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No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引第2课时等差数列的性质No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引1.等差数列的定义如果一个数列从第项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的,通常用字母表示.2.等差中项如果,那么A叫做a与b的等差中项.3.等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,n∈N*.2同一公差da,A,b成等差数列No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引等差数列的常用性质性质1通项公式的推广:an=am+(n,m∈N*)性质2若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an性质3若{an}是等差数列,则2an=an-1+an+1a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…性质4若{an},{bn}分别是以d1,d2为公差的等差数列,则{pan+qbn}是以pd1+qd2为公差的等差数列性质5若{an}是等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为的等差数列(n-m)dmdNo.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引1.在等差数列{an}中,a1+a9=10,则a5的值为()A.5B.6C.8D.10解析:∵a1+a9=2a5∴a5=5答案:ANo.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引解析:由题意知a4+a5=a2+a7∴a2=15-12=3,故选A.答案:A2.等差数列{an}中,a4+a5=15,a7=12,则a2=()A.3B.-3C.32D.-32No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引3.设数列{an}、{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a37+b37等于________.解析:设cn=an+bn,则数列{cn}为等差数列.c1=a1+b1=100,c2=a2+b2=100,∴cn=100,∴c37=a37+b37=100.答案:100No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引4.已知等差数列{an}中,a2+a6+a10=1,求a3+a9.解析:方法一:根据等差数列的性质a2+a10=a3+a9=2a6.由a2+a6+a10=1,得3a6=1,解得a6=13.∴a3+a9=2a6=23.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引方法二:根据等差数列的通项公式,得a2+a6+a10=(a1+d)+(a1+5d)+(a1+9d)=3a1+15d.由题意知3a1+15d=1,即a1+5d=13.∴a3+a9=2a1+10d=2(a1+5d)=23.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引(1)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,求a2+a8;(2)已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引由题目可获取以下主要信息:①3+7=4+6=2×5=2+8.②a3+a7=a4+a6=2a5=a2+a8.解答本题可用等差数列的性质,对于(2)也可以用等差数列的通项公式.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引[解题过程](1)因为a3+a7=a4+a6=2a5,所以a3+a7+a4+a6+a5=5a5,所以5a5=450,所以a5=90.又因为a2+a8=2a5,所以a2+a8=180.(2)方法一:因为{an}为等差数列,所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,其公差为d,a15为首项,则a60为其第四项,所以a60=a15+3d,得d=4.所以a75=a60+d⇒a75=24.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引方法二:因为a15=a1+14d,a60=a1+59d,所以a1+14d=8a1+59d=20,解得a1=6415d=415.故a75=a1+74d=6415+74×415=24.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引[题后感悟]等差数列的“子数列”的性质若数列{an}是公差为d的等差数列,则(1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列;(2)奇数项数列{a2n-1}是公差为2d的等差数列;偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列;(3)若{kn}成等差数列,则{akn}也是等差数列.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引1.已知等差数列{an}中,(1)a2+a8+a14=1,求a3+a13;(2)已知a2+a3+a23+a24=48,求a13;(3)已知a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,求公差d.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引解析:(1)方法一:根据等差数列的性质a2+a14=a3+a13=2a8由a2+a8+a14=1,得3a8=1,解得a8=13.∴a3+a13=2a8=23.方法二:根据等差数列的通项公式,得a2+a8+a14=(a1+d)+(a1+7d)+(a1+13d)=3a1+21d.由题意知3a1+21d=1,即a1+7d=13.∴a3+a13=2a1+14d=2(a1+7d)=23.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引(2)根据已知条件a2+a3+a23+a24=48,得4a13=48,∴a13=12.(3)由a2+a3+a4+a5=34,得2(a2+a5)=34,即a2+a5=17.解a2·a5=52,a2+a5=17,得a2=4,a5=13,或a2=13,a5=4.∴d=a5-a25-2=13-43=3或d=a5-a25-2=4-133=-3.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引(1)三个数成等差数列,和为6,积为-24,求这三个数;(2)四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引由题目可获取以下主要信息:①根据三个数的和为6,成等差数列,可设这三个数为a-d,a,a+d(d为公差);②四个数成递增等差数列,且中间两数的和已知,可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d).解答本题也可以设出等差数列的首项与公差,建立基本量的方程组求解.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引[规范作答](1)方法一:设等差数列的等差中项为a,公差为d,则这三个数分别为a-d,a,a+d,2分依题意,3a=6且a(a-d)(a+d)=-24,所以a=2,代入a(a-d)(a+d)=-24,化简得d2=16,于是d=±4,4分故这三个数为-2,2,6或6,2,-2.6分No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引方法二:设首项为a,公差为d,这三个数分别为a,a+d,a+2d,2分依题意,3a+3d=6且a(a+d)(a+2d)=-24,所以a=2-d,代入a(a+d)(a+2d)=-24,得2(2-d)(2+d)=-24,4-d2=-12,即d2=16,于是d=±4,4分这三个数为-2,2,6或6,2,-2.6分No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引(2)方法一:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),8分依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,∴d2=1,∴d=1或d=-1.10分又四个数成递增等差数列,所以d0,∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.12分No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引方法二:若设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d(公差为d),8分依题意,2a+3d=2,且a(a+3d)=-8,把a=1-32d代入a(a+3d)=-8,得1-32d1+32d=-8,即1-94d2=-8,化简得d2=4,所以d=2或-2.10分No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引又四个数成递增等差数列,所以d0,所以d=2,故所求的四个数为-2,0,2,4.12分[题后感悟]利用等差数列的定义巧设未知量,从而简化计算.一般地有如下规律:当等差数列{an}的项数n为奇数时,可设中间一项为a,再用公差为d向两边分别设项:…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…;当项数为偶数项时,可设中间两项为a-d,a+d,再以公差为2d向两边分别设项:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,这样可减少计算量.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引2.等差数列的“子数列”(2)若{an}、{bn}为等差数列,则{an+k}、{kan}(k≠0)、{an±bn}仍为等差数列,公差分别为d,kd,d1±d2.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引性质二、等差中项如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项。2baA都是等价的。成等差数列,那么、若cbbabcabcabcabcba;;2;2,,1例题:活页4页8No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引练考题、验能力、轻巧夺冠
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