2008湖北高考理科数学真题解析

2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）本试卷共4面，满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本次题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（08湖北理1）设a=(1,－2),b=(－3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=A.(－15,12)B.0C.－3D.－111.C2.（08湖北理2）若非空集合A,B,C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件C.“x∈C”是“x∈A”的充要条件D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件2.B3.（08湖北理3）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为A.38B.328C.28D.3323.B4.（08湖北理4）函数f(x)=)4323(1122xxxxnx的定义域为A.(－∞,－4)∪［2,+∞］B.(－4,0)∪(0,1)C.［－4,0］∪（0，1）D.［－4，0］∪（0，1）4.D5.（08湖北理5）将函数y=3sin（x－θ）的图象F按向量（3，3）平移得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线x=4,则θ的一个可能取值是A.125B.125C.1211D.－12115.A6.（08湖北理6）将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为A.540B.300C.180D.1506.D7.（08湖北理7）若f(x)=21ln(2)2xbx在(-1,+)上是减函数，则b的取值范围是A.[－1，+∞)B.（－1，+∞）C.（－∞，－1]D.（－∞，－1）7.C8.（08湖北理8）已知m∈N*,a,b∈R，若0(1)limmxxabx,则a·b=A．－mB．mC．－1D．18.A9.（08湖北理9）过点A（11，2）作圆22241640xyxy的弦，其中弦长为整数的共有A.16条B.17条C.32条D.34条9.C10.（08湖北理10）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a1+c1=a2+c2;②a1－c1=a2－c2;③c1a2＞a1c2;④11ac＜22ca.其中正确式子的序号是A.①③B.②③C.①④D.②④10.B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上.11.（08湖北理11）设z1是复数，z2=z1－i1z(其中1z表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部为.11.112．（08湖北理12）在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bccosA+cacosB+abcosC的值为.12.61213.（08湖北理13）已知函数f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x2－6x+2,其中x∈R，a,b为常数，则方程f(ax+b)=0的解集为.13.14.（08湖北理14）已知函数f(x)=2x,等差数列{ax}的公差为2，若f(a2+a4+a6+a8+a10)=4,则log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]=.14.－615.（08湖北理15）观察下列等式：2123213432111,22111,326111,424nininiinninnninnn454311111,52330niinnnn5654211151,621212niinnnn67653111111,722642niinnnnn……………………………………212112101,nkkkkkkkkkiiananananana可以推测，当k≥2（k∈N*）时，1111,,12kkkaaakak－2=.15.12k，0三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（08湖北理16）（本小题满分12分）已知函数f(t)=117,()cos(sin)sin(cos),(,].112tgxxfxxfxxt（Ⅰ）将函数g(x)化简成Asin(ωx+φ)+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的形式；（Ⅱ）求函数g(x)的值域.16.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分）解：（Ⅰ）1sin1cos()cossin1sin1cosxxgxxxxx2222(1sin)(1cos)cossincossinxxxxxx1sin1coscossin|cos||sin|xxxxxx17,,coscos,sinsin,12xxxxx1sin1cos()cossincossinxxgxxxxxsincos2xx＝2sin2.4x（Ⅱ）由1712x＜，得55.443x＜sint在53,42上为减函数，在35,23上为增函数，又5535sinsin,sinsin()sin34244x＜＜（当17,2x），即21sin()222sin()23424xx＜，＜，故g(x)的值域为22,3.17.（08湖北理17）（本小题满分12分）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；（Ⅱ）若η=aξ－b,Eη=1,Dη=11,试求a,b的值.17.本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.（满分12分）解：（Ⅰ）的分布列为：01234P1212011032015∴11131012341.5.22010205ED2222211131(01.5)(11.5)(21.5)(31.5)(41.5)2.75.22010205（Ⅱ）由DaD2，得a2×2.75＝11，即2.a又,EaEb所以当a=2时，由1＝2×1.5+b,得b=－2;当a=－2时，由1＝－2×1.5+b，得b=4.∴2,2ab或2,4ab即为所求.18.（08湖北理18）（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1.（Ⅰ）求证：AB⊥BC；（Ⅱ）若直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角A1－BC－A的大小为，试判断θ与的大小关系，并予以证明.18.本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.（满分12分）（Ⅰ）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B,得AD⊥平面A1BC,又BC平面A1BC，所以AD⊥BC.因为三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC.又AA1AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC.（Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，1ABA是二面角A1—BC—A的平面角，即1,,ACDABA于是在Rt△ADC中，sin,ADAC在Rt△ADB中，sin,ADAB由AB＜AC，得sinsin＜，又02＜，＜，所以＜，解法2：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=a,AC=b,AB=c,则B(0,0,0),A(0,c,0),221(,0,0),(0,,),CbcAca于是221(,0,0),(0,,),BCbcBAca221(,,0),(0,0,).ACbccAAa设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z)，则由10,0,nBAnBC得0022xcbazcy可取n=(0,－a,c)，于是0nACacAC＞，与n的夹角为锐角，则与互为余角.22||||cossincabacACnACn1221cos,BABAcBABAac所以22sin,aac于是由c＜b，得2222,acabacac＜即sinsin,＜又0,2＜，＜所以,＜19.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分13分）（Ⅰ）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（－2，0），B（2，0），D(0,2)，P（1,3），依题意得|｜MA｜－｜MB｜|=｜PA｜－｜PB｜＝221321)32(2222＝）（＜｜AB｜＝4.∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c＝2，2a＝22，∴a2=2,b2=c2－a2=2.∴曲线C的方程为12222yx.解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得|｜MA｜－｜MB｜|=｜PA｜－｜PB｜＜｜AB｜＝4.∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设双曲线的方程为abyax(12222＞0，b＞0）.则由.4,11)3(222222baba解得a2=b2=2,∴曲线C的方程为.12222yx(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1－K2）x2－4kx－6=0.①∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，∴,0)1(64)4(,01222kkk.33,1kk∴k∈（－3,－1）∪（－1，1）∪（1，3）.②设E（x1，y1），F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=kxxkk16,14212,于是｜EF｜＝2212221221))(1()()(xxkyyxx＝.132214)(1222212212kkkxxxxk而原点O到直线l的距离d＝212k，∴S△DEF=.132213221122121222222kkkkkkEFd若△OEF面积不小于22,即S△OEF22，则有　解得.22,022213222422kkkkk③综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[－2，－1]∪(-1,1)∪(1,2).解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1－K2）x2－4kx－6=0.①∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，∴.0)1(64)4(,01222kkk33,1kk.∴k∈（－3，－1）∪（－1，1）∪（1，3）.②设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得｜x1－x2｜=.132214)(22221221kkkxxxx③当E、F在同一支上时（如图1所示），S△OEF＝;21212121xxODxxODSSODEODF当E、F在