【志鸿优化设计】(浙江版)2016高考数学二轮专题复习 专题四 4.1 等差数列与等比数列课件 新人

专题四数列第1讲等差数列与等比数列-3-热点考题诠释能力目标解读123451.(2015课标全国Ⅰ,文7)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和.若S8=4S4,则a10=()A.B.C.10D.12答案解析解析关闭答案解析关闭B-4-热点考题诠释能力目标解读123452.(2015课标全国Ⅱ,文9)已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.D.答案解析解析关闭答案解析关闭C-5-热点考题诠释能力目标解读123453.(2015浙江,文10)已知{an}是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1=,d=.答案解析解析关闭答案解析关闭-6-热点考题诠释能力目标解读123454.(2015课标全国Ⅰ,文13)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=.答案解析解析关闭答案解析关闭6-7-热点考题诠释能力目标解读123455.(2015重庆,文16)已知等差数列{an}满足a3=2,前3项和S3=.(1)求{an}的通项公式;(2)设等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a15,求{bn}的前n项和Tn.解:(1)设{an}的公差为d,则由已知条件得a1+2d=2,3a1+d=,化简得a1+2d=2,a1+d=,解得a1=1,d=,故通项公式an=1+,即an=.(2)由(1)得b1=1,b4=a15==8.设{bn}的公比为q,则q3==8,从而q=2,故{bn}的前n项和Tn==2n-1.-8-热点考题诠释能力目标解读高考中对等差(等比)数列的考查主、客观题型均有所体现,一般以等差、等比数列的定义或以通项公式、前n项和公式为基础考点,常结合数列递推公式进行命题,主要考查学生综合应用数学知识的能力以及计算能力等,中低档题占多数.考查的热点主要有三个方面:(1)对于等差、等比数列基本量的考查,常以客观题的形式出现,考查利用通项公式、前n项和公式建立方程组求解,属于低档题;(2)对于等差、等比数列性质的考查主要以客观题出现,具有“新、巧、活”的特点,考查利用性质解决有关计算问题,属中低档题;(3)对于等差、等比数列的判断与证明,主要出现在解答题的第一问,是为求数列的通项公式而准备的,因此是解决问题的关键环节.-9-命题热点易错题型热点一热点二热点三等差、等比数列的基本运算例1(2014浙江,文19)已知等差数列{an}的公差d0.设{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2·S3=36.(1)求d及Sn;(2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65.解:(1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36,将a1=1代入上式解得d=2或d=-5.因为d0,所以d=2.从而an=2n-1,Sn=n2(n∈N*).(2)由(1)得am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k-1)·(k+1).所以(2m+k-1)(k+1)=65.由m,k∈N*知2m+k-1≥k+11,故所以-10-命题热点易错题型热点一热点二热点三规律方法此类问题应将重点放在通项公式与前n项和公式的直接应用上,注重五个基本量a1,an,Sn,n,d(q)之间的转化,会用方程(组)的思想解决“知三求二”问题.我们重在认真观察已知条件,在选择a1,d(q)两个基本量解决问题的同时,看能否利用等差、等比数列的基本性质转化已知条件,否则可能会导致列出的方程或方程组较为复杂,无形中增大运算量.同时在运算过程中注意消元法及整体代换的应用,这样可减少计算量.特别提醒:(1)解决等差数列{an}前n项和问题常用的有三个公式:Sn=;Sn=na1+d;Sn=An2+Bn(A,B为常数),灵活地选用公式,解决问题更便捷.(2)利用等比数列前n项和公式求和时,不可忽视对公比q是否为1的讨论.-11-命题热点易错题型热点一热点二热点三迁移训练1(2015浙江宁波第二次模拟,文17)设数列{an}是公比小于1的正项等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S3=14,且a1+13,4a2,a3+9成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=an(n+2-λ),且数列{bn}是单调递减数列,求实数λ的取值范围.解:(1)由题可设:an=a1qn-1,且a10,0q1,a1+13,4a2,a3+9成等差数列,所以8a2=a1+13+a3+9,因为S3=14,所以a1+a2+a3=14,所以a2=4,q=,所以数列{an}的通项公式为an=4·=24-n.(2)bn=an(n+2-λ)=(n+2-λ)·24-n,由bnbn+1,得(n+2-λ)·24-n(n+3-λ)·23-n,即λn+1,所以λ(n+1)min=2,故λ2.-12-命题热点易错题型热点一热点二热点三等差、等比数列性质的应用例2(1)在等差数列{an}中,a3+a9=27-a6,Sn表示数列{an}的前n项和,则S11=()A.18B.99C.198D.297(2)(2015浙江杭州第二中学仿真,文2)在各项均为正数的等比数列{bn}中,若b7·b8=3,则log3b1+log3b2+…+log3b14等于()A.5B.6C.7D.8答案解析解析关闭答案解析关闭(1)B(2)C-13-命题热点易错题型热点一热点二热点三规律方法1.解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.2.应牢固掌握等差、等比数列的性质,特别是等差数列中若“m+n=p+q,则am+an=ap+aq”这一性质与求和公式Sn=的综合应用.-14-命题热点易错题型热点一热点二热点三迁移训练2已知等比数列{an}中,a2a10=9,则a5+a7()A.有最小值6B.有最大值6C.有最小值6或最大值-6D.有最大值-6答案解析解析关闭答案解析关闭C-15-命题热点易错题型热点一热点二热点三等差、等比数列的判定与证明例3已知数列{an}满足:a1=1,a2=2,且an+1=2an+3an-1(n≥2,n∈N*).(1)设bn=an+1+an(n∈N*),求证:{bn}是等比数列.(2)①求数列{an}的通项公式;②求证:对于任意n∈N*都有+…+成立.解:(1)证明:由已知得an+1+an=3(an+an-1)(n≥2,n∈N*),则bn=3bn-1,又b1=3,则{bn}是以3为首项、3为公比的等比数列.(2)①由an+1+an=3n得,设cn=,则cn+1+cn=,可得cn+1-=-,又c1=,故cn-,则an=.-16-命题热点易错题型热点一热点二热点三②证明:因为=,所以+…+1++…+.-17-命题热点易错题型热点一热点二热点三规律方法证明数列{an}为等差或等比数列有两种基本方法:(1)定义法an+1-an=d(d为常数)⇔{an}为等差数列;=q(q为常数)⇔{an}为等比数列.(2)等差、等比中项法2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N*)⇔{an}为等差数列;=an-1an+1(an≠0,n≥2,n∈N*)⇔{an}为等比数列.我们要根据题目条件灵活选择使用,一般首选定义法.利用定义法一种思路是直奔主题;另一种思路是根据已知条件变换出要解决的目标.-18-命题热点易错题型热点一热点二热点三特别提醒:(1)判断一个数列是等差(等比)数列,还有通项公式法及前n项和公式法,但不作为证明方法;(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列,只需判断存在连续三项不成等差(等比)数列即可;(3)=an-1an+1(n≥2,n∈N*)是{an}为等比数列的必要而不充分条件,也就是要注意判断一个数列是等比数列时,要注意各项不为0.-19-命题热点易错题型热点一热点二热点三迁移训练3已知数列{an}中,a1=a(实数a为常数),a2=2,Sn是其前n项和,且Sn=.数列{bn}是等比数列,b1=2,a4恰为S4与b2-1的等比中项.(1)证明:数列{an}是等差数列;(2)求数列{bn}的通项公式;(3)若c1=,当n≥2时,cn=+…+,{cn}的前n项和为Tn,求证:对任意n≥2,都有12Tn≥6n+13.-20-命题热点易错题型热点一热点二热点三(1)证明:令n=1,可得a1=S1=0,即a=0,∴Sn=.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=,可得(n-2)an=(n-1)an-1,当n≥3时,,∴an=×…××a2=2(n-1).显然当n=1,2时,满足上式.∴an=2(n-1),n∈N*.∴an+1-an=2,∴数列{an}是等差数列,其通项公式是an=2(n-1),n∈N*.-21-命题热点易错题型热点一热点二热点三(2)解:设等比数列{bn}的公比为q,∴bn=b1qn-1=2qn-1.∵a4恰为S4与b2-1的等比中项,∴a4=6,S4=12,b2=2q.∴62=12×(2q-1),解得q=2.∴bn=2n,n∈N*.(3)证明:当n≥2时,Tn=c1+c2+…+cn=+…+,而当n≥2时,cn=+…++…+,所以当n=2时,T2=1+.当n≥3时,Tn=c1+c2+…+cn1+,∴对任意n≥2,都有12Tn≥6n+13.-22-命题热点易错题型易错点一忽视公式an=Sn-Sn-1成立的条件致误数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系:an=根据题目求解特点,如需消掉Sn,利用已知递推式,把n换成n+1得到递推式,两式相减即可.需要注意公式an=Sn-Sn-1成立的条件n≥2.需要验证n=1对应的a1是否满足所求的通项公式,若满足即可合并,若不满足需要分别写出.-23-命题热点易错题型易错点一例题设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn满足-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*.求数列{an}的通项公式.解:令n=1,得-(-1)S1-3×2=0,即+S1-6=0,∴(S1+3)(S1-2)=0.∵S10,∴S1=2,即a1=2.由-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,得(Sn+3)[Sn-(n2+n)]=0.∵an0(n∈N*),∴Sn0,从而Sn+30,∴Sn=n2+n,∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=2n.又a1=2=2×1,∴an=2n(n∈N*).点评:解答本题过程中利用因式分解的技巧,求得Sn,然后利用an=Sn-Sn-1求得数列{an}的通项公式,此时要特别注意当n=1时,需要代入原递推式求得a1,然后进一步验证是否满足{an}的通项公式.-24-123451.在等差数列{an}中,a2=4,a4=2,则a6=()A.-1B.0C.1D.6答案解析解析关闭因为{an}是等差数列,所以2a4=a2+a6,于是a6=2a4-a2=2×2-4=0.答案解析关闭B-25-123452.在等差数列{an}中,a9=a12+6,则数列{an}的前11项和S11=()A.24B.48C.66D.132答案解析解析关闭答案解析关闭D-26-123453.(2014浙江杭州一检)已知Sn为等差数列{an}的前n项和.若a40,a5|a4|,则使Sn0成立的最小正整数n为()A.6B.7C.8D.9答案解析解析关闭答案解析关闭C-27-123454.(2015浙江宁波第二次模拟考试,文7)若等差数列{an}满足=2,则a3+a4+a5的最大值为()A.B.3C.D.3答案解析解析关闭答案解析关闭D-28-123455.(2015浙江嵊州第二次教学质量调测,文17)已知数列{an}满足:a1=2,an+1=-kan+k(k∈R),a1,a2,a3分别是公差不为零的等差数列{bn}的前三项.(1)求k的值;(2)求证:对任意的n∈N*,bn,b2n,b4n不可能成等比数列.(1)解:因为a1=2,所以a2=4-k,a3=2k2-11k+16.又因为2a2=a1+a3,所