GMM广义矩估计

0八、广义估计方程(GMM)1GMM方法介绍线性模型的假设检验非线性的GMM2GMM方法的介绍3背景GMM方法由Hansen(1982)提出，已经成为计量经济和金融等领域一个重要的研究方法和极大似然估计(MLE)相比，GMM方法不需要对模型的分布做任何假定。在一些情况下，GMM方法也比MLE计算方便4单个方程的线性GMM考虑线性回归模型其中是的解释变量，为未知系数向量。可能和相关。如果我们称为内生变量。如果含有内生变量，的最小二乘是有偏的，并且不一致的(1.1),,10ntzyttttz1L0t0ttkEz0tztztkz5假定存在的工具变量，可能包含部分或全部的，满足其中是一个平稳的遍历随机过程由(1.2)给出以下关系其中为了保证模型可识别，一个必要条件为tz1K(1.3)LK(1.2)0)(),(00tttttttzyExExwEgtxtw)(),(00tttttttzyxxwg0xzxyttxzttxyzExyExand6模型(1.1)允许条件异方差和序列相关。假定是一平稳的遍历的鞅差序(MDS)满足其中是的非奇异矩阵令有其中。符号表示的极限协方差矩阵}{tgSxExgEgttttt2tntttwgng101),(),0(11SNxngndntttSg)avar()(avarggnSKK7假定是一平稳的遍历的随机过程条件异方差和序列相关，那么有其中，)(),0(1101jjjjjdntttSSNxngn}{}{tttxgjttjttjttjxExgEgt8GMM估计的定义定义把(1.2)用起样本矩来表示•如果•如果，(1.5)的解可能不唯一。为正定的权矩阵，满足，那么计算可得nttttnttnzyxnwgng11)(1),(1)((1.5)0xzxySSxyxzSSLK-1xzSˆ,and可逆LKWˆWWpˆ(1.6)ˆ)ˆ,(minarg)ˆ(ˆnngWgnWJW(1.7)ˆ)ˆ()ˆ(ˆ1xyxzxzxzSWSSWSW9渐近性质在一些正则条件下有其中其一致估计可以由下式给出)))ˆ(ˆavar(,0())ˆ(ˆ(n)ˆ(ˆ00WNWWdp(1.8))()())ˆ(ˆavar(11xzxzxzxzxzxzWWS(1.9))ˆ(ˆˆˆ)ˆ(11xzxzxzxzxzxzSWSSWSWSSWS10估计的效率GMM估计效率的定义的一致估计可以由下式给出ˆminarg)ˆ(ˆ11nngSgnSSntttttnttttzyxxnxxnS1212)ˆ(1ˆ111两步有效估计给一个初始,通常选取和然后计算出,二步有效估计为迭代有效估计，利用两步有效估计的计算过程,不断地更新，直到估计的前后两次估计没有显著变化连续更新有效估计(看做的函数)WˆSˆkIWˆ11)(ˆXXnW)ˆ(ˆW)()ˆ(ˆ)(minarg))ˆ(ˆ(ˆ11nngWSgnWSntttttnnCUzyxxnSgSgnS12111)(/1)(ˆ)()(ˆ)(minarg)ˆ(ˆ12J-统计量(Hansen1982)其中表示的有效估计，为的相合估计•如果，那么•如果，在一些正则条件下J-统计量可以用来检验模型是否被错误识别(1.15)))ˆ(ˆ(ˆ))ˆ(ˆ()ˆ),ˆ(ˆ(11111SgSSgnSSJJnn)ˆ(ˆ1SSˆSLK0JLK)(2LKJd13标准化的矩在原假设模型正确识别和正交条件成立的条件下，标准化的矩满足考虑单个t-统计量其中如果模型被J-统计量拒绝，大的的表示第i个矩条件被错误指定)][,0())ˆ(ˆ(111xzxzxzxzdnSSNSgnK,1,i)))ˆ(ˆ((/))ˆ(ˆ(i11SgSESgtnini2/1111)/ˆ]ˆˆˆ[ˆˆ()))ˆ(ˆ((iixzxzxzxzinnSSSgSEit14两步最小二乘如果模型(1.1)的误差项是条件同方差，那么的相合估计可以表示为典型的取有效GMM估计为，和无关SxExxxttt22SxxSS2ˆˆ01212ˆwhere)ˆ(ˆntttzyn)(ˆ)ˆ(ˆ112xxxxSS2ˆTSLSxyxxxzxzxxxzxxSSSSSSSˆ)()(ˆ111115S的估计要得到有效GMM估计，需要的相合估计序列不相关的矩:(通常为遍历平稳的MDS)，那么根据White(1982),的一个异方差(HC)估计)avar(gS)(0tg)])()g(E[g)avar(0t0tgSS)ˆ()ˆ(11tnttgg/nS16序列相关时的矩：如果总体的矩条件是遍历平稳，但是序列相关的过程，那么其中，那么的一个异方差但自相关的估计为其中为核函数的权，是一非负和样本量有关的窗宽参数为的一个相合估计)(0tg)()avar(10jjjgS])()([00jttjggES))ˆ(ˆ)ˆ(ˆ(1ˆ1,jbjjnjnHACnbS),,1(,nnjbjnb0ˆ17线性模型的假设检验18关于系数推断检验问题定义t-统计量在原假设成立的情况下渐近的标准正态分布00:kkH))ˆ((ˆ)ˆ(0WESWtkkkkkt19线性假设问题Wald-统计量在原假设成立的条件下，Wald-统计量渐j近地服从，其中rRH:0))ˆ(ˆ(R))ˆ(ˆ(rˆava))ˆ(ˆ(Wald1rWRWRrWRn)(2q)(Rrankq20非线性假设问题其中隐含着个非线性约束且Wald-统计量在原假设成立的条件下，Wald-统计量渐近地服从0)(:00aH0)(0aqqarank))((0))ˆ(ˆ())ˆ(())ˆ(ˆ(rˆava))ˆ(())ˆ(ˆ(Wald100WaWaWWaWna)(2q21线性和非线性检验问题还可以使用似然比统计量(LR)，带有约束条件的GMM估计GMM的LR-检验统计量在上述线性和非线性约束条件下，渐近地服从011subjectto)ˆ,J(minarg)ˆ(~HSSR)ˆ),ˆ(ˆJ()ˆ),ˆ(~J(1111SSSSLRRGMMGMMLR)(2q22非线性的GMM23假定有个GMM矩估计条件是模型参数的非线性函数，满足或者，响应变量个解释变量个工具变量，满足假定和正交，定义有K),(twg1q0),(0twEgtyLtzKtxtttzya);,(0txttttxwg),(00);,(),(00ttttttzyaExExwEg24可识别条件并且阶矩阵列满秩00for0),(0),(ttwEgwEgpK),(0twgEG25估计。令如果相应的GMM估计定义为如果，过度识别，则定义其中正定的权矩阵，有效GMM估计取。和线性的情况类似，非线性的GMM估计也可以采用类似的算法)()()(),(1)(1nnnttngngJwgng)(minargˆJpKpK0)(ˆ)()ˆ,(minargˆnngWngWJWˆ1ˆˆSW)var(ˆgaSSp26渐近性质：在一些正则条件下其中其相合估计为对有效的GMM估计取•如果序列是平稳遍历的MDS，可以取•如果是自相关序列，取法和线性的类似)))ˆ(ˆvar(,0())ˆ(ˆ()ˆ(ˆ00WaNWnWdp11)()())ˆ(ˆ(avarWGGWSWGGWGGW11)ˆˆˆ(ˆˆˆˆˆ)ˆˆˆ(GWGGWSWGGWG1ˆˆSWSˆntttttwgwgn11)ˆ,()ˆ,()ˆ,(ttwg)ˆ,(ttwg27检验问题和线性情况类似，我们也可以得到相应的非线性模型的检验方法28Example29StochasticVolatilityModelsThesimplelog-normalstochasticvolatility(SV)model,duetoTaylor(1986),isgivenbyTheseriesisstrictlystationaryandergodic,andunconditionalmomentsofallordersexist.),,(),0(~),(lnln,,2,1,.00002.021002utttutttttINiiduZuntZyty30IntheSVmodel,theseriesisseriallyuncorrelatedbutdependencyinthehigherordermomentsisinducedbytheseriallycorrelatedstochasticvolatilitytermShephard(1996)surveystheuseofARCHandSVmodelsinfianceandnotessomeimportantadvantagesofSVmodelsoverARCHmodelsty2lnt31SimulationSimulateddataforSVmodelwithand736.0090.00363.0,0u32EstimationTodescribethemomentconditions,defineThemomentconditionsareexpressedas33whereLetanddefinethevector124)exp()2/exp()2/exp()8/2/exp()/2(||),(2102221022222/1tttttyyyywg34ResultsSincetheelementsofareseriallycorrelated,theefficientweightmatrixmustbeestimatedusinganHACestimator.tw35ThehighP-valuefortheJ-statisticindicatesthatthe24momentconditionsarenotrejectedbythedataConsistentwiththefindingsofAndersen,isnotestimatedverypreciselywhereasisestimatedfairlyprecisely.0036SVmodelforS&P500indexConsiderestimationofSVmodelusingthedailyreturnsontheS&P500indexoverperiodMarch14,1996throughJune,30,200337ResultsThelowP-valueontheJ-statisticindicatesthattheSVmodeldoesnotfitS&Pdailyreturn.THANKYOU