武汉大学电动力学-刘觉平第7章习题答案

第七章电磁波的传播目录：习题7.1定态电磁波..............................................................................2习题7.2绝缘介质中的平面电磁波......................................................5习题7.3导电介质中的平面电磁波......................................................7习题7.4平面电磁波在绝缘介质界面上的反射与折射...................10习题7.5全反射....................................................................................23习题7.6电磁波在导体面上的反射与折射.......................................29最后一节没有处理。习题7.11.证明:对于定态电磁波,方程(7.1.27)或(7.1.28)与Maxwell方程组等价.证:(7.1.27)式为(在导电介质中)2222()0,0kEkEiHE)3()2()1(导电介质Maxwell方程组为00fEiBHiDjHiEBD)7()6()5()4(课本已经论述，方程（4）（5）可以推出方程（6）（7）因此下面只要证明方程组（4）（5）与方程组（1）（2）（3）等价。○1(4)(5)(1)(2)(3)由于BH，所以iEiBHE，即方程(4)与方程（3）等价由于DE，所以有(7)(2)将（4）代入（5）即可得到22221()0,EiEkEki○2证明(1)(2)(3)(4)(5)方程(4)与方程（3）等价；对（3）作用旋度22iiHEHEEiHE将（1）式代入即得（5）.因此(7.1.27)式与Maxwell方程组等价。(7.1.28)式为2HiEHHk00)(22)10()9()8(显然(10)(5)对（10）作用旋度，并将（8）代入即可得到（4）所以(7.1.28)式可以推出Maxwell方程组显然(6)(9)将（5）代入（4）可以得到（8）。因此(7.1.28)式与Maxwell方程组等价。2.利用电荷守恒定律在边界上的形式:证明:对于定态电磁波，电磁场的四个边值关系中仅有两个是独立的。证:电荷守恒定律在边界上的形式为:)()(22122212ffffffffjjnijjnt---(1)电磁场的边值关系只有两个独立的方程fHHnEEn)(0)(12121212对上式两边求散度,得根据)()()(gffggffHHnnEEnn)]([0)]([121212121212根据Maxwell方程组fHHnEEn)]([0)]([12121212fjDiHBiE所以0)(1212BBn,iDDn1)(1212[2212(fffjjn)]=f3.证明：任意一对随时间简谐变化的复矢量F和G的乘积对时间的平均值由下式决定**11ReReRe()Re()22FGFGFG式中ReF表示取F的实部，而这里的叉积“”可以全部换成标积。证明：F和G为任意一对随时间简谐变化的复矢量，可表示为exp()FFit200111ReRelimReRelimcos()2TTTTFGFGdtFGtdtFGTT22costcosttFGt当时，随变化十分迅速，可以看作是常量。因此可以先对求平均。因为它是迅速地一个周期一个周期地变化，因此可以用一个周期上的平均值代替。2011cos2xdx2011ReRelimcos()2TTFGFGtdtFGT*111Re()Re(exp())()222FGFGititFG*111Re()Re(exp())()222FGFGititFG得证对于标积，200111ReRelimReRelimcos()2TTTTFGFGdtFGtdtFGTT*111Re()Re(exp())()222FGFGititFG*111Re()Re(exp())()222FGFGititFG**11ReReRe()Re()22FGFGFG习题7.21、考虑沿同一方向传播的一个波包00,exp[]kkkkuztdkCkitkz式中00/kc，k很小，且Ck是k的缓变函数。试证：(1)在0k附近可近似将波包写成,,exp[]uztCztitkz式中波包的包络,Czt为0sin,2CztCkk其中0[]dtzkdk(2)整个波包在空间移动的速度即所谓群速度为0/gvddk(3)这一群速度等于波包能量的传输速度。证：（1）00,exp[]kkkkuztdkCkitkz对C（k）,ω(k)做泰勒展开，取一级近似。C(k)=C(0k)+00()dCkkdk000()dkkdk令0kkk由于Ck是k的缓变函数，所以C(k)C(0k)+0=C(0k)；00()dkdk；,于是，000000,exp[]=exp[]'exp[()]kkkkkkuztdkCkitkzdCkitkzdkitzkdk由于积分的对称性，00000,=2exp[]'cos()kduztCkitkzdktzkdk令00()',()ddtzktzkdkdk所以0000,=2exp[]'cos'kuztCkitkzd000sin,2exp[]uztCkitkzk00(,)exp[]Cztitkz其中，0sin(,)2CztCkk（2）群速度即为等振幅面传播的速度。而振幅(,)Czt为常量即为常量上式两边对时间求导得0()gdzdvdtdk（3）因为能量正比于振幅的平方。而波包的包络正是振幅。群速度即为等振幅面传播的速度，所以群速度等于波包能量的传播速度。2、证明群速度/gvddk满足11gpdnvvnd式中n是介质的折射率。设空气的折射率为1821.000271.510/n，的单位为m试问，平均波长为550nm的1ns的光脉冲在空气中传播10km所需要的时间比它在真空中传播同样距离所需时间长多少？证：gv()pppdvkdvvkdkdk代入2,pckvn2222gpcdnnvvd1ppvdnnvd(1)pdnvnd与命题并不一致，但是显然，当dnnd是小量时，111ppdndnvvndnd，两者是一致的。而本题，18633.0109.91610dnndn确实很小，两者应相当接近。3310101010gtvc33210101010ccdncnnd89.3(8.84,matlabc2.997910m/s)nsns用计算的，且取光速习题7.3**1..,0ii(i)ii2i0,0kkkkkk按定义，若一平面波的振幅矢量在等相位面上为常矢量，则此平面波为均匀平面波证明：对一复波矢若，则它为平面波，否则为非均匀平面波.证：令，则（）故有，从而与在同一条直线上，即0000E,EBexp[i(xt)]EBexp[i(x)]exp[i(xt)]xxBk方向相同或相反，从而与垂直的平面和与垂直的平面互相平行.平面波是下述不同频率的单色平面波的线性叠加，（）（，）（，）由上式可知，等相位面方程为常量，即垂直于的平面.而等幅面方程为常量，即垂直于的平面.故因为垂直的平面和与垂直的平面互相平行，故此平面波的振幅矢量在等相位面上为常矢量，从而它为均匀平面波.c0002222c2.300MHz4S/m9.E10V/m,Helmholtz(k)0,ki,ki.(1)xezE有一的均匀平面波在有耗介质中传播。该有耗介质的电导率为，介电常量与磁导率分别为=与若此波的电场振幅矢量为（）且沿方向传播.写出时域内电磁场强度的表达式并求能流密度矢量.解：此平面波满足方程式中，它具有下述单色平00EEexp[i(xt)]Eexp(x)exp[i(xt)]2k面波解（）zz112222cc2222112222cc22223(1)311[11]2[11]422(2)11[1+1]2[1+1]522(2)zeeffff由平面波均匀以及沿方向传播的条件，知，（）综合（）两式可得（）（）代入数据得1180z67.5,70.12EEexp(x)exp[i(xt)]{10exp67.5exp[i(70.12310t)]V/m}EiB11BikEiEi170167.5i{10exp67.5xmmzzeez代入（）式及数据得（-）再由频域中的定态麦克斯韦方程得（）（.）（-88y888exp[i(70.12310t)]V/m}170167.5i{10exp67.5exp[i(70.12310t)]V/m}2310EBReE{10exp67.5icos(70.12310t)V/m}1ReB{10exp67.52310701cos(70.1xxzezzezzez）（.）（-）取，的实部得（-）（-）[.88y8-7888-2-1z2310t)67.5sin(70.12