第二章 2随机变量函数的分布

§2随机变量的函数的分布一、问题的提出在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.42d求截面面积A=的分布.例如，已知圆轴截面直径d的分布，随机变量的函数本节的任务就是：则Y也是一随机变量。设X是一随机变量，Y是X的函数，YgX解：当X取值1，2，5时，Y取对应值5，7，13，例1设X3.055.02.021求Y=2X+3的概率函数.～3013502075...~Y而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率.故一、离散型随机变量函数的分布如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可.一般，若X是离散型r.v，X的概率函数为Xnnpppxxx2121～则Y=g(X)～nnpppxgxgxg2121)()()(如：X1010.30.60.1～则Y=X2的概率函数为：406010..Y～一、离散型随机变量的函数的分布1,2,nnPXxpnX1x2x，nxP1p2p，np或12nyyy，，，，12nnygxn其中，，设X为离散型随机变量，其分布函数为YgX设Y是X的函数，则Y也为离散型随机变量，其函数值为第一种情形如果12nyyy，，，，不相同，由12nnPYyPXxn，，Y可知的分布律1,2,nnPYypn或Y1y2y，nyP1p2p，np第二种情形如果12nyyy，，，，有相同的值，.YgX相把相同的值合并（看作是一值），并把所有的的概率相加，即可得的值分布律同例1的分布律为设离散型随机变量XX-3-10269P1252525215252352527025212625223YXY若，求的分布律．解：23:YX的取值9531915，，，，，Y-9-5-31915P1252525215252352527025212625223YX取值互不相同．由此得:的分布律设随机变量X具有以下的分布律，试求Y=(X-1)2的分布律.pkX-10120.20.30.10.4解:X有可能取的值为-1，0，1,2.Y对应取的值分别为4，1，0，1.且Y=0对应于(X-1)2=0，有X=1，所以,P{Y=0}=P{X=1}=0.1,例2同理,P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+0.4=0.7,P{Y=4}=P{X=-1}=0.2,pkY0140.10.70.2所以，Y=(X-1)2的分布律为：pkX-10120.20.30.10.4Y=(X-1)2二.连续型随机变量函数的分布，其密度函数为是一连续型随机变量，设xfXX随机变量．也是连续型，我们假定的函数是再设YXXgY．的密度函数我们要求的是yfXgYY解题思路()()YXgxyYgXFyPYyPgXyfxdx⑴．先求的分布函数yFyfXgYXgYYY的密度函数关系求之间的的分布函数与密度函数⑵．利用,04()80,.XxxfX其它设随机变量X具有概率密度：试求Y=2X+8的概率密度.解：(1)先求Y=2X+8的分布函数FY(y)：(){}8{28}{}2YFyPYyyPXyPX例382()()yYXFyfxdx828.0,()002yYyaFydx8020822208.04,2()0881664yYyybxFydxdxyx8042048.4,2()0081yYycxFydxdxdx288()816641,16YyyFyyy0,，()()YYFyfy利用可以求得：8,816()320,.Yyyfy其它定理2.1设随机变量X具有概率密度()Xfx1()YXybfyfkk设函数Y=kX+b(k≠0),则Y=g(X)是一个连续型随机变量，其概率密度为0,(){}{}YkFyPYyPkXby{}ybPXk1{}ybPXk证明：0,(){}YkFyPYy1{}ybPXk1ybFk()()YYfyFyXyybFk1Xybfkk1Xybfkk同理可证k0时0,(){}YkFyPYy1{}ybPXk()()(),()[()]()xFxftdtFxfxx如果1()ybkXfxdx1{}ybPXk变限的定积分的求导公式证明方法二()()()(),()[()]()[()]().xxFxftdtFxfxxfxx如果1()ybkXfxdx[()]()fxx()YFyybybfkk1Xybfkk1Xybfkk同理可证k0时()YFy()()(),()[()]()xFxftdtFxfxx如果,04()80,.XxxfX其它12882YXXY由定理2.1可得Y=2X+8的概率密度为：88()()()22YXyyfyf1818(),04,82220,.yy其它816,y其它()()()(),()[()]()[()]().xxFxftdtFxfxxfxx如果()()(),()[()]()xFxftdtFxfxx如果变限的定积分的求导公式定理2.2设随机变量X具有概率密度(),Xfxx()0(()0).gxgx即有或恒有则Y=g(X)是一个连续型随机变量Y，其概率密度为[()]|()|,()0,XYfhyhyyfy其它记h(y)是g(x)的反函数，即()ygx，是的值域，其中1()()xgyhy设函数Y=g(X)单调且处处可导，且导数恒不为零设随机变量X具有概率密度21(),(1)Xfxxx例5求Y=和Y=X2的概率密度.Xe解：是单调可导函数，Xye并且其导函数0Xye其反函数可导且lnxy1ln0yy有定理2.2[()]|()|,()0,XYfhyhyyfy其它可得[ln()]|ln()|,0()0,0XYfyyyfyy211,0(1ln)()0,0Yyyyfyy（2）由于Y=X2不是单调函数，通过分布函数FY(y)求其概率密度函数0210,0,()0.YYXyFy由于故有020,y2(){}{}YFyPYyPXy{}()yXyPyXyfxdx()()yYXyFyfxdx本例用到变限的定积分的求导公式()()()(),()[()]()[()]().xxFxftdtFxfxxfxx如果()()YYFyfy利用1[()(),02()0,0XXYfyfyyyfyy及变限积分求导公式可得10(1)()0,0Yyyyfyy整理可得：求:η的概率密度.2解：()Py2()()FyPy∵当y01时,即y01()Pyy()Pyy()Py()()FyFy0∵,y0例6设()10120xfxx，其它～()yyyfxdxdxyx010120y≤0()Fy∴η的概率密度()yfyy3410140其它()()Fyfy∴yyy41101220其它y≥11