公开课：全等三角形的判定1

三角形全等的判定（1）•满足什么样的条件才能保证两个三角形全等呢?（三条边对应相等,三个角对应相等.）•有没有更简单的办法呢?•学校有两块三角形装饰板如下图，小明想知道这两块板是否全等，这两块板很重又固定在墙上，小明只有刻度尺，你能帮小明想个办法吗？FEDABC探索三角形全等的条件1.只给一条边时；3㎝3㎝只给一个条件45◦45◦2.只给一个角时；3cm45◦结论:只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等.如果给出两个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？①两角；③一边一角。②两边；45◦30◦45◦30◦①如果三角形的两个内角分别是30°，45°时结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等.②如果三角形的两边分别为2cm，3cm时3cm3cm2cm2cm结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等.③三角形的一个内角为30°,一条边为3cm时3cm3cm30◦30◦结论:一条边、一个角对应相等的两个三角形不一定全等.两个条件①两角；②两边；③一边一角。结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等。一个条件①一角；②一边；如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？①三角；②三边；③两边一角；④两角一边。①三个角：给出三个条件300700800300700800如30°，70°，80°，它们一定全等吗？结论:三个角对应相等的两个三角形不一定全等.探讨三角形全等的条件：两边一角思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？ABCABC图一图二在图一中，∠A是AB和AC的夹角，符合图一的条件，它可称为“两边及其夹角”。简称边角边（SAS）符合图二的条件，通常说成“两边和其中一边的对角”简称边边角（SSA)已知△ABC，画一个△A′B′C′使A'B'=AB,A'C'=AC,∠A'=∠A。结论:两边及夹角对应相等的两个三角形全等思考：①△A′B′C′与△ABC全等吗？如何验证？画法:1.画∠DA′E=∠A；2.在射线AD上截取A′B′=AB,在射线A′E上截取A′C′=AC;3.连接B′C′.′ACBA′EDCB′′思考：②这两个三角形全等是满足哪三个条件？探索边角边三角形全等判定方法1用符号语言表达为：在△ABC与△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)FEDCBAAC=DF∠C=∠FBC=EF1.在下列图中找出全等三角形ⅠⅥ30ºⅣⅣ5cmⅡⅧⅦⅢ30ºⅢⅤ30º已知：如图，AB=CB，∠ABD=∠CBD△ABD和△CBD全等吗？例1分析:△ABD≌△CBD边:角:边:AB=CB(已知)∠ABD=∠CBD(已知)？ABCD(SAS)现在例1的已知条件不改变,而问题改变成:问AD=CD，BD平分∠ADC吗？已知：如图，AB=CB，∠ABD=∠CBD。问AD=CD，BD平分∠ADC吗？例题推广ABCDABCD练习：已知:AD=CD，BD平分∠ADC。问∠A=∠C吗？ABCD2.已知：四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD求证：AD=BC解：这个方案是正确的在和中ACBDCEDCACDCEACBECBC(已知)（对顶角）（已知）ABDE证明：∴△ACB≌△DCE（SAS）2.已知：如图，AO=BO，DO=CO求证：AD∥CB归纳：判定两条线段相等或二个角相等可以通过从它们所在的两个三角形全等而得到。例3.如图，AC=BD，∠CAB=∠DBA，你能判断BC=AD吗？说明理由。ABCD证明:在△ABC与△BAD中AC=BD∠CAB=∠DBAAB=BA∴△ABC≌△BAD（SAS）(已知)(已知)(公共边)∴BC=AD(全等三角形的对应边相等）例2如图，AC=BD，∠1=∠2求证:BC=AD变式1:如图，AC=BD,BC=AD求证:∠1=∠2ABCD12ABCD12变式2:如图，AC=BD,BC=AD求证:∠C=∠DABCD变式3:如图，AC=BD,BC=AD求证:∠A=∠BABCD•巩固练习1.如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C求证：∠A=∠DECDBFA归纳因为全等三角形的对应角相等，对应边相等，所以，证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题，常常通过证明两个三角形全等来解决。CABDO在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立：(1)如图,在△AOB和△DOC中AO=DO(已知)______=________()BO=CO(已知)∴△AOB≌△DOC（）∠AOB∠DOC对顶角相等SAS(2).如图，在△AEC和△ADB中，已知AE=AD，AC=AB，请说明△AEC≌△ADB的理由。____=____(已知)∠A=∠A(公共角)_____=____(已知)∴△AEC≌△ADB（）AEBDCAEADACABSAS解：在△AEC和△ADB中2.如图，已知OA=OB,应填什么条件就得到：△AOC≌△BOD(只允许添加一个条件)OACDBABCDFE如图,已知AB=DE,AC=DF,要说明△ABC≌△DEF，还需增加一个什么条件？3.如图:己知AD∥BC,AE=CF,AD=BC,E、Ｆ都在直线ＡＣ上，试说明ＤＥ∥ＢＦ。FCBEDA●●●●两直线平行，内错角相等FABDCE例2：点E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF求证（1）△AFD≌△CEB分析：证三角形全等的三个条件∠A=∠C边角边AD//BCAD=CBAE=CFAF=CE？（已知）证明：∵AD//BC∴∠A=∠C又∵AE=CF在△AFD和△CEB中，AD=CB∠A=∠CAF=CE∴△AFD≌△CEB（SAS）∴AE+EF=CF+EF即AF=CE摆齐根据写出结论指范围准备条件(已知）(已证）(已证）FABDCE（两直线平行，内错角相等）如图,AB=AC,AE=AD,∠1=∠2,求证:BD=CE.ABCED12如图EA⊥AD于A，FD⊥AD于D，且AE=DF，AB=DC.求证：CE=BF.ABCDEFDACBE点C是线段AB的中点，CE=CD,∠ACD=∠BCE,求证：AE=BD如图，AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE.求证：△DAC≌△EABEADCB已知：如图，AC⊥BD，C为垂足，AC=DC，CB=CE.求证：DF⊥AB.ABEFCD