第一章 行列式(2)

0..................................................0...0...221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa线性代数是高等学校理工科各专业和经济管理类专业的一门重要基础课，也是在自然科学和工程技术各个领域中广泛应用的数学工具。它不但是学习数值分析、最优化方法、离散数学和微分方程等数学课程的基础，也广泛地应用于工程学、计算机科学、物理学、生物学、经济学、统计学、力学、信号与信号处理、系统控制、通信、航空等学科和领域。随着现代科技的飞速发展和计算机的广泛应用，线性代数在理论和应用上的重要性更加突出行列式起源于线性方程组的求解问题,早在1693年德国数学家Leibniz就使用了行列式,1750年Cramer建立了求解线性方程组的行列式基本公式.现在,行列式已经是数学中的一个基本概念.本章主要介绍n阶行列式的定义、性质及其计算方法,最后介绍用n阶行列式求解n元线性方程组的Cramer法则.本章的重点内容是行列式的计算,主要是利用行列式性质计算行列式。§1二阶与三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式：二元线性方程组：22221211212111bxaxabxaxa（1.1）分别消去变量x2、x1可得：(a11a22－a12a21)x1=b1a22－a12b2；(a11a22－a12a21)x2=a11b2－b1a21；当a11a22－a12a21≠0时，求得方程组(1.1)的解为：第一章行列式222121212221ababbaab153123)1(626312781542353425例如：11122122aaaa11122122aaaa上述二阶行列式的定义可用对角线法则记忆。于是有：若记：11122122,aaDaa则(1.1)的解为：DDxDDx2211，1112112212212122aaaaaaaa，即：称a11a22－a12a21为数表所确定的二阶行列式,记为1121222b,baDa1112212bbaDa221111211211,babaabba211222112112112211222112122211aaaaabbaxaaaabaabx，例1求解二元线性方程组：731322121xxxx解由于1332D因此2112211DDx17311D73122D，。，1111122DDx，011922211二、三阶行列式类似地,设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211aaaaaaaaa（1.2）（1.3）(1.3)式称为数表(1.2)所确定的三阶行列式。111213212223313233aaaaaaaaa332211aaa312312aaa322113aaa322311aaa332112aaa312213aaa记)(3223332211aaaaa323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa)(3321312312aaaaa)(3122322113aaaaa323142321D例2计算三阶行列式例3求解方程0421641112xx解方程左端的三阶行列式即2x2－12x+16=0，解得x=2或x=4。解D=12－6+12+36+12+2=68D=4x2+32+4x－16x－16－2x2=2x2－12x+16对三元线性方程组：333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa若记：332312222111211333331232211311123332323222131211333231232221131211baabaabaaDabaabaabaDaabaabaabDaaaaaaaaaD，，则当系数行列式D≠0时，仍然有解：DDxDDxDDx332211，，§2n阶行列式的定义三阶行列式可由二阶行列式定义为：同样的,二阶行列式也可以由一阶行列式定义为：特别的,只由一个数a11排成一行一列的表也可以定义一阶行列式：111213212223313233aaaaaaaaa323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa|a11|＝a112112221122211211aaaaaaaa定义1.1设有n2个数，排成n行n列的数表nnnnnnaaaaaaaaa.....................212222111211此表对应的如下形式的一个数值:称为此表对应的n阶行列式。nnnnnnnnAaAaAaaaaaaaaaaD1112121111212222111211.....................其中,aij(i=1,2,…,n,j=1,2,…,n)称为行列式的第i行,第j列元素；A1j＝(－1)1＋jM1j(j＝1,2,…,n),M1j为D中划掉第一行,A12=(－1)1+2M12=32.和第j列的所有元素后,按原顺序排成的n－1阶行列式,即nnnjnjnnjjnjijjaaaaaaaaaaaaM11131313312122211并称M1j是D的元素a1j的余子式,A1j是元素a1j的代数余子式.例如,对行列式:3421023214131231D有M12=32341022143例4计算n阶对角行列式解按定义有11aaaDnnn121aaaaDnnnn1nnDa21nnnDaa231Daaann11aaann即,对角行列式等于对角线元素的乘积。12122aaaaD例5计算n阶下三角行列式解按定义有nnnnnaaaaaaaaaaD3321333231222111nnnnnaaaaaaaaaaD3321333231222111nnnnaaaaaaa2133322211nnaaa2211即,下三角行列式等于对角线元素的乘积。例6计算n阶行列式解按定义有11bbbDnnn1211)1(bbbbDnnnnn11)1(nnnDb2121)1()1(nnnnnDbb231221)1()1()1(Dbbbnnnn12122bbbbD11)1(nnnDb112)1()1(bbbnnnn§3行列式的性质给定的行列式nnnnnnaaaaaaaaaD.....................212222111211,称相应的行列式nnnnnnTaaaaaaaaaD.....................212221212111为D的转置行列式,也记为D。性质1行列式与其转置行列式相等。即D=DT。由此性质可知,行列式中的行与列具有相等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列同样成立，反之亦然。例7计算n阶上三角行列式解由性质1可得：nnnnnaaaaaaD22211211nnnnnaaaaaaD21221211nnaaa2211即,上三角行列式也等于对角线元素的乘积。性质2行列式可按任一行(列)展开,即),,2,1(.....................2211212222111211niAaAaAaaaaaaaaaaDininiiiinnnnnn其中,Aij＝(－1)i＋jMij(i,j＝1,2,…,n),Mij为D中划掉第i行和第j列的所有元素后,按原顺序排成的n－1阶行列式。称Mij是元素aij的余子式,Aij是aij的代数余子式。),,2,1(.....................2211212222111211njAaAaAaaaaaaaaaaDnjnjjjjjnnnnnnnnnjnjnnijijiinijijiinjjijaaaaaaaaaaaaaaaaM111111111111111111111111性质2也称为行列式按行(按列)展开定理,用语言描述成:行列式的值等于行列式的任何一行(列)的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和.例8计算行列式解1025003046322053D1025003046322053D105462203)1(3231523)1(6322126)103(63性质3行列式可以按行(列)提取公因子，即推论行列式中某一行(列)元素全为零时,其值为零。nnnniniinnnnniniinaaaaaaaaakaaakakakaaaa212111211212111211nnnjnnjnjnnnjnnjnjaaaaaaaaakakaaakaaakaa122211111122211111性质4若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和,则行列式可分成两个行列式之和。即11121111211112111221212121212...................................................................................................nnniiiiininiiiniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaannnjnnjnjnnnjnnjnjnnnjnjnnjjnjjaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa12221111112221111112222111111性质5行列式两行(列)互换，行列式变号，即nnnniniijnjjnnnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa2121211121121212111211nnninjnnijnijnnnjninnjinjiaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1222211111112222111111推论行列式两行(列)完全相同,则行列式为零.推论行列式两行(列)对应成比例,则行列式为零.推论行列式某行(列)元素与其它行(列)元素的代数余子式乘积之和等于零.即,若D＝|aij|,则ijjninjijijknkikDAaAaAaAa22111ijnjnijijikjnkkiDAaAaAaAa22111其中,jijiij,0,1实际上，nn2n1njn2j1jin2i1in11211jnjn2j2j1j1ja...aa............a...aa............a...aa............a...aaa...aaAAAnn2n1nin2i1iin2i1in11211jnin2j2i1j1ia...aa............a...aa............a...aa............a...aaa...aaAAA=0性质6行列式某一行(列)的若干倍加到另一行(列)对应的元素上，行列式不变,即111211112112121211221212..............................................