1.2第一课时 解三角形的实际应用举例课件(人教A版必修5)

1．2应用举例第一课时解三角形的实际应用举例预习全程设计案例全程导航训练全程跟踪1．测量中有关名称，术语(1)仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示．(2)方位角：从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角是45°，指北偏东45°，即东北方向．(3)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针向西旋转60°.(4)坡角：指坡面与水平面所成的角．提示：在△ADC中，AD＝10·sin135°sin15°＝10(3＋1)(m)．在Rt△ABD中，AB＝AD·sin30°＝5(3＋1)m.如右图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，求A点离地面的高AB.2．解斜三角形应用题的步骤(1)审题：弄清题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称和术语，如仰角、俯角、方位角等.(2)画图：将文字语言转化为图形语言和符号语言.(3)建模：将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等数学知识建立相应的数学模型.(4)求模：求解数学模型，得到数学结论．演算过程要简练，计算准确.(5)还原：把用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义作答．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等．灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，那么灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°提示：如图，由已知得∠ACB＝180°－(40°＋60°)＝80°，∵AC＝BC，∴∠A＝∠CBA＝12(180°－80°)＝50°.又EC∥BD，∴∠CBD＝∠BCE＝60°，则∠ABD＝60°－50°＝10°，∴灯塔A在灯塔B的北偏西10°.探究点一测量距离问题测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是：(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形．(2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解．[提示]用正、余弦定理在三角形中求解如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01km，2≈1.414，6≈2.449)．[解]在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.在△ABC中，ABsin∠BCA＝ACsin∠ABC，即AB＝ACsin60°sin15°＝32＋620，因此，BD＝32＋620≈0.33km.故B、D的距离约为0.33km.1．如图，为了测量河对岸两个建筑物C、D两点之间的距离，在河岸这边选取点A、B，测得∠BAC＝45°，∠DAC＝75°，∠ABD＝30°，∠DBC＝45°，又已知AB＝3km，A、B、C、D在同一平面内，试求C、D两点之间的距离．解：已知∠BAC＝45°，∠DAC＝75°，∠ABD＝30°，∠DBC＝45°，∴∠DAB＝120°，∠ABC＝75°，∠ADB＝30°，∠ACB＝60°.在△ABD中，AD＝AB＝3km，∴AC＝sin∠ABC·ABsin∠ACB＝sin75°·3sin60°＝6＋22.∵CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos∠CAD＝3＋(6＋22)2－2×3×(6＋22)·cos75°＝5.∴CD＝5km.答：C、D两点间的距离为5km.探究点二测量高度问题在测量高度时，要理解仰角和俯角的概念，区别在于视线在水平线的上方还是下方，一般步骤是：①根据已知条件画出示意图；②分析与问题有关的三角形；③运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解；④要综合运用立体几何知识与平面几何知识；⑤注意方程思想的运用．如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选一基线AB＝20m，在A点处测得P点的仰角∠OAP＝30°，在B处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高度h(结果保留两个有效数字)．[提示]看图时要注意结合实际：旗杆OP垂直于地面，所以△AOP和△BOP都是直角三角形，在△AOB中，可利用余弦定理构造方程，求出旗杆高．[解]在Rt△AOP中，OA＝OPtan30°＝3h，在Rt△BOP中，OB＝OPtan45°＝h，在△AOB中，由余弦定理得：AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos60°，即202＝(3h)2＋h2－2×3h×h×12.∴h2＝4004－3≈176.4.∴h≈13.答：旗杆高度约为13m.2．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时，测量公路南侧远处一山在东偏北15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山在东偏北30°的方向上，仰角为15°，求此山的高度CD.解：在△ABC中，∠A＝15°，∠C＝30°－15°＝15°，由正弦定理BCsinA＝ABsinC，BC＝ABsinAsinC＝5×sin15°sin15°＝5，CD＝BC·tan∠DBC＝BC·tan15°≈1.340.答：山的高度约为1.340km.探究点三测量角度问题解决本类问题的思路：(1)明确各个角的含义(2)分析题意，分析已知与所求，画出正确的示意图(3)将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形的边与角的关系，运用正弦定理求解[提示]根据示意图，明确船和舰大体方向，用时间t把AB、CB表示出来，利用余弦定理求t.某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以103海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．[解]设所需时间为t小时，则AB＝103t，CB＝10t，在△ABC中，根据余弦定理，则有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°，可得(103t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°，整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－12(舍去)．舰艇需1小时靠近货船．此时AB＝103，BC＝10，在△ABC中，由正弦定理得BCsin∠CAB＝ABsin120°，所以sin∠CAB＝BCsin120°AB＝10×32103＝12，所以∠CAB＝30°，所以护航舰航行的方位角为75°.3．甲船在A处观察乙船在它的北偏东60°的B处，此时两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，则甲船以什么方式前进才能最快追赶上乙船？此时乙船行驶了多少海里？解：如图所示，设甲船取北偏东θ的方向去追赶乙船，在C点处追上，则AC为甲船的航行路线，BC为乙船的航行路线，若乙船行驶的速度是v，则甲船行驶的速度是3v，由于甲、乙两船到达C点的时间相等，都为t，则BC＝vt，AC＝3vt.∠ABC＝120°.由余弦定理可知：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°，即3v2t2＝a2＋v2t2＋avt.所以2v2t2－avt－a2＝0.解得t1＝av，t2＝－a2v(舍去)．所以BC＝a，AC＝3a，由正弦定理得：∠CAB＝30°，θ＝30°.即甲船应取北偏东30°的方向去追赶乙船，此时乙船已行驶了a海里．某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人，距C为31千米，正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问：这人还要走多少千米才能到达A城？[错解]如图，令∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△CBD中，由余弦定理得cosβ＝BD2＋CD2－CB22BD·CD＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sinβ＝437.∴在△ACD中，ACsin180°－β＝21sin60°＝2132，∴AC＝21×23×437＝24，∴CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos60°，即212＝242＋AD2－2×24×12·AD，整理得AD2－24AD＋135＝0，解得AD＝15或AD＝9，∴这个人再走15千米或9千米就可到达A城．[错因]本题在解△ACD时，利用余弦定理求AD，产生了增解，应用正弦定理来求解．[正解]在△ACD中，已知CD＝21千米，∠CAD＝60°，只需再求出一个量即可．如图，令∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△CBD中，由余弦定理得cosβ＝BD2＋CD2－CB22BD·CD＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sinβ＝437.而sinα＝sin(β－60°)＝sinβcos60°－sin60°cosβ＝437×12＋32×17＝5314，在△ACD中，21sin60°＝ADsinα，∴AD＝21×sinαsin60°＝15(千米)．∴这个人再走15千米就可到达A城．点击此图片进入“训练全程跟综”