2009年广东高考数学理科卷带详解

2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集UR，集合212Mxx剟和21,1,2Nxxkk的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()第1题图A.3个B.2个C.1个D.无穷多个【测量目标】集合的表示方法（描述法），集合的并集.【考查方式】给出2个集合，通过并集运算求出集合的元素共有几个.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】由212Mxx剟得{|13}Mxx剟，{1,3,5,}N则{1,3}MN，有2个，选B.2.设z是复数，az表示满足1nz的最小正整数n，则对虚数单位i，ia()A.8B.6C.4D.2【测量目标】复数的基本概念.【考查方式】给出相关信息，求解出满足i1n最小正整数n【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】ii1na，则最小正整数n为4，选C.3.若函数yfx是函数0,xyaa且1a的反函数，其图象经过点,,aa则fx（）A.2logxB.12logxC.12xD.2x【测量目标】反函数.【考查方式】给出反函数的原函数的方程和其图象经过点,aa，求解出反函数的方程.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】log,afxx代入,,aa解得1,2a所以12log,fxx选B.4.已知等比数列na满足0,1,2,nan且252523,nnaan…则当1n…时，2123221logloglognaaa（）A.21nnB.21nC.2nD.21n【测量目标】已知递推关系求通项.【考查方式】给出相关信息，先求出通项na，再利用对数函数化简，求解.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】由252523nnaan…得222,0,nnnaa（步骤1）则2,nna22123221logloglog1321,naaann选C.（步骤2）5.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④【测量目标】平行与垂直关系的综合问题.【考查方式】给出4个命题，通过直线与直线、面，面与面之间的位置关系判断其真假.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】显然①和③是假命题，故否定A,B,C,选D.6.一质点受到平面上的三个力123,,FFF（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知12,FF成60角，且12,FF的大小分别为2和4，则3F的大小为（）A.6B.2C.25D.27【测量目标】余弦定理.【考查方式】给出物理学相关信息，通过余弦定理求解.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】222312122cos1806028,FFFFF所以327F，选D.7.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有()A.36种B.12种C.18种D.48种【测量目标】排列组合及其应用..【考查方式】给出相关信息，考查了排列组合的公式.【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法113223CCA24,若小张、小赵都入选，则有选法2223AA12,共有选法36种，选A.8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙（如图所示）．那么对于图中给定的0t和1t，下列判断中一定正确的是（）第8题图A.在1t时刻，甲车在乙车前面B.1t时刻后，甲车在乙车后面C.在0t时刻，两车的位置相同D.0t时刻后，乙车在甲车前面【测量目标】函数图象的应用.【考查方式】给出相关图象，再求解.【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】由图象可知，曲线v甲比v乙在0100tt～、～与x轴所围成图形面积大，则在01tt、时刻，甲车均在乙车前面，选A.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9~12题）9.随机抽取某产品n件，测得其长度分别为12,,,,naaa则如图所示的程序框图输出的s，s表示的样本的数字特征是．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）第9题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出算法流程图，阅读框图，运行程序，得出结果.【难易程度】容易【参考答案】12naaan平均数【试题解析】第一次当i=1时,1;sa第二次当i=2时,12;2aas最后输出12+;naaasns平均数.10.若平面向量,ab满足1,abab平行于x轴，2,1,b则a.【测量目标】向量的坐标运算.【考查方式】考查向量的基本概念及向量的坐标运算.【难易程度】中等【参考答案】1,1或3,1【试题解析】设(,)xya，则(2,1)xyab，依题意，得011)1()2(22yyx，（步骤1）解得11yx或13yx，所以(1,1)a或(3,1)a.（步骤2）11.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为．【测量目标】椭圆的标准方程.【考查方式】给出相关信息，通过离心率公式，长短轴间的关系，求解出标准方程.【难易程度】中等【参考答案】221369xy【试题解析】3,212,6,3,2eaab则所求椭圆方程为221.369xy12.已知离散型随机变量X的分布列如右表．若0,1,EXDX则a，b．第12题图【测量目标】离散型随机变量的分布列.【考查方式】给出离散型随机变量的分布列，通过公式求解.【难易程度】中等【参考答案】51,124【试题解析】由题知2221111,0,1121,12612abcacac解得51,124ab.（二）选做题（13~15题，考生只能从中选做两题）13．（坐标系与参数方程选做题）若直线112,:2,xtlykt（t为参数）与直线2,:12,xslys（s为参数）垂直，则k．【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】给出两条直线的参数方程，且两条直线垂直，求解.【难易程度】较难【参考答案】1【试题解析】直线112,:2,xtlykt（t为参数）化为普通方程是)1(22xky，该直线的斜率为2k，（步骤1）直线2,:12,xslys（s为参数）化为普通方程是12xy，该直线的斜率为2，（步骤2）则由两直线垂直的充要条件，得212k，1.k（步骤3）14．（不等式选讲选做题）不等式112xx…的实数解为．【测量目标】解一元二次不等式【考查方式】给出不等式方程，先求定义域，再把它换成整数不等式求解.【难易程度】中等【参考答案】{x|32x„且2x}【试题解析】112xx…1220xxx…22(1)(2)2xxx…2302xx„解得32x„且2x.所以原不等式的解集为{x|32x„且2x}.15．（几何证明选讲选做题）如图，点,,ABC是圆O上的点，且4,45ABACB，则圆O的面积等于．第15题图【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】给出圆上线段长，角度大小，求解圆的面积.【难易程度】容易【参考答案】8π【试题解析】解法一：连结,,OAOB则902,AOBACB（步骤1）所以AOB△为等腰直角三角形，又4AB，（步骤2）所以，圆O的半径22R，圆O的面积等于22ππ(22)8πR（步骤3）解法二：设圆O的半径为R，在ABC△中，由正弦定理，得42sin45R，解得22R，（步骤1）所以，圆O的面积等于22ππ(22)8πR.（步骤2）三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分）已知向量(sin,2)a与(1,cos)b互相垂直，其中π(0,)2．（1）求sin和cos的值；（2）若10πsin(),0102，求cos的值．【测量目标】余弦定理.【考查方式】利用两向量垂直公式、诱导公式、余弦定理求解.【难易程度】中等【试题解析】（1）∵向量sin,2a与1cos，b=互相垂直，∴sin2cos0ab，即cos2sin①，（步骤1）又1cossin22②①代入②，整理，得51cos2，（步骤2）由π0,2，可知0cos，∴55cos，（步骤3）代入①得552sin.故55cos，552sin.（步骤4）（2）ππππ0,0,,2222（步骤5）则2310cos1sin,10（步骤6）2coscoscoscossinsin.2（步骤7）17．（本小题满分12分）根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：API0~5051~100101~150151~200201~250251~300300级别III1III2III1IV2IVV状况优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染xy67xy68xy69xy70xy71对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组，得到频率分布直方图如图所示.（1）求直方图中x的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.（结果用分数表示．已知77578125,2128,32738123,18253651825182591259125365735)第17题图【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】给出直方图，阅读，从图中找到相关信息，利用公式定理求解.【难易程度】中等【试题解析】（1）因为，在频率分布直方图中，各个小矩形的面积之和等于1，依题意，得327385011825365182518259125x（步骤1）又9125123912581825318257365218253所以182501199125123501x.（步骤2）（2）一年中空气质量为良的天数为1195018250119365（天）；（步骤3）一年中空气质量为轻微污染的天数为100503652365（天）；（步骤4）（3）由（2）可知，在一年之中空气质量为良或轻微污染的天数共有119+100=219（天）所以，在一年之中的任何一天空气质量为良或轻微污染的概率是21933655P，（步骤5）设一周中的空气质量为良或轻微污染的天数为ξ，则ξ~B（7，53）7733()C155kkkPk，（k=0,1,2,…,7）（步骤6）设“该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染”为事件A，则)1()0(1)(PPAP=1070733C155