考研数学 公式线性代数部分

中国大学生第一门户一大户线性代数部分梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。沟通：突出各部分内容间的联系。充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷的方法。大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不知道的。但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。基本运算①ABBA②CBACBA③cBcABAcdAcAAdc④AcddAc⑤00ccA或0A。AATTTTTBABATTAccA。TTTABAB212112nnCnnnnnAaAaAaD2222222121转置值不变AAT逆值变AA11AccAn,,,,,,2121321,,A，3阶矩阵321,,B中国大学生第一门户一大户332211,,BA332211,,BABABABA001,cjiE有关乘法的基本运算njinjijiijbababaC2211线性性质BABABAA2121，2121ABABBBAcBAABcBcA结合律BCACABTTTABABBAABlklkAAAkllkAAkkkBAAB不一定成立！AAE，AEAkAkEA，kAAkEEBAEAB与数的乘法的不同之处kkkBAAB不一定成立！无交换律因式分解障碍是交换性一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如EAEAEAA3322无消去律（矩阵和矩阵相乘）当0AB时0A或0B中国大学生第一门户一大户A和00BAB由0A时CBACAB（无左消去律）特别的设A可逆，则A有消去律。左消去律：CBACAB。右消去律：CBCABA。如果A列满秩，则A有左消去律，即①00BAB②CBACAB可逆矩阵的性质i）当A可逆时，TA也可逆，且TTAA11。kA也可逆，且kkAA11。数0c，cA也可逆，111AccA。ii）A，B是两个n阶可逆矩阵AB也可逆，且111ABAB。推论：设A，B是两个n阶矩阵，则EBAEAB命题：初等矩阵都可逆，且jiEjiE,,1ciEciE11cjiEcjiE,,1命题：准对角矩阵kkAAAA0000000000002211可逆每个iiA都可逆，记11221111000000000000kkAAAA中国大学生第一门户一大户伴随矩阵的基本性质：EAAAAA**当A可逆时，EAAA*得AAA*1，（求逆矩阵的伴随矩阵法）且得：11*AAAAAAAAA1111*伴随矩阵的其他性质①1*nAA,1*AAA②,**TTAA③**1AccAn,④*,**ABAB⑤kkAA**，⑥AAAn2**。2n时，AA**dcbaA*关于矩阵右上肩记号：T，k，1，*i)任何两个的次序可交换，如TTAA**，**11AA等ii)111,ABABABABTTT，***ABAB但kkkABAB不一定成立！线性表示s,,,021si,,,21sssxxx221121,,,有解中国大学生第一门户一大户xs,,,21有解Tsxxx,,1Ax有解，即可用A的列向量组表示srrrCAB,,,21，nA,,,21，则nsrrr,,,,,,2121。st,,,,,,2121，则存在矩阵C，使得Cst,,,,,,2121线性表示关系有传递性当pstrrr,,,,,,,,,212121，则ptrrr,,,,,,2121。等价关系：如果s,,,21与t,,,21互相可表示ts,,,,,,2121记作ts,,,,,,2121。线性相关1s，单个向量，0x相关02s，21,相关对应分量成比例21,相关nnbababa:::2211①向量个数s=维数n，则n1,,线性相（无）关01nnA,,,21，0Ax有非零解0A如果ns，则s,,,21一定相关0Ax的方程个数n未知数个数s②如果s,,,21无关，则它的每一个部分组都无关中国大学生第一门户一大户③如果s,,,21无关，而,,,,21s相关，则s,,,21证明：设cccs,,,1不全为0，使得011cccss则其中0c，否则scc,,1不全为0，011sscc，与条件s,,1无关矛盾。于是sscccc11。④当s,,1时，表示方式唯一s1无关（表示方式不唯一s1相关）⑤若st,,,,11，并且st，则t,,1一定线性相关。证明：记sA,,1，tB,,1，则存在ts矩阵C，使得ACB。0Cx有s个方程，t个未知数，ts，有非零解，0C。则0ACB，即也是0Bx的非零解，从而t,,1线性相关。各性质的逆否形式①如果s,,,21无关，则ns。②如果s,,,21有相关的部分组，则它自己一定也相关。③如果s1无关，而s,,1，则s,,1无关。⑤如果st11，t1无关，则st。推论：若两个无关向量组s1与t1等价，则ts。中国大学生第一门户一大户极大无关组一个线性无关部分组I，若I#等于秩I6421,,,，I就一定是极大无关组①s,,,21无关ss,,,21②sss,,,,,,,,,12121另一种说法：取s,,,21的一个极大无关组II也是,,,,21s的极大无关组,I相关。证明：,,,1IIs相关。sssss,,/,1,,,,,,,,11111③可用s,,1唯一表示sss,,,,,11④stsst,,,,,,,,,,,11111st,,,,11⑤ts,,,,11ttss,,,,,1111矩阵的秩的简单性质nmAr,min000AArA行满秩：mArA列满秩：nArn阶矩阵A满秩：nArA满秩A的行（列）向量组线性无关0AA可逆0Ax只有零解，Ax唯一解。中国大学生第一门户一大户矩阵在运算中秩的变化初等变换保持矩阵的秩①ArArT②0c时，ArcAr③BrArBAr④BrArABr,min⑤A可逆时，BrABr弱化条件：如果A列满秩，则BAB证：下面证0ABx与0Bx同解。是0ABx的解0AB0B是0Bx的解B可逆时，ArABr⑥若0AB，则nBrAr（A的列数，B的行数）⑦A列满秩时BrABrB行满秩时ArABr⑧BrArnABr解的性质1．0Ax的解的性质。如果e,,,21是一组解，则它们的任意线性组合eeccc2211一定也是解。00,2211eeiicccAA2．0Ax①如果e,,,21是Ax的一组解，则eeccc2211也是Ax的解121eccc中国大学生第一门户一大户2211是0Ax的解021eccciAieeeeAcAcAccccA22112211eccc21特别的：当21,是Ax的两个解时，21是0Ax的解②如果0是Ax的解，则n维向量也是Ax的解0是0Ax的解。解的情况判别方程：Ax，即nnxxx2211有解n,,,21AA|nn,,,,,,,2121无解AA|唯一解nAA|无穷多解nAA|方程个数m：mAmA,|①当mA时，mA|，有解②当nm时，nA，不会是唯一解对于齐次线性方程组0Ax，只有零解nA（即A列满秩）（有非零解nA）特征值特征向量是A的特征值是A的特征多项式AxE的根。两种特殊情形：（1）A是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。中国大学生第一门户一大户321000**A321321000**xxxxxxAxE（2）1Ar时：A的特征值为Atr,0,,0,0特征值的性质命题：n阶矩阵A的特征值的重数AErn命题：设A的特征值为n,,,21，则①An21②Atrn21命题：设是A的特征向量，特征值为，即A，则①对于A的每个多项式Af，xfAf②当A可逆时，11A，||*AA命题：设A的特征值为n,,,21，则①Af的特征值为nfff,,,21②A可逆时，1A的特征值为n1,,1,121*A的特征值为nAAA21||,,||,||③TA的特征值也是n,,,21特征值的应用①求行列式nA,,,||21②判别可逆性是A的特征值EAAE0不可逆EA可逆不是