高等代数北大版1-4

§4最大公因式§5因式分解§6重因式§10多元多项式§11对称多项式§3整除的概念§2一元多项式§1数域§7多项式函数§9有理系数多项式§8复、实系数多项式的因式分解第一章多项式一、公因式最大公式二、最大公因式的存在性与求法三、互素四、多个多项式的最大公因式§1.4最大公因式i)()(),()();dxfxdxgx1．公因式:()()[],fxgxPx、()xPx[],若满足:()(),xgx()()xfx且2．最大公因式:()()[],fxgxPx、()[]dxPx若满足：ii)若，且，则()[]xPx()()xfx()()xgx()().xdx则称为的最大公因式．()dx()()、fxgx则称为的公因式．()()fxgx、()x一、公因式最大公因式§1.4最大公因式①的首项系数为1的最大公因式记作:()()、fxgx(())).(fxgx、注：②，是与零多项式0的最()[]fxPx()fx()fx大公因式．③两个零多项式的最大公因式为0．④最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大公因式是唯一的.若为12()()dxdx、()()、fxgx的最大公因式，则，c为非零常数．12()c()dxdx=若不全为零，则(),()fxgx((),())0.fxgx§1.4最大公因式二、最大公因式的存在性与求法若等式成立，则与有相同的公因式,从而．()()()()fxqxgxrx()()、fxgx()()、gxrx(()())(()()),,fxgxgxfx引理：§1.4最大公因式定理2对，在中存在一个最大公因式，且可表成的一个组合，即，使．()()[]fxgxPx、[]Px()dx()dx()()、fxgx()()[]uxvxPx、()()()()().dxuxfxvxgx=§1.4最大公因式若有一为0，如，则()()、fxgx()0gx()fx就是一个最大公因式．且()1()0().fxfxgx考虑一般情形：()0,()0,fxgx用除得：()gx()fx11()()()()fxqxgxrx其中或.1(())(())rxgx1()0rx212()()()()gxqxrxrx若，用除，得：1()rx()gx1()0rx证：§1.4最大公因式若，用除，得2()0rx2()rx1()rx1323()()()(),rxqxrxrx如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低，因此，有限次后，必然有余式为0．设1()0.srx其中或．21(())(())rxrx2()0rx……12(())(())(())……gxrxrx即于是我们有一串等式§1.4最大公因式212()()()()gxqxrxrx1323()()()()rxqxrxrx………………………………i2ii-1i()()()()rxqxrxrxs3s1s2s1()()()()rxqxrxrxs2ss1s()()()()rxqxrxrxs1s1s()()()0rxqxrx11()()()()fxqxgxrx§1.4最大公因式1(()())=(()())fxgxgxrx,,s1s=(()())rxrx,s()()()()().rxuxfxvxgx=从而有12=(()())rxrx,=…s=(()0)rx,再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去s11(),,()rxrx再并项就得到§1.4最大公因式说明:①定理２中用来求最大公因式的方法，通常称为辗转相除法．②定理２中最大公因式()=()()+()()dxuxfxvxgx中的不唯一.()()、uxvx③对于，使,但是未必是的最大公因式.(),()()[]()()[]dxfxgxPxuxvxPx,,,()()()()()=dxuxfxvxgx()dx()(),fxgx§1.4最大公因式如:，则2()=1,()=1fxxgx(()())=1.fxgx、取，有2()=1,()=uxvxx()()+()()=1,uxfxvxgx取，也有()=0,()=1uxvx()()+()()=1,uxfxvxgx取,也有2()=2,()=21uxvxx()()+()()=1.uxfxvxgx成立．[()()g()]()[()+()()]g()=()uxhxxfxvxhxfxxdx事实上,若则对，()hx()()+()()=(),uxfxvxgxdx§1.4最大公因式④若，且()()()()()dxuxfxvxgx=()(),()()dxfxdxgx则为的最公因式．()dx()()、fxgx设为的任一公因式，则()x()()、fxgx()(),()(),xfxxgx证：()(()()()(),xuxfxvxgx从而()().xdx即∴为的最大公因式．()dx()()、fxgx§1.4最大公因式例1432()242,fxxxxx-432()2,gxxxxx-2求，并求使(()())、fxgx(),()uxvx(()())()()()().fxgxuxfxvxgx、§1.4最大公因式432242xxxx-43222xxxx-()fx()gx43222xxxx-11()qx32xx1()rx1x422xx3222xxx32xx22x2()rx2()qxx3()qx32xx02((),())2fxgxx-22(1)()(2)().xxfxxgx解:且由112()()(),()(1)()()fxgxrxgxxrxrx得§1.4最大公因式例2.设432()343fxxxxx32()31023gxxxx求，并求使(()())、fxgx(),()uxvx(()())()()()().fxgxuxfxvxgx、§1.4最大公因式因式，即就可以)，这是因为和具有完全相同的()fx()cfx若仅求，为了避免辗转相除时出现(()())、fxgx注:分数运算，可用一个数乘以除式或被除式(从一开始1((),())((),())fxgxcfxgx212((),())((),()),fxcgxcfxcgx为非零常数．12,cc§1.4最大公因式(),()[],fxgxPx则称为互素的(或互质的)．(),()fxgx1．定义:三、互素((),())1,fxgx若互素()(),fxgx((),())1fxgx(),()fxgx除去零次多项式外无说明:由定义，其它公因式．§1.4最大公因式定理3互素，使(),()[],fxgxPx(),()fxgx()()()()1uxfxvxgx(),()[]uxvxPx2．互素的判定与性质证：显然．设为的任一公因式，则()(),()xfxgx()(),()(),xfxxgx从而()1,x又1(),x(),0.xcc故((),())1.fxgx§1.4最大公因式定理4若，且，则(),()1fxgx()|()()fxgxhx()|().fxhx(),()1,fxgx(),()[],uxvxPx证：使()()()()1uxfxvxgx()()()()()()()uxfxhxvxgxhxhx于是有又()|()(),fxgxhx()|()()fxfxhx()|().fxhx§1.4最大公因式1()|()fxgx推论若，且12()|()()|(),fxgxfxgx又2()|(),fxgx211()|()().fxfxhx12((),())1fxfx12()()|().fxfxgx，则证:11()()(),gxfxhx，使1()hx于是，使2()hx122()()(),hxfxhx12()()|()fxfxgx12((),())1,fxfx而21()|()fxhx由定理4有122()()()()gxfxfxhx从而§1.4最大公因式12(),(),,()[](2)sfxfxfxPxs若满足:()[]dxPx定义i)()(),1,2,,…idxfxis则称为的最大公因式．()dx12(),(),,()sfxfxfx()[],xPxii)()(),1,2,,…ixfxis若()().xdx则四、多个多项式的最大公因式§1.4最大公因式注：12(),(),,()sfxfxfx表示首1最大公因式．1211,.sssfffufuf,=②，使12,[]suuuPx12121,,,,,sssfffffff=,③11,,,,,,11kksffffks=①的最大公因式一定存在．12(),(),,()sfxfxfx111.ssufuf④互素使12,,,sfff12,,,[],suuuPx§1.4最大公因式附:最小公倍式设，若(),(),()[]mxfxgxPxi)()|()()|();fxmxgxmx,ii)对的任一公倍式，都有(),()fxgx()x()|().mxx则称为的最小公倍式．()mx(),()fxgx(),().fxgx注:的首项系数为1的最小公倍式记作:()()、fxgx