高等数学讲义(一)

1高等数学基础高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创建于十七世纪的一门数学学科，创始人是英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz）。用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。“微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。时至今日，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。第1讲函数1.2函数要知道什么是函数，需要先了解几个相关的概念。一、常量与变量先看几个例子：圆的面积公式2πrS自由活体的下落距离2021gttvs在上述讨论的问题中，gv,,π0是常量，tsrS,,,是变量。变量可以视为实属集合（不止一个元素）。二、函数的定义定义1.1设D是一个非空数集。如果有一个对应规则f，使得对每一Dx，都能对应于唯一的一个数y，则此对应规则f称为定义在集合D上的一个函数，并把数x与对应的数y之间的对应关系记为)(xfy并称x为该函数的自变量，y为函数值或因变量，D为定义域。实数集合},)(;{DxxfyyZ称为函数f的值域。看看下面几个例子中哪些是函数：}6,3,1{Xf2}9,8,6,2{Yf是函数，且2)1(f，8)3(f，6)6(f定义域}6,3,1{D，值域}8,6,2{Z，一般地YZ。}7,6,3,1{X}9,8,6,2{Yf不是函数。}6,3,1{X}9,8,6,2{Yf是函数，且2)1(f，8)3(f，8)6(f定义域}6,3,1{D，值域}8,2{Z。}6,3,1{X}9,8,6,2{Yf不是函数。由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有x轴上的点。例1求函数xy1的定义域。解在实数范围内要使等式有意义，有01x即fff31x所以函数的定义域为]1,(。例2求函数2411xxy的定义域。解在实数范围内要使第一个等式有意义，有01x即1x在实数范围内要使第二个等式有意义，有042x或42x即2x或22x所以函数的定义域为]2,1()1,2[。三、函数表示法函数表示法主要有以下三种⒈解析法用数学式子表示变量之间的对应关系，这种表示函数的方法称为解析法。例如2xyxysin0,10,1)(xxxxxf⒉图形法在平面直角坐标系中满足一定条件的曲线图形，也可以确定一个函数关系，这种表示函数的方法称为图形法。例如表示一天内温度随时间变化的函数关系。⒊列表法在实际应用中把一系列自变量值及其相对应的函数值列成表，这种表示函数的方法称为列表法。如对数函数表、三角函数表等等。4四、函数的几种属性⒈单调性请看下面两个图左边的图形表示，函数值随自变量的增加而增加，就称函数单调增加，数学上描述为：如果当任意的),(,21baxx且21xx时，恒有)()(21xfxf则称函数)(xf在区间),(ba内是单调上升的或单调增加的。右边的图形表示，函数值随自变量的增加而减少，就称函数单调减少，数学上描述为：如果当任意的),(,21baxx且21xx时，恒有)()(21xfxf则称函数)(xf在区间),(ba内是单调下降的或单调减少的。⒉奇偶性请看下面两个图左边的函数图形关于y轴对称，就称函数是偶函数，数学上描述为：如果函数)(xfy的定义域D以原点为对称，且恒满足等式)()(xfxf，则称)(xf是5偶函数。右边的函数图形关于原点对称，就称函数是奇函数，数学上描述为：如果函数)(xfy的定义域D以原点为对称，且恒满足等式)()(xfxf，则称)(xf是奇函数。例3判断下列函数的奇偶性：⑴xxf)(；⑵)1,1(11lg)(xxxxf解⑴由绝对值的性质，对任意x有)()(xfxxxf由此可知)(xf是偶函数。⑵由对数函数的性质，对任意)1,1(x有1)11lg(11lg)(1)(1lg)(xxxxxxxf)(11lgxfxx由此可知)(xf是奇函数。判断函数的奇偶性也可以利用以下结论：偶函数加减偶函数是偶函数奇函数加减奇函数是奇函数偶函数乘偶函数是偶函数奇函数乘奇函数是偶函数奇函数乘偶函数是奇函数例如，xxysin是奇函数，xxycos也是奇函数。1.3初等函数要了解初等函数，首先从以下开始一、基本初等函数我们将以下几类函数称为基本初等函数，它们是⒈常数函数Rccy常数函数的图形如下6⒉幂函数Rxy幂函数的图形如下⒊指数函数1,0aaayx指数函数的图形如下⒋对数函数1,0logaaxya对数函数的图形如下7⒌三角函数正弦函数xysin余弦函数xycos正切函数xytan余切函数xycot正弦、余弦、和正切函数的图形分别是⒍反三角函数反正弦函数xyarcsin反余弦函数xyarccos反正切函数xyarctan反正弦、反余弦、和反正切函数的图形分别是8二、函数的复合运算在介绍函数的复合运算之前，先介绍函数的四则运算：设)(xf，)(xg是两个函数，定义域分别为1D，2D，如果21DDD不是空集，那么在D上可以得到以下函数)()(xgxf)()(xgxf)()(xgxf)(/)(xgxf这里要注意，最后一个函数)(/)(xgxf的定义域要在D中去掉使0)(xg的点。除了函数的四则运算外，再看下面复杂一些的运算，如函数xysinlg可以看作由函数uylg和xusin构成的，这种构成方式就是一种新的运算。一般地，由两个函数)(ufy和)(xgu构成的对应规则))((xgfy称为f和g这两个函数的复合函数。三、初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算而成，能用一个解析式表示的函数称为初等函数。函数0,10,sin)(xxxxxf不是初等函数，这类函数称为分段函数。9第2讲极限与连续微积分的主要研究对象是函数，它所使用的一个重要工具就是我们要在下面介绍的——极限。极限的严格描述奠定了微积分的理论基础，而微积分学几乎所有的重要概念都以不同的极限形式来表示。2.2函数的极限一、极限的概念首先让我们看看反正切函数xyarctan的图形当自变量x向变化时，函数值在向2π靠近。而且x向充分接近时，函数值可以和2π任意靠近。我们将x向充分接近说成x趋于，记为x。一般地，当自变量x趋于时，如果函数)(xf的函数值和某个常数A任意靠近，我们就称函数)(xf当x趋于时以A为极限（或称当x趋于时，)(xf的极限是A）。记为Axfx)(lim或)()(xAxf如我们在开始看到的情形就是2πarctanlimxx类似可以得到Bxfx)(lim，仍以反正切函数为例，有2πarctanlimxx再一次观察反正切函数xyarctan的图形，当自变量x向点0x变化时，函数值在向0靠近。而且x向点0x充分接近时，函数值可以和0任意靠近。我们将x向点0x充分接近说成x趋于0，记为0x。一般地，当自变量x趋于0x时，如果函数)(xf的函数值和某个常数A任意靠近，我们就称函数)(xf当x趋于0x时以A为极限（或称当x趋于0x时，)(xf的极限是A）。记为10Axfxx)(lim0或)()(0xxAxf这样我们就得到0arctanlim0xx极限Axfxx)(lim0的直观意义可以用下面的图形说明函数在一点的极限可能存在，也可能不存在，如函数xy1sin当0x时的极限就不存在，我们也可以从图形中看出再看下面这个图形可以看出，这个函数当1x时没有极限，但当x从大于1的方向趋于1时，函数值与5.2任意接近。一般地，当自变量x从大于0x的方向趋于0x时，如果函数)(xf的函数值和某个常数A任意靠近，就称A为)(xf在点0x的右极限，记为Axfxx)(lim0类似可以给出)(xf在点0x的左极限，记为Bxfxx)(lim0。如此一来我们就有了以下结论)(lim0xfxx存在的充分必要条件是)(lim0xfxx和)(lim0xfxx都存在，且11)(lim)(lim00xfxfxxxx二、极限的运算法则为了方便地计算函数的极限，我们不加证明地给出极限的运算法则：若)(limxf，)(limxg存在，则有)(lim)(lim)]()(lim[xgxfxgxf)(lim)(lim)]()(lim[xgxfxgxfcxfcxcf)(lim)](lim[为常数)(lim)(lim])()(lim[xgxfxgxf（假定0)(limxg）例1求623lim222xxxxx。解观察发现本题不能直接应用极限的四则运算法则，但对表达式经适当整理后就可以应用极限的四则运算法则，)3)(2()1)(2(lim623lim2222xxxxxxxxxx51)3(lim)1(lim31lim222xxxxxxx例2求5232lim22xxxxx。解观察发现本题不能直接应用极限的四则运算法则，但对表达式经适当整理后就可以应用极限的四则运算法则，2222512321lim5232limxxxxxxxxxx21002001)512(lim)321(lim22xxxxxx只有极限的四则运算法则对解决的计算还是不够的，接下来我们大家介绍两个重要的极限。122.3两个重要极限我们先给出两个重要的极限公式1sinlim0xxxe)11(limxxx之所以说这是两个重要极限，一方面因为它们出自于两个极限存在定理，另外在后面求基本初等函数的导数时需要用到。在这里我们只给出第一个极限的证明，为此先不加证明地给出一个极限存在定理夹逼定理设在0x的某领域内（可不包含点0x）有)()()(xhxfxg且Axhxgxxxx)(lim)(lim00，则)(lim0xfxx存在且Axfxx)(lim0下面就来证明第一个重要极限，先看一下下面这张图图中的圆周是单位圆周，圆心角AOB的弧度是x，则有线段BD的长度为xsinAB弧的长度为x线段AE的长度为xtan当2π0x时，有xxxtansin0从而有xxxxsin11sincos从而有1sincosxxx当0x时，1coslim0xx，由夹逼定理得1sinlim0xxx13由于xxxtan,,sin都是奇函数，因此当02πx时，有)tan()sin(0xxx即xxxtansin0从而有xxxxsin11sincos从而有1sincosxxx当0x时，11limcoslim00xxx，由夹逼定理得1sinlim0xxx最后得到1sinlim0xxx例3求xxx3sinlim0。解本题不能直接应用第一个重要极限公式，需要作适当变换。注意到x趋于0时，x3也趋于0，有313)3()3sin(lim333sin3lim3sinlim000xxxxxxxxx例4求32)3sin(lim23xxxx。解本题不能直接应用第一个重要极限公式，需要作适当变换。注意到x趋于3时，)3(x趋于0，有)1(1)3()3sin(lim)1)(3()3sin(lim32)3sin(lim3323xxxxxxxxxxxx41411)1(1lim)3()3sin(lim33xxxxx2.4无穷小量与无穷大量定义2.5极限为零的量称为无穷小量。定理2.1Axfxx)(l