2007试卷及其答案-信号统计分析

中国科学技术大学2007--2008学年第一学期考试参考答案考试科目:信号统计分析得分:__________学生所在系:__________姓名:__________学号:___________一．判断题（10分）1.两个随机变量统计独立则互不相关，反之不一定成立。（√）2.对于广义平稳的高斯噪声，只要确定了它的均值和相关函数，就能完全确定它的所有统计特性。（√）3.具有相同功率谱密度的平稳噪声，分别通过相同的线性时不变系统，其输出噪声的功率谱随概率不同而不同。（×）4.不论是实平稳还是复平稳的随机过程，其功率谱密度均为实函数。（√）5.信号的预包络表示只适用于窄带信号。（×）6.在高斯信号中检测二元已知信号，当两信号反相时，错误概率达到最小。（×）7.匹配滤波器的输出信噪比仅与信号能量、白噪声的谱密度及分布特性有关，而与信号的波形无关。（×）8.广义匹配滤波器可通过白化滤波器和匹配滤波器级联而成。（√）9.最小二乘估计采用的是使均方误差最小的准则。（×）10.维纳滤波实质是一种最小均方误差估计。（√）二．考虑三元假设检验问题：123:()1():()2(:()3(HytntHytntHytnt=+=+=+))2007--2008学年第一学期第1页（共14页）其中是零均值、方差为()nt2σ的高斯噪声，假设各假设的先验概率相等，请利用个独立观测样本，求最小错误概率准则下的判决规则和平均错误概率。（10分）N解：1）已知()()1,1,2,33iPHi==，有最小错误概率准则，()()()1,,1,2,3ijfYHijijfYH=≠判为（2分）N个独立观测样本的概率分布，iH()()()2212211exp22NNjNjijijyifYHfyHπσσ==⎛⎞−⎜⎟⎛⎞⎜⎟=Π=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟(),1,2,3i=⎝⎠∑（3分）准则可化简为()()()()22112222112212exp12213exp122NNjjjjNNjjjjyyyyσσσσ====⎧⎛⎞−−⎪⎜⎟⎪⎜⎟−+⎞⎪⎜⎟⎪⎜⎟⎪⎝⎠⎨⎛⎪−−⎜⎟⎪⎜⎟−+⎪⎜⎟⎪⎜⎟⎪⎝⎠⎩∑∑∑∑11322NjjNjjyNyN==⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩∑∑判为1H()()()()22112222112221exp12223exp122NNjjjjNNjjjjyyyyσσσσ====⎧⎛⎞−−⎪⎜⎟⎪⎜⎟−+⎞⎪⎜⎟⎪⎜⎟⎪⎝⎠⎨⎛⎪−−⎜⎟⎪⎜⎟−+⎪⎜⎟⎪⎜⎟⎪⎝⎠⎩∑∑∑∑113252NjjNjjyNyN==⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩∑∑判为2H()()()()22112222112231exp12232exp122NNjjjjNNjjjjyyyyσσσσ====⎧⎛⎞−−⎪⎜⎟⎪⎜⎟−+⎞⎪⎜⎟⎪⎜⎟⎪⎝⎠⎨⎛⎪−−⎜⎟⎪⎜⎟−+⎪⎜⎟⎪⎜⎟⎪⎝⎠⎩∑∑∑∑11252NjjNjjyNyN==⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩∑∑判为（3分）3H2007--2008学年第一学期第2页（共14页）判决规则总结为113N2jjyN=∑,判为1H131522NjjyN=∑,判为2H1152NjjyN=∑,判为（2分）2）求平均错误概率令统计量3H11NjjGyN==∑，其概率分布为()()12212211exp22GfGHNNπσσ⎛⎞−⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠()()12222221exp22GfGHNNπσσ⎛⎞−⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠()()12232231exp22GfGHNNπσσ⎛⎞−⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠（5分）或：令统计量，其概率分布为1NjjGy=′=∑()()1221221exp22GNfGHNNπσσ⎛⎞′−⎛⎞′=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠()()12222221exp22GNfGHNNπσσ⎛⎞′−⎛⎞′=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠()()12232231exp22GNfGHNNπσσ⎛⎞′−⎛⎞′=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠（5分）平均错误概率可以表示为3()()()11eiiiiPPDHPH==−∑（3分）2007--2008学年第一学期第3页（共14页）()()()()()()()()()112233325212325212232221225222321222252111133311113331111exp322211exp322311exp322PDHPDHPDH3fGHdGfGHdGfGHdGGdGNNGdGNNGdGNNπσσπσσπσσ∞−∞−∞=−−−=−−−⎛⎞−⎛⎞=−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛⎞−⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛⎞−⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫∫∫∫∫∞∫1111()()()1(3232232222()()33232222()1()3323244()332NNNNNNNNσσσσσσσσ⎡⎤⎡=−Φ−Φ−Φ−−−Φ−⎢⎥⎢⎣⎦⎣=−Φ+Φ−⎡⎤=−Φ+−Φ⎢⎥⎣⎦=−ΦT2T03T1+1+1−1−00()0st()1st)Nσ⎤⎥⎦)（2分）三．考虑一个二元通信系统：（10分）0011:()()(:()()()HytstntHytstnt=+=+，0Tt3≤≤其中信号如图所示，n是功率谱密度为的高斯白噪声。假设两种假设的先验概率相等，请按最小错误概率准则设计最佳接收机，并计算TN时的平均错误概率。)(),(10tsts/2)(t0N0/=1解：1）由有限带宽高斯白噪中随机信号的分布知()()()()()3200001/expTfytHFytstdtN⎛⎞=−−⎜⎟⎝⎠∫()()()()()3211001/expTfytHFytstdtN⎛⎞=−−⎜⎟⎝⎠∫2007--2008学年第一学期第4页（共14页）两种假设下，()yt的对数似然比为()()()()()()()()()()()()()103332210010000/lnln/212TTTfytHytfytHytstdtytstdtststdtNλ=⎧⎫=−+−⎨⎬⎩⎭∫∫∫由对数似然比最小错误概率准则()()()()()()()()()103310003022001011ln22HTTTHTTytstdtytstdtVPHNVsPH−⎛⎞=−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠∫∫∫≷tstdt（2分）通信中发送量中信号的概率可以认为是相同的即有()()01ln0PHPH⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠又，10()()stst=−∵0TV∴=即判决规则为（如下任意一个均可，不重复计分（下同））：()()()()103310000HTTHytstdtytstdt−∫∫≷（1分）或()()()()()()()()()()()()0103310003103003310012=-200TTTTHHTTHHytstdtytstdtytstdtytstdtytstdtytstdt−=∴∫∫∫∫∫∫∵或≷0≷（1分）则最佳接收机框图如下：30T∫30T∫××()0st()1st()yt03tT≤≤+−0TV=比较判决10HH≷（2分）或：2007--2008学年第一学期第5页（共14页）30T∫×()1st()yt03tT≤≤0TV=比较判决10HH≷（2分）或：30T∫×()0st0TV=比较判决01HH≷()yt03tT≤≤（2分）或（上述相关接收机各自对应的匹配滤波器形式）：()1303sTttT−≤≤()yt03tT≤≤0TV=比较判决100HH≷3tT=（2分）2）时的平均错误概率0/TN=1()()()()()()011100011ePPDHPHPDHPHENρ=+=−Φ−（2分）取检验统计量为，有()()()()331000TTGytstdtytst=−∫∫dt{}{}{}{}00116,66,6EGHTVarGHTNEGHTVarGHTN=−===00则概率密度函数为：()()()()20200210061exp262661exp2626GTfGHNTNGTfGHTNTNππ⎧⎫+⎪⎪=−⎨⎬×⎪⎪⎩⎭⎧⎫−⎪⎪=−⎨⎬×⎪⎪⎩⎭则()()()()00111000PDHfGHdGPDHfGHdG−∞∞==∫∫（2分）2007--2008学年第一学期第6页（共14页）或：()()()()()322100310013211TTEststdtststdtEρ=+==∫∫T=−1（2分）当时，代入得到0/TN=()1eP=−Φ6（1分）四．设线性滤波器的输入为()()()ytstnt=+，其中与噪声统计独立，是功率谱密度为()st()nt()nt02N的白噪声，信号为：0()2200atstatatatt≤⎧⎪=−≤⎨⎪,2aa≥⎩(1)试求匹配滤波器的传递函数与冲击响应；(2)试求最大信噪比输出时刻的信号功率及噪声平均功率。（20分）解：1）由匹配滤波器的定义可知()()()*2htsTtsat=−=−，所以冲击响应0()200tthtaatatt≤⎧⎪=≤⎨⎪≥⎩,2aa（5分）传递函数为()()2211jajaaHeejωωωωω−=−−−a（5分）2）最大信噪比输出时刻即为02t=，输出信号为：()()()30043ytsthttdta+∞−∞=−=∫，则输出信号的峰值功率为：()260169Eyta==（4分）输出噪声功率谱为：()()2002NNHωω=，则输出噪声的平均功率为(){}()()22000320122223NEntHdNhtdt0aNωωπ+∞−∞+∞−∞===∫∫（4分）2007--2008学年第一学期第7页（共14页）此时输出的最大信噪比(){}336020008216933EaaNaSNRNEnt===（2分）五．设目标的加速度是通过测量位移来估计的，观测方程为：akknaky+=2，,2,1=k式中是方差为kn2σ的零均值高斯噪声序列，且kjnnEkj≠=,0}{，0}{=kanE。(1)请利用两个观测样本12,yy，计算a的最大似然估计值及估计的均方误差；(2)假定a是方差为2σ的零均值高斯随机变量，请利用同样的两个观测样本，计算a的最大后验估计值及估计的均方误差，并比较两种估计的性能。（20分）解：1）最大似然估计准则：()ˆln0mlaafyaa=∂⎡⎤=⎣⎦∂（2分）由题目可知：{}{}22,kkEyaakVaryaσ==则概率密度函数：()()2221exp,1,222kkyakfyakσπσ⎧⎫−⎪⎪=−⎨⎬⎪⎪⎩⎭=（2分）({}{}{}{}{}121122120CovyyEyEyayEyaEnn⎡⎤⎡⎤=−−=⎣⎦⎣⎦∵=12yy∴相互独立)则()()()()2221222141exp22kkyayafyafyaπσσ=⎧⎫−+−⎪⎪==−⎨⎬⎪⎪⎩⎭∏（2分）则由最大似然估计准则得：ˆ12417mlaayya=0+−=则最大似然估计为：124ˆ17mlyya+=（2分）估计的均方误差为：2007--2008学年第一学期第8页（共14页）(){}()(){}{}{}2212ˆ21221222112224ˆ174417417181617mlamlyyMSEEaaEaananEannEEnEnnEn⎧⎫+⎪⎪⎛⎞=−=−⎨⎬⎜⎟⎝⎠⎪⎪⎩⎭⎧⎫+++⎛⎞⎪⎪=−⎨⎬⎜⎟⎝⎠⎪⎪⎩⎭⎧⎫+⎪⎪⎛⎞=⎨⎬⎜⎟⎝⎠⎪⎪⎩⎭⎡⎤=++⎣⎦2{},{}0,,1,2jjjkEnnEnnjkjkσ===∵≠∴{}{}2ˆ12211617117mla22MSEEnEnσ⎡=+⎣=⎤⎦（2分）2）最大后验概率估计准则：()[]ˆlnln()0mapaafyafaaa=∂∂⎡⎤+=⎣⎦∂∂（2分）已知：()221exp22afaσπσ⎧=−⎨⎩⎭⎫⎬（1分）由1）得：()()()22122241exp22yayafyaπσσ⎧⎫−+−⎪⎪=−⎨⎬⎪⎪⎩⎭（1分）则由最大后验概率估计准则得：ˆ12418mapaayya=0+−=则最大后验概率估计为：124ˆ18mapyya+=（2分）估计的均方误差为：(){}()()2212ˆ2122124ˆ184418418mapamapyyMSEEaaEaananEannaE⎧⎫+⎪⎪⎛⎞=−=−