2 对称信息情况下的最优合同

§2对称信息情况下的最优合同委托－代理模型是为分析非对称信息情况下的最优合同而建立的。但作为分析的第一步，让我们首先讨论对称信息情况下的最优合同。，这种讨论对我们理解委托－代理关系问题的实质是非常重要的。特别地，因为委托－代理关系的中心问题被认为是“保险”和“激励”的交替问题（trade-off），在对称信息下，我们可以孤立的考虑最优的风险分担问题；在完成这一步再引入非对称信息，我们就会明白为什么在存在激励问题时，一般来说，帕累托最优的风险分担不能达到。Cont…假定代理人的行动a（或自然状态θ）时可观测的。此时，委托人可以根据观测到的a对代理人实行惩，就是说，激励合同可以建立在行动上，从而，激励相容约束时多余的，因为委托人可以涉及任意的“强制合同”如果你选择a*，我将付你s(a*)=s*,否则我将付你ss*，使得下列条件成立：Cont…只要s足够小，代理人绝不会选择a不等于a*。我们分两步讨论对称信息情况。首先假定行动a给定，讨论什么是产出п的最优分配方式；然后，我们再讨论最优的行动选择a。我们将证明，在对称信息下，帕雷托最有风险分担和帕累托最优努力水平都可以达到。**(IC)u(s(a))f(x,,a)dxc(a)u(s(a))f(x,,a)dxc(a),aA2-1最优风险分担合同给定努力水平a，产出是一个简单的随机变量，因此，问题简化为一个典型的风险分担问题:选择s（п）解下列最优化问题s()maxv(s()f(a,)ds.t:(IR)u(s())f(,a)dc(a)uCont…构造拉格朗日函数如下：最优化的一阶条件是：L(s())v(s()f(a,)d[u(s())f(,a)dc(a)u]****v(s())u(s()0v(s())(1)u(s()即Cont…这里拉格朗日乘数是严格正的常数（因为参与约束的等式条件满足）。上述最优条件意味着，委托人和代理人收入的边际效用之比应该等于一个常数，与产出（和状态变量θ）无关。如果п1和п2是任意的两个收入水平，那么，下列等式应该满足：**1122**12**111**222v(s())v(s())u(s()u(s()v(s())u(s()v(s())u(s()Cont…就是说，在最优条件下，不同收入状态下的边际替代率对委托人和代理人是相同的。这是典型的帕雷托最优条件。一般地，因为最优化条件（1）隐含地定义了最优化支付合同s*（п），通过使用隐函数定理，我们可以得出最优支付合同与每一方风险规避度的关系。就条件（1）对п求导，我们有：Cont…将λ=v’/u’代入上式解得：这里****v(s())u(s()0(1)ss:v(1)u0dddd求偏导*s(3)pApdd,pAvuvuCont…分别代表委托人和代理人的阿罗－帕拉特绝对风险规避量（Arrow-Prattmeasureofabsoluteriskaversion）。式（3）意味着，代理人的支付s*与产出п的关系完全由绝对风险规避度的比率决定。给定（即双方均为风险规避者），代理人的支付s*随п的上升而上升，但上升的幅度小于п上升的幅度。当时，0,0pA*0,1AdsdCont…ds*/dп=1,s*的增幅与п相同。特别地，如果委托人和代理人都具有不变的绝对风险规避度，即如果ρp和ρA与各自的收入水平无关，那么，最优合同是线性的。对（3）积分得：*(),(4)pAps其中Cont…α是积分常数项（可能取正值也可能取负值）。当然，不变的绝对风险规避度是非常特殊的。一般来说，如果假定ρp和ρA随收入的增加而递减（即收入越高越不害怕风险），最优合同s*（п）是非线性的，其具体形式依赖于风险规避者的相对变化。2-2最优风险分担合同在以上的讨论中，我们假定代理人的努力水平α给定。现在我们来讨论最优努力水平的选择。为了简化我们使用状态空间模型化方法。因为α是可观测的，委托人可以强化代理人选择任意的α，激励相容约束是多余的。使用状态控件模型化方法，委托人的问题是选择α和s（п）解下列问题：a,s()maxv((,)s((,)))()daags.t:(IR)u(s((,)))()dxc(a)uagCont…构造拉格朗日函数：最优化的两个一阶条件分别为L(,s())v((,)s((,)))()d[u(s((,))()dc(a)u]aaagag0uv0])()([)()(acdgasudgasavCont…其中第一个等式是s（п）的一阶条件（与（1）相同），第二个等式是α的一阶条件。使用第一个一阶条件λ=v’/u’,第二个一阶条件可以化简为：或用期望值算子E：()0cvgdaa1[]0(5)cEvauaCont…其中v‘әп/әα可以解释为用委托人的效用单位度量的努力水平α的边际收益，λәc/әα可以解释为用委托人的效用单位度量的α的边际成本。注意，因为α是在外生变量θ实现之前选择的，最优的α独立于θ。上述分析的一个基本结论时，当委托人可以观测代理人的努力水平时，风险问题和激励问题可以独立解决，帕累托最优风险分担和帕累托最优努力水平可以同时实现，最优合同可以表述如下：Cont…即委托人要求代理人选择α*，委托人根据s*（п（α*，θ））支付代理人；否则，代理人得到s。只要s足够小，代理人就不会选择αα*(注意，因为代理人的效用水平是努力水平α的递减函数，代理人在任何情况下都不会选择αα*)。*****aasaa),),a((s)(ss一个例子:信息对称情况下的应用本节讨论一个参数化的委托－代理模型，这个参数化的模型是霍姆斯特姆和米尔格罗姆（Holmstromandmilgrom,1987）模型的简化和扩张。假定α是一个一维努力变量，产出函数取如下线性形式：п=α+θ,其中θ是均值为0、方差为σ2的正态分布随机变量，代表外生的不确定性因素。因此，Eп=E(α+θ)=α,var(п)=σ2,即代理人的努力水平决定产出的均值，但不影响产出的方差。Cont…假定委托人是风险中性的，代理人是风险规避的。考虑线性合同s（п）=α+βп，其中α是代理人的固定收入（与п无关），β是代理人分享的产出份额，即产出п每增加一个单位，代理人的报酬增加β单位。β=0意味着代理人不承担任何风险，β=1意味着代理人承担全部风险。因为委托人是风险中性的，给定s（п）=α+βп，委托人的期望效用等于期望收入aEEvsEv)1()1()())((Cont…假定代理人的效用函数具有不变绝对风险规避特征，即,其中ρ是绝对风险规避度量，ω是实际货币收入。假定代理人努力的成本c(α)可以等价于货币成本；进一步，为简化起见，假定c(α)=bα2/2,这里b0代表成本系数；b越大，同样的努力α带来的负效用越大。代理人的实际收入为：euCont…确定性定价收入为：其中，Eω是代理人的期望收入，是代理人的风险成本；当β=0时，风险成本为0。代理人最大化期望效用函数等价于最大化上述确定性等价收入。2ba21)a()a(c)(s221222222111Eaba222EuEeCont…令ω0为代理人的保留收入水平。那么，如果确定性等价收入小于ω0,代理人将不接受合同。因此，代理人的参与约束可以表述如下：首先考虑委托人可以观测代理人努力水平α的最优合同。此时，激励约束IC不起作用，任何水平的α都可以通过满足参与约束IR的强制合同实现。222011aba22Cont…因此，委托人的问题是选择（α，β）和α解下列最优化问题：因为在最优情况下，参与约束的等式成立（委托人没有必要支付代理人更多），将参与约束通过固定项α代入目标函数，222011.:()aba22stIR,,max(1)aEvaCont…上述最优化问题可以重新表述如下：因为ω0是给定的，上述表述意味着委托人实际上是在最大化总的确定性收入减去努力的成本。最优化的一阶条件意味着：2220,11maxba22aa0,b1a**Cont…将上述结果代入代理人的参与约束得：这就是帕累托最优合同。因为委托人是风险中性的，代理人是风险规避的，帕累托最优风险分担要求代理人不承担任何风险（β*=0），委托人支付给代理人的固定收入刚好等于代理人的保留工资加上努力的成本；2b1)a(b2102*0*Cont…最优努力水平要求努力的边际期望利润等于努力的边际成本，即1=bα,因此，α*=1/b。因为委托人可以观测到代理人的选择α，只要委托人在观测到代理人选择了α1/b时就支付，代理人就一定会选择α*=1/b，最优风险分担与激励没有矛盾。*0一个例子:信息不对称情况下的应用但是，如果委托人不能观测到代理人的努力水平α，上述帕累托最优是不能实现的。这是因为，给定β=0，代理人将选择α最大化自己确定性等价收入，一阶条件意味着：α=β/b,于是a=0就是说，如果代理人的收入与产出无关，代理人将选择a=0，而不是α=1/b。现在让我们来考虑努力水平α不可观测时的最优合同。因为给定（，β），代理人的激励相容约束意味着α=β/b，委托人的问题是选择（，β）,解下列最优化问题：Cont…将参与约束IR和激励相容约束IC代入目标函数，上述最优化问题可以重新表述如下：一阶条件为：,,max(1)aEva222011.:()aba22stIR22201bmax()22bb210,0bb21即=1+b():/ICabCont…上述条件意味着，代理人必须承担一定的风险。特别地，β是ρ、σ2、和b的递减函数。就是说，代理人越是风险规避，产出п的方差越大代理人越是害怕努力工作，他应该承担的风险就越小。极端地，如果代理人是风险中性的（ρ=0），最优合同要求代理人承担完全的风险（β=1）。Cont…әβ/әρ0和әβ/әσ20结论是非常直观的。最优激励合同要在激励与保险之间求得平衡。对于给定的β，ρ越大（或σ2越大），风险成本越高，因此，最优风险分担要求β越小。但әβ/әb0有点“鞭打快牛”的味道。为什么代理人越是害怕努力工作，应该承担的风险越小呢？这又两方面的原因。第一，从激励角度看，即使没有信息不对称问题，b越大，最优的α越小（因为α*=1/b）；第二，从风险分担的角度看，b越大，为诱使代理人选择同样的努力水平要求的β越大（因为α=β/b），委托人宁愿以较低的努力换取风险成本的节约。Cont…当委托人不能观测代理人的努力水平时，存在两类在对称信息下不存在的代理成本。一类是上面提到的由帕累托最优风险分担无法达到而出现的风险成本，另一类是由较低的努力水平导致的期望产出的净损失减去努力成本的节约，简称为激励成本。因为委托人是风险中性的，努力水平可观测时委托人承担全部风险意味着风险成本为零。当委托人不能观测代理人的努力水平时，代理人承担的风险为β=1/(1+bρσ2)，风险成本为：Cont…这是净福利损失。为了计算激励成本，首先注意到，当努力水平可观测时，最优努力水平为α=1/b；当努力水平不可观测时，委托人可诱使代理人自动选择的最优努力水平为：0)1(2212