2011年湖北高考理科数学试卷及答案详解-WORD版-(答案超级详细)-2

2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学（理工农医类）本试卷共4页，三大题21小题。满分150分，考试时间120分钟。★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。4.考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。1.i为虚数单位，则201111ii(A)-1(B)-i(C)1（D)i解析：选B。2111121112iiiiiiiii，故2011201111iiii2.已知21log,1,,2UyyxxPyyxx，则UPð(A)1,0,2(B)10,2(C)0,(D)1,2解析：选D2log,10Uyyxxyy，11,202Pyyxyyx，故UPð12yy，即为1,23.已知函数3sincos,fxxxxR，若1fx，则x的取值范围为(A)22,3PxkxkkZ(B)522,66PxkxkkZ(C),3PxkxkkZ(D)5,66PxkxkkZ解析：选A.3sincos2sin6fxxxx，令1fx得：1sin62x，于是522,666kxkkZ，解之即得A。4.将两个顶点在抛物线22ypx0p上，另一个顶点是抛物线焦点的正三角形个数记为n，则(A)0n(B)1n(C)2n(D)3n解析：选C.当抛物线上的两点关于x轴对称时，显然可能和焦点组成正三角形，这样的三角形有2个，当抛物线的一点为原点时，取原点与焦点的中垂线与抛物线相交得到两点2,42pp，因2324pp，故此时不能得到正三角形，于是一共有2个满足条件的正三角形。5.已知随机变量服从正态分布22,N，且40.8P，则02P(A)0.2(B)0.3(C)0.4(D)0.6解析：选B。由服从正态分布22,N，得222240.8PP，故2222222202000.80.50.3PPP6.已知定义在R上的奇函数fx和偶函数gx满足20,1xxfxgxaaaa且，若2ga，则2f(A)2a(B)2(C)154(D)174解析：选C。2xxfxgxaafxgx，代入2xxfxgxaa，得：,2xxfxaagx，又2ga，故2a，于是22xxfx，故2f1547.如图，用K、12AA、三类不同的原件连接成一个系统，当K正常工作且12AA、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、12AA、正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为(A)0.960(B)0.864(C)0.720(D)0.576解析：选B。分两种情况：①K正常且12AA、中一个正常，②全部正常。故0.910.80.80.910.80.80.90.80.80.864P8.已知向量,3,2,axzbyzab，且，若x，y满足不等式1xy，则z的取值范围为：(A)3,3(B)3,2(C)2,2(D)2,3解析：选A。由ab得：22330xzyz，即23zxy，易知1xy所表示的区域如图所示：故易得23zxy在0,10,1和上分别取最小值-3和最大值3。9.若实数a，b满足0,0,0abab且，则称a与b互补，记22,ababab，那么,0ab是a与b互补的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析：选C。2222,00abababababab，故,ab至少有一个为0，不妨设0a，由222ababbb，于是0b，同理可证：0a，故,ab互补；反之若,ab互补，由0,0,0abab且，不妨设0a则222,00abababbb，即,0ab。综上。,0ab是a与b互补的充要条件。10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137衰变过程中，其含量M(太贝克/年)与时间t(单位：年)满足函数关系：3002tMtM，其中M0为t=0时铯137的含量，已知t=30时，铯137含量的变化率为-10ln2(太贝克/年)，则M（60）=(A)5太贝克(B)75ln2太贝克(C)150ln2太贝克(D)150太贝克解析：选A。30012ln230tMtM，因为t=30时，铯137含量的变化率为-10ln2，所以30300013010ln22ln260030MMM，故2606002150M。二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.11.1813xx的展开式中，含15x的项的系数为17.（结果用数值表示）解析：1813xx的通项为：1811813rrrrTCxx，x的指数为13181822rrr，令3181522rr，故15x的项的系数为22181173C12.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为28145.（结果用最简分数表示）解析：2272301CpC28145。13.《九章算术》“竹九节”问题：现有1根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为6766升.解析：设九节竹子的容积分别为：129,,,aaa，由题意：12343aaaa，7894aaa，解得：11322a，766d，于是5a676614.如图，直角坐标系xOy所在的平面为，直角坐标系xOy（其中y轴与y轴重合）所在的平面，45xOx（Ⅰ）已知平面内有一点222P，，则点P在平面内的射影P的坐标为2,2（Ⅱ）已知平面内的曲线C/的方程是222220xy，则曲线C/在平面内的射影C的方程是2211xy解析：设平面内的点,xy在平面内的射影为,xy，则2cos45,2xxxyy，故222P，在平面内的射影P的坐标为2,2；另：由222220xy得2222220xy，即2211xy15.给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色，4n时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有21种.，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有43种。（结果用数值表示）解析：由图：设黑色正方形互不相邻的着色方案共有na种，则12342,3,5,8aaaa，于是这个数列满足21nnnaaa，所以5613,21aa。至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有66243a种。三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分10分）设ABC的内角A、B、C所对的边分别是,,abc，已知11,2,cos4abC，（Ⅰ）求ABC的周长（Ⅱ）求cosAC的值。解析：（Ⅰ）22212cos1444,24cababCc，故ABC的周长为1225abc。（Ⅱ）115cos,sin44CC，sin15sin8aCAcacAC，故A为锐角，7cos8A11coscoscossinsin16ACACAC17.（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改变整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0,，当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时。研究表明：当20200x时，车流速度v是车流密度x的一次函数。（Ⅰ）当0200x，求函数vx的表达式；（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）fxxvx可以达到最大，并求出最大值。（精确到1辆/小时）解析：（Ⅰ）由题意：当020x时，vx=60，当20200x时，设vxaxb。再由已知得：2000,2060,abab解得：1,3200,3ab故函数vx的表达式为60,0201200,202003xvxxx（Ⅱ）由题意及（Ⅰ）可得：60,0201200,202003xxfxxxx当020x时，fx为增函数，故当20x时，其最大值为60201200；当20200x时，220011100002003323xxfxxx，当且仅当200,100xxx即时，等号成立。所以，当100x时，fx在区间20,200上取得最大值100003。综上，，当100x时，fx在区间20,200上取得最大值1000033333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。18.（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱111ABCABC的各棱长是4，E是BC的中点，动点F在侧棱1CC上，且不与点C重合（Ⅰ）当CF=1时，求证：1EFAC;（Ⅱ）设二面角C-AF-E的大小为，求tan的最小值。解析：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则有已知可得0,0,0A,23,2,0B,0,4,0C,10,0,4A,3,3,0E,0,4,1F于是10,4,4CA，3,1,1EF，则10CAEF，故1EFAC（Ⅱ）设,04CF,平面AEF的一个法向量为,,mxyz，则由（Ⅰ）得：0,4,F，3,3,0AE,0,4,AF,于是由mAE,mAF可得00mAEmAF,即33040xyyz，取3,,4m又由直三棱柱的性质可取侧面1AC的一个法向量为1,0,0n，于是又由为锐角可得：23cos24mnmn，2216sin24，所以2216116tan333。由04，得114，即116tan333故当4时，即点F与点