76空间向量的数量积运算

第三章空间向量与立体几何人教A版数学第三章空间向量与立体几何人教A版数学第三章空间向量与立体几何人教A版数学1．知识与技能掌握空间两个向量的夹角，两个向量互相垂直的概念及表示方法．掌握两个向量的数量积的概念、计算方法以及运算律．2．过程与方法能够初步运用空间向量的数量积，来研究空间线面的垂直关系．了解三垂线定理及其逆定理．第三章空间向量与立体几何人教A版数学第三章空间向量与立体几何人教A版数学重点：理解掌握两个向量的夹角，两个向量的数量积的概念，理解两个向量的数量积的计算方法、运算律及应用．难点：两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题．第三章空间向量与立体几何人教A版数学第三章空间向量与立体几何人教A版数学1．由于空间任意两个向量都可转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示及向量的模的概念和表示等，都与平面向量相同．2．要准确理解两向量夹角的概念，它和两直线夹角是不同的，它与向量的方向有关，其取值范围是[0，π]．记〈a，b〉＝θ，a、b都是非零向量．①a∥b时，θ＝0或π，θ＝0时，a与b同向；θ＝π时，a与b反向．第三章空间向量与立体几何人教A版数学③θ为锐角时，a·b0，但a·b0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b0，但a·b0时，θ可能为π.④|a·b|≤|a|·|b|，特别地，当θ＝0时，a·b＝|a|·|b|，当θ＝π时，a·b＝－|a|·|b|.⑤对于实数a、b、c，若ab＝ac，a≠0，则b＝c；对于向量a、b、c，若a·b＝a·c，a≠0，却推不出b＝c，只能得出a⊥(b－c)．⑤a·b＝0a＝0或b＝0，a＝0时，一定有a·b＝0.第三章空间向量与立体几何人教A版数学⑥三个不为零的三个实数a、b、c，有(ab)c＝a(bc)成立，但对于三个向量a、b、c，(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b是一个实数，(a·b)c是与c共线的向量，而a(b·c)是与a共线的向量，a与c却不一定共线．与平面上两个向量的数量积一样，空间两个向量的数量积也具有如下性质．1°a⊥b⇔a·b＝0.用于判断两向量是否垂直．2°|a|2＝a·a用于求向量的模．3°|a·b|≤|a||b|用于判断或证明不等式．第三章空间向量与立体几何人教A版数学第三章空间向量与立体几何人教A版数学1．已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作，则角叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．通常规定0°≤〈a，b〉≤180°，且〈a，b〉＝〈b，a〉如果〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.∠AOB90°第三章空间向量与立体几何人教A版数学2．空间两个非零向量a、b，a·b＝.叫做向量a、b的数量积(或内积)．同平面向量一样，空间两个向量的数量积是一个实数，空间两个向量的数量积也具有如下性质：(1)a⊥b⇔；(2)|a|2＝；空间两个向量的数量积同样满足如下运算律：(1)(λa)·b＝；(2)a·b＝；(交换律)(3)(a＋b)·c＝(分配律)．|a||b|cos〈a，b〉a·b＝0a·aλ(a·b)b·aa·c＋b·c第三章空间向量与立体几何人教A版数学3．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的垂直，那么它也和这条斜线垂直．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和垂直．即与斜线垂直⇔与射影垂直．一条斜线的射影这条斜线在平面内的射影第三章空间向量与立体几何人教A版数学第三章空间向量与立体几何人教A版数学[例1]如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算第三章空间向量与立体几何人教A版数学[分析]求向量的数量积，关键是把所求向量用已知长度和夹角的向量线性表示，然后据定义进行计算，特别注意a与b的夹角是其方向的夹角．如〈BD→，DC→〉＝120°，易错写成〈BD→，DC→〉＝60°.第三章空间向量与立体几何人教A版数学[解析](1)EF→·BA→＝12BD→·BA→＝12|BD→|·|BA→|cos〈BD→，BA→〉＝12×1×1×cos60°＝14.(2)EF→·BD→＝12|BD→|·|BD→|cos〈BD→，BD→〉＝12×1×1×cos0°＝12.(3)EF→·DC→＝12BD→·DC→＝12|BD|→·|DC|→cos〈BD→，DC→〉＝12×1×1×cos120°＝－14.第三章空间向量与立体几何人教A版数学(4)BF→·CE→＝12(BD→＋BA→)·12(CB→＋CA→)＝14[BD→·(－BC→)＋BA→·(－BC→)＋BD→·CA→＋BA→·CA→]＝14[－BD→·BC→－BA→·BC→＋(CD→－CB→)·CA→＋AB→·AC→]＝14[－12－12＋12－12＋12]＝－18.第三章空间向量与立体几何人教A版数学向量a、b之间的夹角为30°，且|a|＝3，|b|＝4，则a·b＝________，a2＝________，b2＝________，(a＋2b)·(a－b)＝________.第三章空间向量与立体几何人教A版数学[解析]a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×4×cos30°＝63；a2＝a·a＝|a|2＝9；b2＝b·b＝|b|2＝16；(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝9＋63－32＝63－23.[点评]由于内积满足分配律，故可象多项式乘以多项式一样展开.第三章空间向量与立体几何人教A版数学[例2]已知|a|＝22，|b|＝22，a·b＝2，求a与b的夹角．[解析]cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝222·22＝22∵0°≤〈a，b〉≤180°∴〈a，b〉＝45°，∴a与b夹角的大小为45°.第三章空间向量与立体几何人教A版数学[点评]空间向量中，求两向量夹角与平面向量求法完全相同，都是应用公式cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|，解题的关键就是求a·b和|a|、|b|.求模时主要应用|a|2＝a·a解决．第三章空间向量与立体几何人教A版数学如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角第三章空间向量与立体几何人教A版数学[解析]不妨设正方体的棱长为1,设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0，A1B→＝a－c，AC→＝a＋b.∴A1B→·AC→＝(a－c)·(a＋b)＝|a|2＋a·b－a·c－b·c＝1，而|A1B→|＝|AC→|＝2.∴cos〈A1B→，AC→〉＝12×2＝12，∴〈A1B→，AC→〉＝60°.因此，异面直线A1B与AC所成的角为60°.第三章空间向量与立体几何人教A版数学[例3]已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC.M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.[分析]要证OG⊥BC，只要证OG→·BC→＝0，关键是把OG→、BC→用一组基向量OA→、OB→、OC→表示出来．第三章空间向量与立体几何人教A版数学[证明]如图所示，连结ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，又设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则|a|＝|b|＝|c|，∴a·b＝b·c＝a·c＝|a|2cosθ，又OG→＝12(OM→＋ON→)＝12[12OA→＋12(OB→＋OC→)]＝14(a＋b＋c)．BC→＝c－b第三章空间向量与立体几何人教A版数学∴OG→·BC→＝14(a＋b＋c)(c－b)＝14(ac－ab－b2＋c2)＝0.∴OG⊥BC.第三章空间向量与立体几何人教A版数学已知空间四边形OABC中，M、N、P、Q分别为BC、AC、OA、OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.第三章空间向量与立体几何人教A版数学[证明]如图，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，又P、M分别为OA，BC的中点．∴PM→＝OM→－OP→＝12(b＋c)－12a＝12[(b－a)＋c]．同理，QN→＝12(a＋c)－12b＝－12[(b－a)－c]．∴PM→·QN→＝－14[|b－a|2－|c|2]又AB＝OC，即|b－a|＝|c|.∴PM→·QN→＝0.∴PM→⊥QN→，即PM⊥QN.第三章空间向量与立体几何人教A版数学第三章空间向量与立体几何人教A版数学[例4]设a⊥b，a，c＝π3，b，c＝π6，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求向量a＋b＋c的模．[分析]可直接运用|a|2＝a·a.第三章空间向量与立体几何人教A版数学[解析]|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋a·c＋b·c)＝1＋4＋9＋2(0＋1×3×12＋2×3×32)＝17＋63，∴|a＋b＋c|＝17＋63.[说明]公式：(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b2|＋|c2|＋2a·c＋2a·b＋2b·c，应牢记并能熟练的应用．第三章空间向量与立体几何人教A版数学已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且两两夹角为60°，则AC1的长是多少？第三章空间向量与立体几何人教A版数学[解析]AC1→＝AB→＋AD→＋AA1→，∴|AC1→|2＝(AB→＋AD→＋AA1→)2＝AB→2＋AD→2＋AA1→2＋2AB→·AD→＋2AB→·AA1→＋2AD→·AA1→＝1＋1＋1＋2×1×1×cos60°＋2×1×1×cos60°＋2×1×1×cos60°＝6.∴|AC1→|＝6.第三章空间向量与立体几何人教A版数学第三章空间向量与立体几何人教A版数学[例5]如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离．第三章空间向量与立体几何人教A版数学[误解]∵BD→＝BA→＋AC→＋CD→，∴|BD→|2＝|BA→|2＋|AC→|2＋|CD→|2＋2BA→·AC→＋2BA→·CD→＋2AC→·CD→，而BA→，AC→＝90°，BA→，CD→＝60°，AC→，CD→＝90°，∴|BD→|2＝1＋1＋1＋2×1×1×cos60°＝4.∴|BD→|＝2.第三章空间向量与立体几何人教A版数学[解析]把两点间距离表示出来，由a2＝|a|2求距离，但应注意向量的夹角，三角形内角的区别．第三章空间向量与立体几何人教A版数学[正解]求B、D间的距离就是求|BD→|，关键是如何表示BD→，由题可知BD→＝BA→＋AC→＋CD→，∵∠ACD＝90°，∴AC→·CD→＝0，同理AC→·BA→＝0，∵AB与CD成60°角，∴BA→，CD→＝60°或120°.又BD→＝BA→＋AC→＋CD→，∴|BD→|·|BD→|＝|BA→|2＋|AC→|2＋|CD→|2＋2BA→·AC→＋2BA→·CD→＋2AC→·CD→第三章空间向量与立体几何人教A版数学＝3＋2×1×1×cosBA→，CD→＝4(BA→，CD→＝60°)，2(BA→，CD→＝120°).∴|BD→|＝2或2.即B、D之间的距离为2或2.第三章空间向量与立体几何人教A版数学第三章空间向量与立体几何人教A版数学一、选择题1．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|等于()A．22B．48C.D．32[答案]A[解析]∵|a＋b|2＝a2＋b2＝2a·b，|a－b|2＝a2＋b2－2a·b，∴|a－b|2＝2(a2＋b2)－|a＋b|2＝2×(132＋192)－242＝484，∴|a－b|＝22.故选A.第三章空间向量与立体几何人教A版数学2．下列式子中正确的是()A．|a|·a＝a2B．(a·b)2＝a2·b2C．(a·b)c＝a(b·c)D．|a·b|≤|a||b|[答案]D第三章空间向量与立体几何人教A版数学[解析]|a|·a是与a共线的向量，a2是实数，故A不对；(a·b)2＝|a|2·|b|2·cos2〈a，b〉≠a2·b2，故B