求数列前n项和的几种常用方法

彰显数学魅力！演绎华软传奇！学数学用专页第1页共5页教数学用华软求数列前n项和的几种常用方法江苏省马吉超一、公式法如果数列是等差或等比数列，可直接利用前n项求和公式，这是最基本的方法。但应注意等比数列前N项求和公式qqansn111中1q的条件。例1求xxsnnx2解：①当1x时，nsn111。②当1x时，xxxsnn11。二、分组转化法如果所给数列的每一项是由等差、等比或特殊数列对应项的和或差构成，可以把原数列的求和分组转化为等差、等比或特殊数列的求和。例2求2834221nnns解：222322321nnns22121nnn例3求nsn321321211解：22213212nnnnn∴nnsn32121212222321彰显数学魅力！演绎华软传奇！学数学用专页第2页共5页教数学用华软2121121621nnnnn621nnn三、倒序相加法如果求和数列的首末两项的和及与首末两项等距离的两项的和相等，可用此法。（等差数列求和公式可用此法推导）例4求所有大于2且小于10的分母为5的既约分数的和。解：549548547513512511s⑴又511512513547548549s⑵⑴+⑵得)511549()548512()549511(2s3212384故192s例5求cccccnnnnnnnnns1321210解：cccccnnnnnnnnns1321210⑴ccccnnnnnnnns01121⑵又ccmnnmn⑴+⑵得cccnnnnnnns222210)(2110ccccnnnnnnn22nn故212nns彰显数学魅力！演绎华软传奇！学数学用专页第3页共5页教数学用华软四、错位相减法形如bann的数列，其中an是等差数列，bn是等比数列，则可在求和等式两边同乘bn的公比，然后两等式错位相减。（等比数列求和公式可用此法推导）例6求222323221nnns∵222213213221nnnnns①∴22222132121nnnnns②①—②得22221321231221nnnnnns2121nn故2121nnns五、裂项相消法如果求和数列的每一项均能分裂成对应两项的差，求和时，大部分正负项又可以相消，则可用此法。例7求nsn321132112111解：1112123211nnnnn1112312122112nnsn11131212112nn=1112n12nn彰显数学魅力！演绎华软传奇！学数学用专页第4页共5页教数学用华软例8求11321211nnsn解nnnn111∴nnsn1231211n六、二项式定理法某些由组合数构成的数列求和时，往往用二项式定理更有效。例9求cccnnnnS22210解：由二项式定理xcxcccxnnnnnnnx22101⑴ccxcxcxnnnnnnnnnx11101⑵xcxcccxnnnnnnnnnx2222120221⑶∵xxxnnn1112∴⑴与⑵的积中含xn项的系数cccnnnn22210应与⑶中含xn项的系数cnn2相等。故cccnnnnS22210cnn2。七、常见结论法熟悉一些常见结论，对解决求和问题很有益处。如:⑴121622221nnnn.⑵2333]12[21nnn⑶等差数列的前N项和、次N项和、后N项和构成等差数列。彰显数学魅力！演绎华软传奇！学数学用专页第5页共5页教数学用华软⑷等比数列的前N项和、次N项和、后N项和构成等比数列。例10设某等差数列的前10项和510s，前20项的和2020s，求该数列前30项的和s30.解：由s10、)(1020ss、)(2030ss构成等差数列知：)(21020ss=s10+)(2030ss,即205520230s,得4530s.