贵州省凯里市第一中学2016届高三数学一轮总复习 专题十二 圆锥曲线与方程(含解析)

1专题十二、圆锥曲线与方程抓住3个高考重点重点1椭圆及其性质1．椭圆的定义：椭圆的第一定义：对椭圆上任意一点M都有1212||||2||2MFMFaFFc椭圆的第二定义：对椭圆上任意一点M都有||,(01)MFeed2．求椭圆的标准方程的方法（1）定义法：根据椭圆定义，确定22,ab的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆的标准方程．（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于,,abc的方程组，解出22,ab，从而写出椭圆的标准方程．3．求椭圆的标准方程需要注意以下几点？（1）如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为221(0,0,)AxByABAB或22221xymn（2）与椭圆2222221()xymnmn共焦点的椭圆方程可设为2222221(,)xykmknmknk（3）与椭圆22221(0)xyabab有相同离心率的椭圆方程可设为22122xykab（10k，焦点在x轴上）或22222yxkab（20k，焦点在y轴上）4．椭圆的几何性质的应用策略（1）与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形：若涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量，则要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的联系，求解自然就不难了．（2）椭圆的离心率221cbeaa是刻画椭圆性质的不变量，当e越接近于1时，椭圆越扁，当e越接近于0时，椭圆越接近于圆，求椭圆的标准方程需要两个条件，而求椭圆的离心率只需要根据一个条件得到关于,,abc的齐次方程，再结合222abc即可求出椭圆的离心率[高考常考角度]角度1若椭圆12222byax的焦点在x轴上，过点)21,1(作圆122yx的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是14522yx.解析:方法一：设过点)21,1(的直线方程为：当斜率存在时，1(1)2ykx，即22120kxyk2由题意，2|12|31444kkk，由22331(1)542415xyxyxy，切点为34(,)55B，又当斜率不存在时，直线方程为1x，切点为(1,0)A，故直线:220ABxy,则与y轴的交点即为上顶点坐标(2,0)2b，与x轴的交点即为焦点1c，2225abc，即椭圆方程为14522yx（说明：如果设切点00(,)Bxy，则过切点的切线方程为001xxyy，与3134(1)14255yxxy比较，也可求出切点34(,)55B）方法二：（数形结合）设点1(1,)2P，则有直线1:2OPyx，作图分析可得2ABk，又切点(1,0)A故直线:2(1)AByx，即220xy，则AB与y轴的交点即为上顶点坐标(2,0)2b，与x轴的交点即为右焦点1c，2225abc，故椭圆方程为14522yx角度2在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点12,FF在x轴上，离心率为22.过1F的直线l交C于,AB两点，且2ABFV的周长为16，那么C的方程为.解析：可设椭圆方程为22221(0)xyabab,22cea,2ABFV的周长为24164,228aacb,故椭圆C的方程为221168xy角度3已知椭圆2222:1(0)xyEabab,直线l为圆222:Oxyb的一条切线，记椭圆E的离心率为e．若直线l的倾斜角为3，且恰好经过椭圆的右顶点，则e的大小为__________.解析：本题考查直线与圆的位置关系，椭圆的离心率等知识．如图所示，设直线l与圆O相切于C点，椭圆的右顶点为D，则由题意，知△OCD为直角三角形，且||,||,,3OCbODaODC22221||||||cos32cCDODOCabcea重点2双曲线及其性质31．双曲线的定义：双曲线的第一定义：对双曲线上任意一点M都有1212||||||2||2MFMFaFFc双曲线的第二定义：对双曲线上任意一点M都有||,(1)MFeed2．求双曲线的标准方程的方法（1）定义法（2）待定系数法3．求双曲线方程需要注意以下几点：（1）双曲线与椭圆的标准方程均可记为221(0)mxnymn，其中，0m且0n，且mn时表示椭圆；0mn时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论．（2）常见双曲线设法：①已知ab的双曲线设为22(0)xy；②已知过两点的双曲线可设为221(0)AxByAB；③已知渐近线0xymn的双曲线方程可设为2222(0)xymn4.双曲线的几何性质的应用策略（1）关于双曲缉的渐近线①求法：求双曲线22221(0,0)xyabab的渐近线的方法是令22220xyab，即得两渐近线方程00xybxayab②两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且关于x轴、y轴对称.③与22221(0,0)xyabab共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)xyab.（2）求双曲线的离心率双曲线的离心率221cbeaa，求双曲线的离心率只需根据一个条件得到关于,,abc的齐次方程，再结合222cab即可求出.[高考常考角度]角度1已知双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线均和圆22:650Cxyx相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A.22154xyB.22145xyC.22136xyD.22163xy解析：由已知得，圆22:(3)4Cxy，3,c双曲线的渐近线为0bxay，由已知得222232,3bdabab32bc，则22,5ba，故选A.4角度2已知双曲线221412xy的左、右焦点分别是1F、2F，P为右支上一动点，点(1,4)Q，则1||||PQPF的最小值为___________.解析：由双曲线的定义得1212||||2||2||PFPFaPFaPF，又22(4,0),||5FQF122||||||||2||2549PQPFPQPFaQFa，当且仅当2,,FPQ共线时取等号，故1||||PQPF的最小值为9角度3设1F、2F分别为双曲线22221(0,0)xyabab＞＞的左、右焦点.若双曲线右支上存在点P，满足212PFFF，且2F到直线1PF的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A.340xyB.350xyC.430xyD.540xy解析：如图，过2F作21FAPF于A，由题意知212||2,||2,FAaFFc则11||2,||4,AFbPFb而2212||||2,4222(2)PFPFabcacbacba2222443babbabaa则双曲线的渐近线方程为43yx，即430xy，故选C重点3抛物线及其性质1．求抛物线的标准方程的方法（1）定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p的值，得到抛物线的标准方程．（2）待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线的标准方程有四种形式．从简单化角度出发，焦点在x轴上的，设为2(0)yaxa，焦点在y轴上的，设为2(0)xbyb．2．抛物线定义的应用策略抛物线是到定点和定直线（定点不在定直线上）距离相等的点的轨迹，利用该定义，可有效地实现抛物线上的点到焦点和到准线的距离的转化，将有利于问题的解决．3．抛物线几何性质的应用策略（1）焦半径：抛物线22(0)ypxp一点00(,)Pxy到焦点(,0)2pF的距离0||2pPFx.（2）通径：过焦点(,0)2pF且与x轴垂直的弦AB叫做通径，且||2ABp（3）设过抛物线22(0)ypxp的焦点F的弦为1122,(,),(,)ABAxyBxy，则有①弦长：1222||(sinpABxxp为弦AB的倾斜角）5②221212,4pyypxx③112||||AFBFp④以弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切.⑤直线AB的方程为()2pykx（k不存在时弦AB为通径）[高考常考角度]角度1已知F是抛物线2yx的焦点，,AB是该抛物线上的两点，||||=3AFBF，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．34B．1C．54D．74解析：设1122(,),(,)AxyBxy，由抛物线定义，得1212121155||||344224xxAFBFxxxx，故线段AB的中点到y轴的距离为54.故选C角度2设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x，则抛物线的方程是（）A.28yxB.28yxC.24yxD.24yx点评：由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键．解析：由题意可知，抛物线的方程为22(0)ypxp，由准线方程2x得22p,所以28yx．故选B角度3设抛物线28yx的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足．如果直线AF的斜率为3，那么||PF（B）A.43B.8C.83D.16解析：方法一：抛物线的焦点(2,0)F，直线AF的方程为3(2)yx，所以得点(2,43)A、(6,43)P，从而||628PF，故选B方法二：如图，,//PAlPAx轴，又0060,60AFOFAP，又由抛物线定义得||||,PAPFPAF为等边三角形，令l与x轴的交点为F，则(2,0)F在RtAFF中，||4,||8,||8FFAFPF，故选B6突破10个高考难点难点1直线与圆锥曲线的位置关系1.直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与圆锥曲线相交的弦长公式典例如图，设P是圆2225xy上的动点，点D是P在x轴上投影，M为PD上一点，且4||||5MDPD．（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的长度．点评：（Ⅰ）动点M通过点P与已知圆相联系，所以把点P的坐标用点M的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可；（Ⅱ）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；结合两点的距离公式计算．解析：（Ⅰ）设点M的坐标是(,)xy，P的坐标是(,)ppxy，因为点D是P在x轴上投影，M为PD上一点，且4||||5MDPD，所以pxx，且54pyy，∵P在圆2225xy上，∴225()254xy，整理得2212516xy，即C的方程是2212516xy．（Ⅱ）过点(3,0)且斜率为45的直线方程是4(3)5yx，设此直线与C的交点为11(,)Axy，22(,)Bxy，由224(3)512516yxxy得222(3)25380xxxx，则12123,8xxxx221212161641||(1)[()4](1)[34(8)]25255ABxxxx，直线被C所截线段的长度为415点评：如果直接解方程2380xx，∴13412x，23412x，形式复杂，增加运算难度所以线段AB的长度是22212121216||()()(1)()25ABxxyyxx414141255）难点2中点弦问题的处理1.解决圆锥曲线中与弦的中点有关的问题的常规思路有三种：（1）通过方程组转化为一元一次方程，结合一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式进行求解；（2）点差法，设出弦的两端点，利用中点坐标公式求解；（3）中点转移法，先得出一个端点的坐标，再借