中级计量经济学Lecture 5_异方差

1中级计量经济学第五讲：异方差朱燕建浙江大学经济学院2引子：更为接近真实的结论是什么？根据四川省2000年21个地市州医疗机构数与人口数资料，分析医疗机构与人口数量的关系，建立卫生医疗机构数与人口数的回归模型。对模型估计的结果如下：式中表示卫生医疗机构数（个），表示人口数量（万人）。(291.5778)(0.644284)ˆ-563.05485.3735iiYX20.785456R20.774146R69.56003F(-1.931062)(8.340265)tYX3模型显示的结果和问题●人口数量对应参数的标准误差较小；●t统计量远大于临界值，可决系数和修正的可决系数结果较好，F检验结果明显显著；表明该模型的估计效果不错，可以认为人口数量每增加1万人，平均说来医疗机构将增加5.3735个。●然而，这里得出的结论可能是不可靠的，平均说来每增加1万人口可能并不需要增加这样多的医疗机构，所得结论并不符合真实情况。●有什么充分的理由说明这一回归结果不可靠呢？更为接近真实的结论又是什么呢？4本讲讨论四个问题：●异方差的实质和产生的原因●异方差产生的后果●异方差的检测方法●异方差的补救5第一节异方差性的概念本节基本内容：●异方差性的实质●异方差的类型●异方差产生的原因6一、异方差性的实质同方差的含义方差是度量被解释变量的观测值围绕回归线的分散程度，因此同方差性指的是所有观测值的分散程度相同。01122E()...iiikkiYXXXYVar(u)=2I=2101017设模型为如果对于模型中随机误差项有：则称具有异方差性。进一步，把异方差看成是由于某个或某几个解释变量的变化而引起的，则异方差性的含义iu01122...1,2,...,iiikkiiYXXXuin21122200var00nnwuVw221Var()(,,)iiiiPufZZZ，为其中几个解释变量8图形表示XY概率密度9举例1平均工资可能随着公司规模增加而增加，假设工资如下表所示公司规模平均工资工资标准差1-43,3967445-93,78785110-194,01372820-494,10480550-994,146930100-2494,2411,0812504,5381,31010举例2收入储蓄11举例31110112111111111111111,2,,;1,2,,0,var,cov,0111GijijkijkijiijijijlsknnnkGGGnYXXuiGjnEuuijsuuYXXYXXYXXY分组资料对于或者l111111111GGGnkGkGGnGnkGnuuuXXu121112111,,01iiinnniijikijkiijjjjiiiiiYYXXuunnnYXuGEuun取建立模型：观测值个数为可以证明：（2）v（1）ar13二、异方差的类型（1）递增型010020030005000100001500020000XY无论是时间序列数据还是截面数据。递增型异方差的来源主要是因为随着解释变量值的增大，被解释变量取值的差异性增大。14（2）递减型0501001502002500102030YX（3）条件自回归型-8-6-4-20246200400600800100012001400DJPY时间序列数据和截面数据中都有可能存在异方差。经济时间序列中的异方差常为递增型异方差。金融时间序列中的异方差常表现为自回归条件异方差。15（一）模型中省略了某些重要的解释变量假设正确的计量模型是：假如略去，而采用当被略去的与有呈同方向或反方向变化的趋势时,随的有规律变化会体现在中。01122iiiiYXXu2iX*011iiiYXu2iX1iX*iu*iu1iX三、产生异方差的原因16（二）模型的设定误差模型的设定主要包括变量的选择和模型数学形式的确定。模型中略去了重要解释变量常常导致异方差，实际就是模型设定问题。除此而外，模型的函数形式不正确，如把变量间本来为非线性的关系设定为线性，也可能导致异方差。（三）数据的测量误差样本数据的观测误差有可能随研究范围的扩大而增加，或随时间的推移逐步积累，也可能随着观测技术的提高而逐步减小。3iX*iu17（四）截面数据中总体各单位的差异通常认为，截面数据较时间序列数据更容易产生异方差。这是因为同一时点不同对象的差异，一般说来会大于同一对象不同时间的差异。不过，在时间序列数据发生较大变化的情况下，也可能出现比截面数据更严重的异方差。（五）异常值的出现18第二节异方差性的后果本节基本内容：●对OLS参数估计统计特性的影响●对OLS参数显著性检验的影响●方差的怀特调整估计19一、对参数估计统计特性的影响（一）参数估计的无偏性仍然成立参数估计的无偏性仅依赖于基本假定中的零均值假定（即）。所以异方差的存在对无偏性的成立没有影响。E()0iuˆY=X+u=(X'X)-1X'YE()=E[(X'X)-1X'Y]=E[(X'X)-1X'(X+u)]=+(X'X)-1X'E(u)=ˆ20（二）参数估计的方差不再是最小的同方差假定是OLS估计方差最小的前提条件，所以随机误差项是异方差时，将不能再保证最小二乘估计的方差最小。ˆˆˆY=X+u=(X'X)-1X'Y=+(X'X)-1X'uVar()=E[(-)(-)']=E[(X'X)-1X'uu'X(X'X)-1]=(X'X)-1X'E(uu')X(X'X)-1=(X‘X)-1X'VX(X'X)-1=2(X'X)-1X'X(X'X)-12(X'X)-1ˆ21方差协方差阵的特殊表达方式：''2'1111'2''1112'''1,1,,,ˆvarniiiiiikiniiiiniiiiXVXxxxXXXXxxXXXXwxxXX以一元回归为例01112221220varcov,00var0varˆ1ˆvariiiiiiiiiiijnYXuyxuuEuuxuuxuxGLSOLS假设：，，ij时即可以证明：，其中，分别为和估计量23二、对参数显著性检验的影响ˆˆˆˆjjjjjtcSE'222212'ˆˆ1ˆvartteeEEEnkXXtt，常有统计量不服从分布，检验失效，且常被高估24三、方差的怀特调整估计11'2''1211'''1211'''111''02'01ˆvarˆ.varniiiiniiiiniiiiniiiiXXxxXXnXXxxXXneasynXXxxXXnnXXSXXeSxxn普通最小二乘估计失效，当异方差结构未知时，只要样本容量足够大，可采用如下方差-协方差阵其中，2511'''2111'''22111'''2ˆvarˆ.varnnXXXVXXXXXXXXXeasyXXXXXXe或者简单的写成26第三节异方差性的检验常用检验方法:●图示检验法●White检验●B-P检验法●Gleiser检验法●Goldfeld-Quanadt检验●ARCH检验27一、图示检验法（一）散点图分析方差描述的是随机变量取值的（与其均值的）离散程度。因为被解释变量与随机误差项有相同的方差，所以利用分析与的相关图形，可以初略地看到的离散程度与之间是否有相关关系。如果随着的增加，的离散程度为逐渐增大（或减小）的变化趋势，则认为存在递增型（或递减型）的异方差。uYXXYYXY28设一元线性回归模型为：运用OLS法估计,得样本回归模型为：由上两式得残差：绘制出和对的散点图◆如果的离散程度或者不随变化，则表明不存在异方差；◆如果的离散程度或者随变化，则表明存在异方差。（二）残差图形分析iiiYββXu01ˆˆˆiiY=β+βX01ˆ-iiieYY2ieiXiXiX2ie2ie思考：对于多元线性回归模型，如何分析？ieieie29二、White检验(White,1980)（一）基本思想：不需要关于异方差的任何先验信息，只需要在大样本的情况下，将OLS估计后的残差平方对常数、解释变量、解释变量的平方及其交叉乘积等所构成一个辅助回归，利用辅助回归建立相应的检验统计量来判断异方差性。30(二)检验的特点要求变量的取值为大样本不仅能够检验异方差的存在性，同时在多变量的情况下，还能判断出是哪一个变量引起的异方差。31（三）检验的基本步骤：以一个二元线性回归模型为例，设模型为：并且，设异方差与的一般关系为其中为随机误差项。t1t2ttY=β+βX+βX+u012,ttXX12222t1t2t1t2t1t2ttσ=α+αX+αX+αX+αX+αXX+v012345tv321.求回归估计式并计算用OLS估计式（5.14），计算残差，并求残差的平方。2.求辅助函数用残差平方作为异方差的估计，并建立的辅助回归，即222ˆˆˆˆˆˆˆt1t2t1t2t1t2te=α+αX+αX+αX+αX+αXX012345ˆ-ttteYY2te2tσ221t2t1t2t1t2tX,X,X,X,XX2te2te333.计算计算辅助回归函数的可决系数，为样本容量。4.提出假设01H0,H,,3,...,5j:=...==:j15（=1）不全为零2nRn5.检验在零假设成立下，有渐进服从自由度为5的分布。给定显著性水平,查分布表得临界值，如果,则拒绝原假设，表明模型中随机误差存在异方差。2nR2χ2(5)χ2χ22(5)nRχ34三、Breusch-Pagan检验基本思想：将残差图形分析法公式化，提出是解释变量的某个函数，然后通过检验这个函数形式是否显著，来判定是否具有异方差性及其异方差性的函数结构。检验的步骤：计算残差序列假设异方差的结构函数为（其中Z为解释变量中的若干个）2iiX20112011:0:iiPiPPfZZHH至少一个不为零2ie2'22ˆ,ˆiieeegssn35以g对Z做ols回归，得到模型所能解释的变差原假设为真的情况下，有Koenker-Bassett提出了一个改进的统计量，以纠正B-P统计量对正态性假定的敏感性具体操作见SAS1'''ESSgZZZZgn1'''221~2LMgZZZZgnPLMP，则拒绝原假设，即存在异方差36四、Glejser检验（一）检验的基本思想由OLS法得到残差，分别取平方、绝对值以及绝对值的对数，然后将这些新的变量分别对某些解释变量回归，根据回归模型的显著性和拟合优度来判断是否存在异方差。（二）检验的特点不仅能对异方差的存在进行判断，而且还能对异方差随某个解释变量变化的函数形式进行诊断。该检验要求变量的观测值为大样本。37（三）检验的步骤1.建立模型并求2.寻找与的最佳函数形式考虑如下三种函数形式。ieieZ（其中Z为部分X）2011011011lniiPiPii