2017届高考数学二轮复习(浙江专用)课件 专题3 数列 第1讲

真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华第1讲等差数列、等比数列的基本问题真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华高考定位1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华真题感悟(2016·浙江卷)设数列{an}满足|an－an＋12|≤1，n∈N*.(1)证明：|an|≥2n－1(|a1|－2)，n∈N*；(2)若|an|≤32n，n∈N*，证明：|an|≤2，n∈N*.证明(1)由an－an＋12≤1得|an|－12|an＋1|≤1，故|an|2n－|an＋1|2n＋1≤12n，n∈N*，所以|a1|21－|an|2n＝|a1|21－|a2|22＋|a2|22－|a3|23＋…＋|an－1|2n－1－|an|2n≤121＋122＋…＋12n－1＜1，真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华(2)任取n∈N*，由(1)知，对于任意m＞n，|an|2n－|am|2m＝|an|2n－|an＋1|2n＋1＋|an＋1|2n＋1－|an＋2|2n＋2＋…＋|am－1|2m－1－|am|2m≤12n＋12n＋1＋…＋12m－1＜12n－1，故|an|＜12n－1＋|am|2m·2n≤12n－1＋12m·32m·2n＝2＋34m·2n.从而对于任意m＞n，均有|an|＜2＋34m·2n.①真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华考点整合1.等差数列(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d，(2)求和公式：Sn＝n（a1＋an）2＝na1＋n（n－1）2d，(3)性质：①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；②an＝am＋(n－m)d；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，成等差数列.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华2.等比数列(1)通项公式：an＝a1qn－1(q≠0)；(2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；q≠1，Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q；(3)性质：①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；②an＝am·qn－m；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，(Sm≠0)成等比数列.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华3.求通项公式的常见类型(1)观察法：利用递推关系写出前几项，根据前几项的特点观察、归纳、猜想出an的表达式，然后用数学归纳法证明.(2)利用前n项和与通项的关系an＝S1（n＝1），Sn－Sn－1（n≥2）.(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式.(4)累加法：在已知数列{an}中，满足an＋1＝an＋f(n)，把原递推公式转化为an＋1－an＝f(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华(5)叠乘法：在已知数列{an}中，满足an＋1＝f(n)an，把原递推公式转化为an＋1an＝f(n)，再利用叠乘法(逐商相乘法)求解.(6)构造等比数列法：在已知数列{an}中，满足an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)先用待定系数法把原递推公式转化为an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝q1－p，再利用换元法转化为等比数列求解.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华热点一等差、等比数列的判定与证明【例1】(2016·开封二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝14，且Sn＝Sn－1＋an－1＋12(n∈N*，且n≥2)，数列{bn}满足：b1＝－1194，且3bn－bn－1＝n(n≥2，且n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{bn－an}为等比数列.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华(1)解由Sn＝Sn－1＋an－1＋12，得Sn－Sn－1＝an－1＋12，即an－an－1＝12(n∈N*，n≥2)，则数列{an}是以12为公差的等差数列，又a1＝14，∴an＝a1＋(n－1)d＝12n－14.(2)证明∵3bn－bn－1＝n(n≥2)，∴bn＝13bn－1＋13n(n≥2)，∴bn－an＝13bn－1＋13n－12n＋14＝13bn－1－16n＋14＝13bn－1－12n＋34(n≥2).bn－1－an－1＝bn－1－12(n－1)＋14＝bn－1－12n＋34(n≥2)，真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华∴bn－an＝13(bn－1－an－1)(n≥2)，∵b1－a1＝－30≠0，∴bn－anbn－1－an－1＝13(n≥2).∴数列{bn－an}是以－30为首项，13为公比的等比数列.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华探究提高判断和证明数列是等差(比)数列的两种方法(1)定义法：对于n≥1的任意自然数，验证an＋1－an或an＋1an为同一常数.(2)中项公式法：①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，则{an}为等差数列；②若a2n＝an－1·an＋1(n∈N*，n≥2)，则{an}为等比数列.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华【训练1】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数.(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由.(1)证明由题设，anan＋1＝λSn－1，①知an＋1an＋2＝λSn＋1－1，②②－①得：an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.∵an＋1≠0，∴an＋2－an＝λ.(2)解由题设可求a2＝λ－1，∴a3＝λ＋1，令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋2－an＝4.由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华热点二求数列的通项[微题型1]由Sn与an的关系求an【例2－1】(1)(2016·台州模拟节选)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝12.求数列{an}的通项公式.(2)(2016·岳阳二模节选)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3,n∈N*.证明：an＋2＝3an；并求an.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华解(1)由an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，得Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0，所以1Sn－1Sn－1＝2(n≥2，n∈N*)，故1Sn是等差数列.又1S1＝2，所以1Sn＝2n，故Sn＝12n，an＝Sn－Sn－1＝12n－12（n－1）＝－12n（n－1）(n≥2，n∈N*)，所以an＝12，n＝1，－12n（n－1），n≥2.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华(2)由条件，对任意n∈N*，有an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，因而对任意n∈N*，n≥2，有an＋1＝3Sn－1－Sn＋3.两式相减，得an＋2－an＋1＝3an－an＋1，即an＋2＝3an，n≥2.又a1＝1，a2＝2，所以a3＝3S1－S2＋3＝3a1－(a1＋a2)＋3＝3a1，故对一切n∈N*，an＋2＝3an.又∵an≠0，所以an＋2an＝3.于是数列{a2n－1}是首项a1＝1，公比为3的等比数列；数列{a2n}是首项a2＝2，公比为3的等比数列.因此a2n－1＝3n－1，a2n＝2×3n－1.∴an＝3n－12，n为奇数，2×3n－22，n为偶数.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华探究提高给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华[微题型2]已知an与an＋1的递推关系式求an【例2－2】(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋1nan＋n＋12n，求数列{an}的通项公式；(2)已知正项数列{an}满足a1＝1，(n＋2)a2n＋1－(n＋1)a2n＋anan＋1＝0，求通项an；(3)已知a1＝4，an＋1＝2an2an＋1，求通项an.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华解(1)由已知得a1＝1，且an＋1n＋1＝ann＋12n，∴a22＝a11＋121，a33＝a22＋122，…，ann＝an－1n－1＋12n－1，∴ann＝1＋12＋122＋…＋12n－1＝2－12n－1(n≥2).∴an＝2n－n2n－1(n≥2)，又a1＝1适合上式，∴an＝2n－n2n－1.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华(2)由(n＋2)a2n＋1－(n＋1)a2n＋anan＋1＝0，得(n＋2)an＋1an2＋an＋1an＝n＋1，所以an＋1an＝n＋1n＋2.又a1＝1，则an＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1＝nn＋1·n－1n·…·23·1＝2n＋1.故数列{an}的通项公式an＝2n＋1.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华(3)∵an＋1＝2an2an＋1，两边取倒数得1an＋1＝12an＋1，设bn＝1an，则bn＋1＝12bn＋1，则bn＋1－2＝12(bn－2)，∴bn＋1－2bn－2＝12，故{bn－2}是以b1－2＝1a1－2＝－74为首项，12为公比的等比数列.∴bn－2＝－7412n－1，即1an－2＝－7412n－1，得an＝2n＋12n＋2－7.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华探究提高(1)形如bn＋1－bn＝f(n)，其中f(n)＝k或多项式(一般不高于三次)，用累加法即可求得数列的通项公式；(2)形如an＋1＝an·f(n)，可用累乘法；(3)形如an＋1＝pan＋q(p≠1，q≠0)，可构造一个新的等比数列；(4)形如an＋1＝qan＋qn(q为常数，且q≠0，q≠±1)，解决方法是在递推公式两边同除以qn＋1.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华【训练2】(1)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，2Snn＝an＋1－13n2－n－23，n∈N*.①求a2的值；②求数列{an}的通项公式.(2)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＋1＋Sn＝a2n＋1，数列{bn}满足bn·bn＋1＝3an，且b1＝1.求数列{an}、{bn}的通项公式.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华解(1)①依题意，2S1＝a2－13－1－23，又S1＝a1＝1，所以a2＝4.②当n≥2时，2Sn＝nan＋1－13n3－n2－23n，2Sn－1＝(n－1)an－13(n－1)3－(n－1)2－23(n－1)，以上两式相减得，2an＝nan＋1－(n－1)an－13(3n2－3n＋1)－(2n－1)－23.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，即an＋1n