2017届高考数学大一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 6.5 合情推理与演绎推理课件 文

第六章不等式、推理与证明第五节合情推理与演绎推理基础知识自主学习热点命题深度剖析思想方法感悟提升最新考纲1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。J基础知识自主学习知识梳理1．归纳推理(1)定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推理该类事物中_______事物都有这种属性，将这种推理方式称为归纳推理。(2)特点：由______到整体、由______到一般的推理。2．类比推理(1)定义：由于两类不同对象具有，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推理另一类对象也具有类似的其他特征，将这种推理过程称为类比推理。(2)特点：由特殊到______的推理。每一个部分个别某些类似的特征特殊3．合情推理合情推理是根据实际和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式。4．演绎推理的一般模式——“三段论”(1)大前提——已知的。(2)小前提——研究对象的。(3)结论——由大前提和小前提作出的判断。一般原理特殊情况基础自测[判一判](1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确。()解析错误。归纳推理和类比推理所得的结论都不一定正确。(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理。()解析正确。此推理为合情推理中的类比推理。(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适。()解析错误。平面中的平行四边形与空间中的平行六面体作类比对象较合适。×√×(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的。()解析正确。因为此推理过程的“大前提”错误。(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是an＝n(n∈N*)。()解析错误。如数列1,2,3,5的通项公式就不是an＝n(n∈N*)。√×[练一练]1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()A．28B．32C．33D．27解析由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9。则x－20＝12，因此x＝32。答案B2．观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是_____________。解析由题中所给的三组数据，可得5＋6－9＝2,6＋6－10＝2,6＋8－12＝2，由此可以猜想出一般凸多面体的顶点数V、面数F及棱数E所满足的等式是F＋V－E＝2。F＋V－E＝2解析y＝ax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错误。答案A3．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝13x是指数函数(小前提)，所以y＝13x是增函数(结论)”，上面推理的错误是()A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提都错导致结论错4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________。1∶8解析V1V2＝13S1h113S2h2＝S1S2·h1h2＝14×12＝18。R热点命题深度剖析归纳推理是发现问题、找出规律的具体鲜明的方法，也是创新的一种思维方式，因而成为高考考查的亮点，常以选择题、填空题的形式出现，主要考查数列、不等式、等式、函数、几何等问题。考点一归纳推理角度一：与数或式有关的归纳1．(2015·陕西卷)观察下列等式1－12＝121－12＋13－14＝13＋141－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16……据此规律，第n个等式可为________________________________________________。1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n解析经观察知，第n个等式的左侧是数列(－1)n－1·1n的前2n项和，而右侧是数列1n的第n＋1项到第2n项的和，故为1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n。2．(2015·山东卷)观察下列各式：C01＝40；C03＋C13＝41；C05＋C15＋C25＝42；C07＋C17＋C27＋C37＝43；……照此规律，当n∈N*时，C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋Cn－12n－1＝________。4n－1解析观察各式有如下规律：等号左侧第n个式子有n项，且上标分别为0,1,2，…，n－1，第n行每项的下标均为2n－1，等号右侧指数规律为0,1,2，…，n－1。所以第n个式子为C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋Cn－12n－1＝4n－1。3．(2016·西安模拟)观察下列不等式1＋12232，1＋122＋13253，1＋122＋132＋14274，……照此规律，第五个不等式为__________________________________。1＋122＋132＋142＋152＋162116解析观察不等式两边式子的特点，总结指数、项数、分子、分母之间的数量关系。左边的式子的通项是1＋122＋132＋…＋1n＋12。右边式子的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162116。角度二：与图形有关的归纳4．(2016·青岛模拟)某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图。(1)n级分形图中共有_____________条线段。解析(1)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3＝(3×2－3)条线段，二级分形图有9＝(3×22－3)条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，依此规律n级分形图中的线段条数an＝(3×2n－3)(n∈N＋)。3×2n－3解析分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，∴n级分形图中第n级的所有线段的长度为bn＝3×23n－1(n∈N＋)，∴n级分形图中所有线段长度之和为Sn＝3×230＋3×231＋…＋3×23n－1＝3×1－23n1－23＝9－9×23n。(2)n级分形图中所有线段长度之和为_______________。9－9×23n5.(2016·上海模拟)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为()A．6B．7C．8D．9解析由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n(n≥2，n∈N*)层的点数为6(n－1)。设一个点阵有n(n≥2，n∈N*)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋6＋6n－12×(n－1)＝3n2－3n＋1，由题意得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)·(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8层。答案C【规律方法】归纳推理的分类常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等。(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳。考点二类比推理【例1】(1)在等差数列{an}中，若am＝p，an＝q(m，n∈N＋，n－m≥1)，则am＋n＝nq－mpn－m。类比上述结论，对于等比数列{bn}(bn0，n∈N＋)，若bm＝r，bn＝s(n－m≥2，m，n∈N＋)，则可以得到bm＋n＝_______________。n－msnrm【解析】设公比为q，sn＝bn1qn(n－1)，rm＝bm1qm(m－1)，snrm＝bn－m1q(n－m)(n＋m－1)，bm＋n＝b1qn＋m－1＝n－msnrm。(2)在平面几何中，有“若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为S△ABC＝12(a＋b＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为___________________。”13(S1＋S2＋S3＋S4)r【解析】三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径。二维图形中12类比为三维图形中的13，得V四面体ABCD＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r。【规律方法】类比推理的分类类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解。(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键。(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移。变式训练1(1)给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，c∈C，则a－c＝0⇒a＝c”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b0⇒ab”类比推出“若a，b∈C，则a－b0⇒ab”；④“若x∈R，则|x|1⇒－1x1”类比推出“若z∈C，则|z|1⇒－1z1”。其中类比结论正确的个数为()A．1B．2C．3D．4解析类比结论正确的有①②。答案B(2)(2016·长沙模拟)已知P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p0)上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y2＝2px两边同时对x求导，得2yy′＝2p，则y′＝py，所以过P的切线的斜率k＝py0。类比上述方法求出双曲线x2－y22＝1在P(2，2)处的切线方程为______________。2x－y－2＝0解析将双曲线方程化为y2＝2(x2－1)，类比上述方法两边同时对x求导得2yy′＝4x，则y′＝2xy，即过P的切线的斜率k＝2x0y0，由于P(2，2)，故切线斜率k＝222＝2，因此切线方程为y－2＝2(x－2)，整理得2x－y－2＝0。考点三演绎推理【例2】数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝n＋2nSn(n∈N*)。证明：(1)数列Snn是等比数列；(2)Sn＋1＝4an。【证明】∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝n＋2nSn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn。故Sn＋1n＋1＝2·Snn，(小前提)故Snn是以2为公比，1为首项的等比数列。(结论)(大前提是等比数列的定义)【证明】由(1)可知Sn＋1n＋1＝4·Sn－1n－1(n≥2)，∴Sn＋1＝4(n＋1)·Sn－1n－1＝4·n－1＋2n－1·Sn－1＝4an(n≥2)。(小前提)又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an。(结论)(2)Sn＋1＝4an。【规律方法】应用演绎推理应注意的问题演绎推理是从一般到特殊的推理。其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果大前提是显然的，则