）11825ln3（C）425ln5（D）450ln2【答案】C【解析】令25()731vttt=0，解得4t或83t（不合题意，舍去），即汽车经过4秒中后停止，在此期间汽车继续行驶的距离为4442000253()d(73)d725ln(1)425ln512vtttttttt，故选C．（8）【2013年湖北，理8，5分】一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V，2V，3V，4V，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（）（A）1243VVVV（B）1324VVVV（C）2134VVVV（D）2314VVVV【答案】C【解析】显然23VV，所以B不正确．又2217(2121)33V，22122V，3328V，224128(4242)33V，从而2134VVVV，故选C．（9）【2013年湖北，理9，5分】如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值()EX（）（A）126125（B）65（C）168125（D）75【答案】B【解析】125个同样大小的小正方体的面数共有125×6=750，涂了油漆的面数有25×6=150．每一个小正方体的一个面涂漆的频率为15017505，则它的涂漆面数为X的均值()EX16655，故选B．（10）【2013年湖北，理10，5分】已知a为常数，函数()(ln)fxxxax有两个极值点1x，212()xxx，则（）（A）1()0fx，21()2fx（B）1()0fx，21()2fx（C）1()0fx，21()2fx（D）1()0fx，21()2fx【答案】D【解析】'()ln12fxxax，由()(ln)fxxxax由两个极值点，得'()0fx有两个不等的实数解，即ln21xax有两个实数解，从而直线21yax与曲线lnyx有两个交点．过点0,1作lnyx的切线，设切点为00,xy，则切线的斜率01kx，切线方程为011yxx．切点在切线上，则00010xyx，又切点在曲线lnyx上，则00ln01xx，即切点为1,0，切线方程为1yx．再由直线21yax与曲线lnyx有两个交点，知直线21yax位于两直线0y和1yx之间，如图所示，其斜率2a满足：021a，解得102a．则这函数的两个极点12,xx满足1201xx，所以12()(1)()fxffx，而1(1)(,0)2fa，即12()()fxafx，所以121()0,()2fxfx，故选D．3二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（11）【2013年湖北，理11，5分】从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示（1）直方图中x的值为_________；（2）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为．【答案】（1）0.0044（2）70【解析】（1）1[150(0.00600.003620.00240.0012)]0.004450x．（2）用电量落在区间[100,250)内的户数为(0.00360.00600.0044)5010070．（12）【2013年湖北，理12，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i．【答案】5【解析】已知初始值10,1ai，∵104a，则执行程序，得5,2ai；因为54a，则执行程序，得16,3ai；164a，则第三次执行程序，得8,4ai；∵84a，则第四次执行程序，得4,5ai；∵4a，执行输出i，5i．（13）【2013年湖北，理13，5分】设,,xyzR，且满足：2221xyz，2314xyz，则xyz．【答案】3147【解析】由柯西不等式得2222222()()1(23)32xyzxyz＋＋＋＋＋＋当且仅当123xyz时等号成立，此时2yx，3zx．∵2221xyz＋＋=，2314xyz++，∴1414x，21414y，31414z．∴614314147xyz．（14）【2013年湖北，理14，5分】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，，第n个三角形数为2(1)11222nnnn．记第n个k边形数为(,)(3)Nnkk，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数211(,3)22Nnnn，正方形数2(,4)Nnn，五边形数231(,5)22Nnnn，六边形数2(,6)2Nnnn，…………可以推测(,)Nnk的表达式，由此计算(10,24)N________．【答案】1000【解析】由题中数据可猜想：含2n项的系数为首项是12，公差是12的等差数列，含n项的系数为首项是12，公差是12的等差数列，因此22111124()33222222Nnkkkknknnn，．故2210,241110111010101000Nnn．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）（15）【2013年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E．若3ABAD，则CEEO的值为_______．【答案】8【解析】根据题设，易知3OCAODO，RtRtRtODEDCEOCD∽∽，∴31ODCDOCOEDEOD，即39COODOE，在RtODE中，22222298DEDOOEOEOEOE，在RtCDE中，422222229864CECDDEDEDEDEOE，即2264CEEO，∴8CEEO．（16）【2013年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为cos,sinxayb（为参数，0ab）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为π2sin()42m（m为非零常数）与b．若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为．【答案】63【解析】椭圆C的方程可以化为22221xyab，圆O的方程可化为222xyb，直线l的方程可化为xym，因为直线l经过椭圆的焦点，且与圆O相切，则cm，22bm，22622mamm，所以椭圆的离心率6362cmeam．三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2013年湖北，理17，11分】在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c．已知cos23cos()1ABC．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积53S，5b，求sinsinBC的值．解：（1）由cos23cos()1ABC，得22cos3cos20AA，即(2cos1)(cos2)0AA，解得1cos2A或cos2A（舍因为0πA，所以π3A．（2）由1133sin53,2224SbcAbcbc得20bc．又5b，知4c．由余弦定理故21a．又由正弦定理得222035sinsinsinsinsin2147bcbcBCAAAaaa．（18）【2013年湖北，理18，12分】已知等比数列{}na满足：23||10aa，123125aaa．（1）求数列{}na的通项公式；（2）是否存在正整数m，使得121111maaa？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．解：（1）设等比数列{}na的公比为q，则由已知可得331211125||10aqaqaq，解得1533aq，或151aq