24.1.4 圆周角(二)

在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.顶点在圆上，两边与圆相交的角,叫圆周角.圆周角的概念圆周角定理推论：半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°;90°的圆周角所对的弦是圆的直径.复习巩固1.如图，在⊙O中∠ABC=50°，则∠AOC等于（）A.50°；B.80°；C.90°；D.100°ACBOD2.如图，△ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则∠BPC等于（）A.30°；B.60°；C.90°；D.45°CABPB巩固练习3.如图,△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上,∠C＝30°,AB＝2,则⊙O的半径是。CABO24.课本P88第5题。巩固练习例1.如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．86102222ACABBC又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，221052(cm)22ADBDAB·ABCDO解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴AD=BD.1068例题讲解∴AD=BD.1.如图,以⊙O的半径OA为直径作⊙O1,⊙O的弦AD交⊙O1于C,则OC与AD的位置关系是_____,OC与BD的位置关系是_____,若AC=2cm,则AD=__cm。ABCDOO1垂直平行4随堂练习3.如图,∠A=50°,∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（）A.70°B.110°C.90°D.120°2.如图AB,AC为⊙O的两条弦,延长CA到D,使AD=AB,若∠ADB=300.则∠BOC=________。CABODEBACBODE1200随堂练习分析：同一条弧所对的圆周角有很多，圆周角的位置灵活多变，可以把注意力放在圆周角所对的弧上.4.如图，AB是⊙O的直径,C和D是圆上的两点,若∠ABD=40°,求∠BCD的度数.ABOCD40°随堂练习例2.如图，AB为⊙O的一条固定直径，自上半圆上一点C，作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在半圆（不含A,B两点）上移动时，问：点P的位置是否变化？PABDCOE分析延长CO与⊙O交于点E，易证CA=DA，又CA=BE，则DA=BE，由∠OCD的平分线得DP=PE，则AP=BP，所以点P为半圆的中点.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒例题讲解分析连结AO，CO，由勾股定理不难得到△ABD为等腰直角三角形，则∠AOC==90°，又OA=OC，AC长度已知，则可以求出半径和直径.更一般的情况要用正弦定理来求.OCBAD5.如图，A，B，C三点在⊙O上，AD⊥BC于D，且AC=5，DC=3，AB=，求⊙O的直径.24随堂练习1.(08青海西宁)如图,⊙O中,弦DC、AB的延长线相交于点P,如果∠AOD=1200,∠BDC=250,那么∠P=．ADCPBO350走进中考2.(08山东泰安)如图,在⊙O中,∠AOB的度数为m.C是∠ACB上一点,D、E是AB弧上不同的两点(不与A,B两点重合),则∠D+∠E的度数为（）A.mB．C．D．1802m902m2mCBODEA走进中考B如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形就叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.·ABCDO如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆。思考：∠A+∠C=?能用圆周角定理证明你的结论吗？圆内接四边形的对角互补。6.如图,⊙O中,∠A0B=80º,则∠ACB=____.140ºAOCBD随堂练习7.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）·ABCO求证：△ABC为直角三角形.证明：以AB为直径作⊙O，∵AO=BO，∴AO=BO=CO.∴点C在⊙O上.又∵AB为直径,∴∠ACB=90°.12已知：CO是△ABC的AB边上的中线，且CO=AB∴△ABC为直角三角形.CO=AB,1212随堂练习1.船在航行过程中,船长常常通过测定角度来测定是否会遇到暗礁,如图表示灯塔,暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内,C表示一个危险临界点,∠ACB就是“危险角”,当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时,就有可能触礁。1）当船与两个灯塔的夹角α大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？2）当船与两个灯塔的夹角α小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？AEOBCP拓展提高2.如图,在足球比赛中,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻,当甲带球冲到A点时,乙已跟随冲到B点,从数学角度看,此时甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好？拓展提高提示:从数学角度看,甲、乙谁射门好,关键是比较∠MAN与∠MBN的大小,角度越大,射门的机会越好。2.如图,在足球比赛中,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻,当甲带球冲到A点时,乙已跟随冲到B点,从数学角度看,此时甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好？拓展提高提示:从数学角度看,甲、乙谁射门好,关键是比较∠MAN与∠MBN的大小,角度越大,射门的机会越好。3.如图,点P是圆上的一个动点,弦AB=,PC是∠APB的平分线,∠BAC=300.(1)当∠PAC等于多少度时四边形PACB有最大面积？最大面积是多少？(2)当∠PAC等于多少度时四边形PACB是梯形？3OCABP拓展提高P1P2P3如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下．DABCOOO·方法一方法二方法三方法四AB合作交流