数学归纳法的再认识

第四、五章第七讲数学归纳法的再认识复习自然数的基数理论如何定义自然数及其运算？序数理论呢？算术系统：定义了加法和乘法的自然数系统，它是数学中最基础的一个公理系统。但已证明“算术系统的相容性不可能用自身的公理加以证明”。证明与自然数有关的命题上节课用序数理论数学归纳法的再认识设使……成立的所有a组成的集合为M，为证M＝N，证（1）1εM；（2）假定aεM，要证a+εM归纳公理可证第一数学归纳法数学归纳法的其他6种形式定理：第一数学归纳法设P(n)是关于自然数n的命题，若（1）(奠基)P(n)在n＝1时成立；（2）（归纳)在P(k)(k是任意自然数)成立的假定下可以推出P(k+1)成立，则P(n)对一切自然数n都成立．移动起点的第一数学归纳法n=n0数学归纳法的再认识逻辑推理方法分演绎和归纳数学归纳法是完全归纳法吗？数学归纳法是一种演绎方法数学归纳法是一种递推法前面有限个我们可以逐个去验证，但是为了使判定的工作可以一个接一个地自动进行，需要设计一种方案：假定当自然数n取某一个值k时，命题已被判为真，那么若能证明当n＝k＋1时，命题也是真的，就做好了自动传递推证的准备工作。两步：奠基，启动递推装置；递推两步缺一不可防止貌合神离用数学归纳法证明n3+5n能被6整除错证：（1）当n=1时，13+5×1=6，命题成立；（2）假设当n=k时，k3+5k能被6整除，当n=k+1时，(k+1)3+5(k+1)=(k+1)[(k+1)2+5]=k(k+1)(k+2)+6(k+1)因为三个连续自然数的积能被6整除，第2项也能被6整除，所以n=k+1时命题也成立。由（1）、（2），原命题成立。5=-1+6未用数学归纳法数学归纳法的几种其他形式第二数学归纳法（串值归纳法）设P(n)是关于自然数n的命题，若1.P(n)在n=1时成立2.假设P(m)对于所有适合mk的自然数m成立，则P(k)成立则P(n)对一切自然数n都成立增多起点的第二数学归纳法1.P(1)、P(2)真2.P(k)、P(k+1)真→P(k+2)真与第一数学归纳法的区别？若用“第一”不行，用“第二”是否有可能行？数学归纳法的几种其他形式（续）跳跃式归纳法（加大跨度）设P(n)是关于自然数n的命题，若1.P(1)、P(2)、…、P(m)真2.在P(k)(k是任意自然数）成立的假定下可以推出P(k+m)成立则P(n)对一切自然数n都成立数学归纳法的其他几种形式反向归纳法设P(n)是关于自然数n的命题，若1.有无限多个值使P(n)成立2.P(k)真可以推出P(k－1)真则P(n)对一切自然数n都成立螺旋归纳法设A(n)、B(n)是两个与自然数n有关的命题，若1.A(1)是成立的2.假设A(k)成立，能导出B(k)成立，假设B(k)成立，你导出A(k+1)成立则A(n)、B(n)对一切自然数n都成立数学归纳法的其他几种形式参变归纳法（对其中的一个用数学归纳法，另一个看作参数）二重归纳法（对一个用数学归纳法时同时再对另一个用数学归纳法）例：已知f(x)是定义在N上，又在N上取值的函数，并且(1)f(2)=2(2)对任何自然数m,n,有f(mn)=f(m)f(n)(3)当mn时，f(m)f(n)求证f(x)=x在N上恒成立例：设n5,证明每一个正方形可以分为n个正方形。反向归纳法串值归纳法跳跃式归纳法用反向归纳法证明易证有无限多个自然数2n,使命题成立若f(x)=x,(x1),可证f(x-1)f(x)≤x-1再证f(x-1)≥x-1f(x-1)f(x-2),∴f(x-1)≥f(x-2)+1≥f(x-3)+2≥…≥f(1)+x-2=x-1用串值归纳法证明由串值归纳法用跳跃式归纳法证明先证可以分成6、7、8个正方形再假设命题对于n（n8)成立，先将其分成n个正方形，再将其中一个正方形分为4个相等的正方形，原来的正方形就被分为n+3个黄朱朱朱朱黄朱朱朱朱例：已知大小可能不一的几个正方形，证明可以把它们剪拼成有限块，再重新拼成一个大正方形。勾股定理的割补证明赵爽对勾股定理的证明222214baababab青朱青出青出朱出朱入青入青入刘徽对勾股定理的证明观察、归纳与证明观察异同归纳猜想不完全归纳完全归纳（由每一对象都具有某种性质得到的）证明或推翻猜想探索一个整数是3、9、11的倍数的特征各是什么？一个整数是3的倍数，则各位上数字的和是3的倍数一个整数是9的倍数，则各位上数字的和是9的倍数一个整数是11的倍数，则其奇数位上数字的和减去偶数位上数字的和是11的倍数110nnaaaaaL，10=9+110=11-1观察猜想要小心数列：1，2，4，8，16，？32√熟悉这个模式31√1，2，4，8，16，31，An1，2，4，8，15，Bn1，2，4，7，Cn1，2，3，Dn41126571，2，4，8，16，31，？Dn:1，2，3，4，……Cn:1，2，4，7，11，……Cn+1－Cn=Dn=nCn－Cn-1=n-1C2－C1=1所以Cn+1=1+(1+…+n)Cn=1+(1+…+n-1)=……同理求出Bn、An432623182424nnnn连接圆上所有点圆上的点数圆被分割成的区域数1122344851663175716151413121110987654321平面上凸n边形内部最多被分为m块，m+n即为所求圆上每4个点，连线后多1个点,于是一共增加C(n,4)个点，将这些点“拉出”圆平面，构成一个凸多面体，根据V+F-E=2V=n+C(n,4)（下＋上）2E=[(n-1)n]+[4C(n,4)]可求出F，m=F-1，m+n即得421nnCC作业1.用数学归纳法证明:若且求证：),,2,1(,0niai121naaa)2(122221nnaaan