系统阻尼比

§3-3二阶系统的时域分析研究典型二阶系统具有重要的意义，不仅在工程实践中比较常见，而且许多高阶系统在一定条件下可以近似为二阶系统。3.3.1二阶系统的数学模型典型的二阶系统的结构图如图所示。R(s)-2(2)nnssC(s)E(s)系统的闭环传递函数为：222()()()2nnnCssRsssn——系统阻尼比（阻尼系数）——无阻尼自然振荡角频率闭环系统特征方程为：2220nnss闭环系统特征根(闭环极点)为：221,211nnnndsjjn21dn——衰减系数——阻尼自然振荡角频率3.3.2二阶系统的单位阶跃响应对于单位阶跃输入：1()1(),()rttRss响应：222221()()()2212nnnnnnCssRssssssss其反变换即为二阶系统的单位阶跃响应。当不同时，所对应的响应具有不同的形式。1.时（无阻尼）0闭环极点为：21,201|nnnsjjσjω0jωn-jωn221()()()nsCssRsss单位阶跃响应：1()[()]1cos(0)nhtLCsttt0c(t)1系统处于无阻尼状态，其响应为恒定振幅的周期函数，频率为ωn(一对纯虚根)2.时（过阻尼）1闭环极点为：21,21nns(一对不等的负实根)σjω0s1s2单位阶跃响应：212312221()()()(1)(1)nnnCssssssAAAsss122232211,,21(1)121(1)AAA式中：取拉氏反变换可得过阻尼情况下二阶系统的单位阶跃响应为：22(1)22(1)221()121(1)1(0)21(1)nntthteet过阻尼二阶系统的单位阶跃响应包含两个单调衰减的指数项。且响应为非振荡的。t0c(t)13.时（临界阻尼）1闭环极点为：21,211|nnnsj(一对相等的负实根)单位阶跃响应：2222111()2()nnnnnnsCsssssss()1(0)nnttnhtetet临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程。σjω0s1=s2t0c(t)14.时（欠阻尼）01闭环极点为：21,21nnndsjj(一对不等的共轭负根)222221()()()1()()nndndnnndndddsCsssjsjssss12()[()]1cossin1cossin(0)1nnnttndddtddhtLCsetetetttσjω0n21nj21nj1s2s222()11cossin11sin()(0)1nntddtdehtttettt0c(t)1式中：21arctan()或：cosarc在欠阻尼二阶系统单位阶跃响应是衰减的正弦振荡曲线。衰减速度取决于特征根实部的绝对值的大小,振荡角频率是特征根虚部的绝对值，振荡周期为2221ddnTσjω0βn21nj21nj1s2s二阶系统的单位阶跃响应曲线欠阻尼01无阻尼0临界阻尼1过阻尼102468101200.20.40.60.811.21.41.61.82ntC(t)(1)临界阻尼二阶系统较过阻尼二阶系统有较快的响应速度。(较短的上升时间)(2)对欠阻尼二阶系统，阻尼比越小，超调量越大，上升时间越短。通常取＝0.4～0.8，最佳阻尼比≈0.7(3)若相同，不同，则他们具有相同的振荡特性，但速度不同，越大，响应速度越快。nn(4)零阻尼二阶系统为等幅振荡。02468101200.20.40.60.811.21.41.61.82ntC(t)3.3.3欠阻尼二阶系统动态性能分析在实际情况中,评价控制系统动态性能的好坏是通过系统反映单位阶跃信号的过渡过程的特征来表示的。通常，希望二阶系统工作在0.4＜ζ＜0.8的欠阻尼状态下。因此,下面有关性能指标的定义和定量关系的推导主要是针对二阶系统的欠阻尼工作状态进行的。另外,系统在单位阶跃信号作用下的过渡过程与初始条件有关,为了便于比较各种系统的动态性能,通常假设系统的初始条件为零。1.上升时间tr22()1sin(1)11nrtnrehtt(=稳态值)22sin(1)01nrtnret22sin(1)0(0,10)nrtnrte当一定时，一定，上升时间与成反比；当一定时，越小，上升时间也越小nrtnrt21rdnt21(arctan())2.峰值时间tp22()1sin(1)1ntnehttsin()cos()0npnpttndpddpetet21tan()tandpt由三角函数的周期性,上式成立需满足:ωdtp=0,π,2π,3π，…由于峰值时间是过渡过程达到第一个峰值所对应的时间,因此pdt()0pttdhtdt令：即：21pdnt3.超调量σ%222()()%100%()sin()1sin()100%1010%1nnpnptptntpththheee即:2/1%100%e超调量仅与阻尼比有关，而与无关。n阻尼比越大，超调量越小。%21pdnt2sin122()1sin(1)1ntnehtt%20%,0.46%25%,0.4%30%,0.3621%100%e211%1n例1例2250.460.36ζ与σ％关系曲线ζ4.调节时间ts欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线c(t)位于曲线2()11nteyt之内,这对曲线称为响应曲线的包络线。可以采用包络线代替实际响应曲线估算过渡过程时间ts,所得结果一般略偏大。若允许误差带是Δ,则可以认为ts’就是包络线衰减到Δ区域所需的时间,则有21nste解得:21111sntlnln22()1sin(1)1ntnehtt1C(t)0tst's2111Δ=5%t211tne2111211tne若取Δ=5%,并忽略时,则得21(00.9)1ln3.5snt若取Δ=2%,并忽略时,则得211ln(0＜ζ＜0.9)4snt222()()()2nnnRssCsss21rdnt21pdnt2/1%100%e3.5(5%)snt21,21nndsjj欠阻尼二阶系统动态性能分析01σjω0βn21nj21nj1s2s(1)一定，一定，tr∝1/n；d一定时，越小，tr越小；(2)σ％取决于,与n无关,越大,σ％越小；(3)ts取决于闭环极点实部σ，距虚轴越远，ts越小；(4)主要由σ％来确定，ts主要由n确定。21rdnt21pdnt2/1%100%e3.5snt3.5(5%)snt例1：设系统结构图如图所示，当一单位阶跃信号作用于该系统时，试求系统的动态性能指标tr、tp、σ％和ts。R(s)-25(6)ssC(s)解：由题意系统闭环传函为:225()(6)()25()1(6)25625CssssRsssss5,0.6narccosarccos0.60.93()rad220.79()1510.6pnts3.53.51.17()(5%)0.65snts220.63.14110.6%100%100%9.5%ee223.140.930.55()1510.6rnts例3-1：设系统结构图如图所示，要求系统具有性能指标σ％＝20％，tp＝1s，试确定参数K和τ，并计算单位阶跃响应的特征量td、tr和ts。R(s)-(1)Kss1sC(s)解：由题意系统闭环传函为:2222()()()(1)2nnnCsKsRssKsKss＋(1),2nKKK21%100%20%e0.46211pnts3.53(/)nrads2212.46(/)nKrads210.18()nsKarccosarccos0.461.10()rad20.65()1rnts3.52.17()(5%)snts系统闭环传函为:2222()12.46()()23.2512.46nnnCssRsssss2222()()()(1)2nnnCsKsRssKsKss＋10.70.37()dnts作业设单位反馈二阶系统单位阶跃响应曲线如图所示，试确定此系统的动态性能指标tr、tp、ts和σ%及系统的闭环传递函数。1.2511.00y(t)t△＝±5％通常总是希望控制系统的阶跃响应进行得比较快，即瞬态响应很快便衰减为0。当1时，调节时间比较长，因此设计系统时总希望系统处于欠阻尼的状态。对于一些不允许出现超调（例如液体控制系统，超调会导致液体溢出）或大惯性（例如加热装置）的控制系统，则可采用1，使系统处于过阻尼的状态。3.3.4过阻尼二阶系统动态性能分析当1时，二阶系统的阶跃响应为2222(1)(1)2211()12121nntthtee(0)t阶跃响应无超调，用ts即可描述系统的动态性能。与ts/T的关系曲线如所示。由图可见，愈大，ts也愈大。=1是非振荡响应过程中具有最小调节时间的情况。3.3.5二阶系统的单位斜坡响应当输入信号为单位斜坡信号时，系统输出为：22222222()()()222()(2111)2nnnnnnnnCssRsssssssss取拉斯反变换,得不同值下二阶系统的单位斜坡响应。3.3.6二阶系统性能的改善1.比例微分控制(PD)1)2(2nnss－)(sR)(sE)(sCsTd22(1)()()()(2)(1)(1)(1)22(1)(1)(1)222dnnndnddnnnnTsCsGsEsssTsTsKTsssssss2nK称为开环增益闭环传递函数为222222221()(1)()()1()2(2)dnnddndnnndnnTsTsTGssGsssTssTs开环传递函数为令