2017届高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形课件文

第2讲三角恒等变换与解三角形高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是C级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用.试题类型可能是填空题，同时在解答题中也是必考题，经常与向量综合考查，构成中档题；(2)正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是B级要求，主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.真题感悟(2016·江苏卷)在△ABC中，AC＝6，cosB＝45，C＝π4.(1)求AB的长；(2)cosA－π6的值.解(1)由cosB＝45，得sinB＝1－cos2B＝35.又∵C＝π4，AC＝6，由正弦定理，得ACsinB＝ABsinπ4，即635＝AB22⇒AB＝52.(2)由(1)得：sinB＝35，cosB＝45，sinC＝cosC＝22，则sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝7210，cosA＝－cos(B＋C)＝－(cosBcosC－sinBsinC)＝－210，则cosA－π6＝cosAcosπ6＋sinAsinπ6＝72－620.考点整合1.三角函数公式(1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα.(2)诱导公式：对于“kπ2±α，k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.(4)二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.2.正、余弦定理、三角形面积公式(1)asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝2R(R为△ABC外接圆的半径).变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.(2)a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC；推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab；变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.(3)S△ABC＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA.热点一三角恒等变换及应用【例1】(1)(2015·重庆卷改编)若tanα＝2tanπ5，则cosα－3π10sinα－π5＝________.(2)已知α为锐角，若cosα＋π6＝35，则cos2α－π6＝________.(3)(2016·苏北四市模拟)已知cosπ6＋α·cosπ3－α＝－14，α∈π3，π2.则sin2α＝________.解析(1)cosα－3π10sinα－π5＝sinπ2＋α－3π10sinα－π5＝sinα＋π5sinα－π5＝sinαcosπ5＋cosαsinπ5sinα·cosπ5－cosαsinπ5＝tanαtanπ5＋1tanαtanπ5－1＝2＋12－1＝3.(2)∵α为锐角，cosα＋π6＝35＞0，∴α＋π6为锐角，∴sinα＋π6＝45，则sin2α＋π3＝2sinα＋π6cosα＋π6＝2×45×35＝2425，又cos2α－π6＝sin2α＋π3，∴cos2α－π6＝2425.(3)cosπ6＋α·cosπ3－α＝cosπ6＋α·sinπ6＋α＝12sin2α＋π3＝－14，即sin2α＋π3＝－12.∵α∈π3，π2，∴2α＋π3∈π，4π3，∴cos2α＋π3＝－32，∴sin2α＝sin2α＋π3－π3＝sin2α＋π3cosπ3－cos2α＋π3sinπ3＝12.答案(1)3(2)2425(3)12探究提高1.解决三角函数的化简求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示(1)当已知角有两个时，“所求角”一般表示为“两个已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.【训练1】(1)已知sin2α＝23，则cos2α＋π4＝________.(2)(2016·南京、盐城模拟)sin(π－α)＝－53且α∈π，3π2，则sinπ2＋α2＝________.(3)(2015·江苏卷)已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝17，则tanβ的值为________.解析(1)法一cos2α＋π4＝121＋cos2α＋π2＝12(1－sin2α)＝16.法二cosα＋π4＝22cosα－22sinα.所以cos2α＋π4＝12(cosα－sinα)2＝12(1－2sinαcosα)＝12(1－sin2α)＝16.(2)sin(π－α)＝sinα＝－53，又α∈π，3π2，∴cosα＝－1－sin2α＝－1－－532＝－23.由cosα＝2cos2α2－1，α2∈π2，3π4，得cosα2＝－cosα＋12＝－66.所以sinπ2＋α2＝cosα2＝－66.(3)∵tanα＝－2，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－2＋tanβ1＋2tanβ＝17，解得tanβ＝3.答案(1)16(2)－66(3)3热点二正、余弦定理的应用[微题型1]三角形基本量的求解【例2－1】(1)(2016·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cosA＝45，cosC＝513，a＝1，则b＝________.(2)(2016·四川卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosAa＋cosBb＝sinCc.①证明：sinAsinB＝sinC；②若b2＋c2－a2＝65bc，求tanB.(1)解析在△ABC中由cosA＝45，cosC＝513，可得sinA＝35，sinC＝1213，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosA·sinC＝6365，由正弦定理得b＝asinBsinA＝2113.答案2113(2)①证明根据正弦定理，可设asinA＝bsinB＝csinC＝k(k0)，则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC.代入cosAa＋cosBb＝sinCc中，有cosAksinA＋cosBksinB＝sinCksinC，变形可得sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B).在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC.所以sinAsinB＝sinC.②解由已知，b2＋c2－a2＝65bc，根据余弦定理，有cosA＝b2＋c2－a22bc＝35.所以sinA＝1－cos2A＝45.由(1)，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以45sinB＝45cosB＋35sinB.故tanB＝sinBcosB＝4.探究提高1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”.[微题型2]求解三角形中的最值问题【例2－2】(2016·苏、锡、常、镇调研)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值.解(1)由acosC＋3asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋3sinAsinC－sinB－sinC＝0.因为B＝π－A－C，所以3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.易知sinC≠0，所以3sinA－cosA＝1，所以sinA－π6＝12.又0＜A＜π，所以A＝π3.(2)法一由(1)得B＋C＝2π3⇒C＝2π3－B0＜B＜2π3，由正弦定理得asinA＝bsinB＝csinC＝2sinπ3＝43，所以b＝43sinB，c＝43sinC.所以S△ABC＝12bcsinA＝12×43sinB×43sinC·sinπ3＝433sinB·sinC＝433·sinB·sin2π3－B＝43332sinBcosB＋12sin2B＝sin2B－33cos2B＋33＝233sin2B－π6＋33.易知－π6＜2B－π6＜7π6，故当2B－π6＝π2，即B＝π3时，S△ABC取得最大值，最大值为233＋33＝3.法二由(1)知A＝π3，又a＝2，由余弦定理得22＝b2＋c2－2bccosπ3，即b2＋c2－bc＝4⇒bc＋4＝b2＋c2≥2bc⇒bc≤4，当且仅当b＝c＝2时，等号成立.所以S△ABC＝12bcsinA＝12×32bc≤34×4＝3，即当b＝c＝2时，S△ABC取得最大值，最大值为3.探究提高求解三角形中的最值问题常用如下方法：(1)将要求的量转化为某一角的三角函数，借助于三角函数的值域求最值.(2)将要求的量转化为边的形式，借助于基本不等式求最值.[微题型3]求解三角形中的实际问题【例2－3】(2016·无锡高三期末)在一个直角边长为10m的等腰直角三角形ABC的草地上，铺设一个也是等腰直角三角形PQR的花地，要求P，Q，R三点分别在△ABC的三条边上，且要使△PQR的面积最小，现有两种设计方案：方案一：直角顶点Q在斜边AB上，R，P分别在直角边AC，BC上；方案二：直角顶点Q在直角边BC上，R，P分别在直角边AC，斜边AB上.请问应选用哪一种方案？并说明理由.方案一方案二解应选方案二，理由如下：方案一：过点Q作QM⊥AC于点M，作QN⊥BC于点N，因为△PQR为等腰直角三角形，且QP＝QR，∠MQR＝∠NQP，∠RMQ＝∠PNQ＝90°，所以△RMQ≌△PNQ，所以QM＝QN，所以Q为AB的中点，M，N分别为AC，BC的中点，则QM＝QN＝5m，设∠RQM＝α，则RQ＝5cosα，α∈[0°，45°]，所以S△PQR＝12×RQ2＝252cos2α.所以当cos2α＝1，即α＝0°时，S△PQR取得最小值252m2.方案二：设CQ＝x，∠RQC＝β，β∈[0°，90°)，在△RCQ中，RQ＝xcosβ，在△BPQ中，∠PQB＝90°－β，所以QPsinB＝BQsin∠BPQ，即x22cosβ＝10－xsin（45°＋β）.化简得xcosβ＝10－xsinβ＋cosβ，解得x＝1