浅谈以数学文化为背景命制的高考试题

数学教学通讯（中等教育）投稿邮箱：[e-mail]试题研究试题探究浅谈以数学文化为背景命制的高考试题_郭玉红浙江湖州市练市中学313013摘要：近年高考数学试卷常出现以数学文化为背景的新颖命题,蕴涵浓厚的数学文化气息,将数学知识、方法、文化融为一体,有效考查学生在新情景下对知识的理解以及迁移到不同情境中去的能力,能够检测学生思维的广度和深度以及进一步学习的潜能,实为高考试题一大亮点,本文搜集整理近年高考试题揭示其文化背景.关键词：圆周率；毕达哥拉斯；匹克定理；角谷定理襛以圆周率为背景1.（2014湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“盖”的术：置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3,那么近似公式V≈275L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A.227B.258C.15750D.355113背景展现该题是以我国古代重要数学成就割圆术和体积理论为背景,割圆术本质上是用圆内接正多边形去逐步逼近圆进而求得圆周率的近似值.刘徽从圆内接正六边形出发,将边数逐次加倍,一直算到192边形,得到圆周率的精确到小数点后两位的近似值,化成分数是15750,这就是有名的“徽率”,刘徽一再声明“此率尚微小”,需要的话,可以继续算下去,得到更精密的近似值.后来人们发现227比15750更接近π,但误差仍然较大,祖冲之称之为约率.《隋书窑律历志》记载了祖冲之计算出圆周率的分数形式的近似值是355113,这是一个非常了不起的贡献,原因在于355113-π＜0.000000267,他选择了恰到好处的分数表示π的近似值,在保证精确度的情况下便于人们记忆.类题链接2.(2012湖北)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径,“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V,求其直径d的一个近似公式d≈169V3√.人们还用过一些类似的近似公式.根据π=3.14159…判断,下列近似公式中最精确的一个是()A.d≈169V3√____B.d≈2V3√C.d≈300157V3√____D.d≈2111V3√解析：由V=43πR3得R=3V4π3√,从而直径d=23V4π3√=6Vπ3√,因169V=827•6V,2V=13•6V,300157V=50157•6V,2111V=722•6V,故本题本质上仍是比较278、3、15750、227与π接近程度.襛以“形数”为背景3.（2013湖北）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为n(n+1)2=12n2+12n.记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数__N(n,3)=12n2+12n__正方形数___N(n,4)=n2五边形数___N(n,5)=32n2-12n六边形数___N(n,6)=2n2-n……可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=________.背景展现“形数”在高考试题的频繁出现,体现了数学教育要回归课本的思想,在人教版必修五第28页就是以毕达哥拉斯学派的“形数”引入数列的概念.该学派认为“万物皆数”,曾对外宣称“人们所知道的一切事物都包含数,因此,没有数就不可能表达、也不可能理解任何事物”.如图1所示,他们将石子摆放成三角形、正方形、五边形等几何形状用教师版£中等教育£61数学教学通讯（中等教育）投稿邮箱：[e-mail]试题研究试题探究于研究“数”,反应了他们将“数”作为“几何元素”的精神,体现了数形结合的思想.由图1可知三角形数可以表示为N3=1+2+3+…+n=n(n+1)2；正方形数N4=1+3+5+…+(2n-1)=n2；五边形数N5=1+4+7+…+(3n-2)=n(3n-1)2；六边形数N6=1+5+9+…+(4n-3)=2n2-n,以此类推k(k∈N*)边形数是首项为1、公差为k-2的前n项和,故Nk=n+n(n-1)2窑(k-2).④①②③图1类题链接4.（2009湖北）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.他们研究过1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数；类似的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A.289B.1024C.1225____D.1378_襛以匹克定理为背景5.（2013湖北）在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图2中△ABC是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.(Ⅰ)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是__________;(Ⅱ)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S=__________.背景展现世间万物,不规则图像居多,如土地、房屋、园林、湖泊、荒岛等都是不规则形状,如何计算不规则图形面积呢？最常用的一种就是方格法即著名的匹克定理法,该方法简单易行,有着广泛的应用.具体操作如下：画纵横两组平行线,相邻两线间的距离总是相等的,两组直线的交点就称为格点,如果一个多边形的顶点都是格点,这种多变形就是格点多边形,设S为图形面积,L是边界上的格点数,N是内部格点数,则S=L2+N-1.试题链接6.（2011北京）设A(0,0),B(4,0),C(t+4,4),D(t,4)(t∈R).记N(t)为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数N(t)的值域为()A.{9,10,11}_B.{9,10,12}C.{9,11,12}D.{10,11,12}解析：该试题难度极大,考查学生准确作图能力、严谨的推理能力和分类讨论思想.若本题使用匹克定理求解则相当容易,当t取整数时,则四边形ABCD是格点多边形,根据匹克定理S=L2+N-1（其中S为图形面积，L是边界上的格点数，N是内部格点数）.由于平行四边形的面积为16,故17=N+L2,特别地,取t=0,作图易知L=16,所以N=9；取t=1,L=10,所以N=12；取t=2,L=12,所以N=11；故选C.襛以角谷定理为背景7.（2009湖北）已知数列{an}满足a1=m（m是正整数）,an+1=an2,当an为偶数时,3an+1,当an为奇数时,扇墒设设设设缮设设设设若a6=1,则m可能的取值为__________.背景展现20世纪70年代美国各大学师生夜以继日、废寝忘食、发疯般地玩弄一种数字游戏,这种游戏如此简单,任何小学生不用一分钟就能学会.任意写出一个自然数N,请按照下列法则进行变换,如果N是一个奇数,则下一步变为3N+1；如果N是一个偶数,则下一步变成N2.岁月流逝,这种游戏的魅力依然存在,因为人们发现,无论你写出一个多么庞大的数字,最后必然会落入谷底,更准确的说是落入底部的4-2-1循环,而永远也跳不出这个圈子.日本角谷静夫统计,小于7×1011的一切自然数都已经统统实验过,没有出现过一个反例,基于角谷静夫对该问题所做出的贡献,因此该数学游戏称为角谷定理.有位图论专家提到了一种神奇的猜想,把它比作一棵参天大树,下面的树根是连理枝1-2-4,至于上面的枝枝叶叶则构成了一个奇妙的通路,把一切自然数全部都覆盖到了,但迄今为止一切数学手段都用上也无法证明.襛教育启示作为教师应该积极主动学习数学史知识,努力提高自身的数学史素养.在课堂上能够结合教材和学生实际情况有目的、有选择地介绍数学文化知识,如斐波那契数列、阿波罗尼斯圆、海伦秦九韶公式、九连环、毕达哥拉斯学派、祖暅原理及球体积的计算、勾股定理等经典的数学文化知识均可以引入课堂并适度展开,让学生体会到冰冷的知识蕴涵着数学家火热的思考.法国数学家伽瓦罗说：一个人要想在数学上取得成就,最有效的方法就是向数学大师们学习.波利亚认为：解题是一种本领,就像游泳、滑雪、弹钢琴一样,你只能靠模仿和实践才能学到它.因此,在教学中要引入一些经典的数学问题,让学生去体会、思考、模仿、顿悟.当数学文化的魅力真正渗入教材、到达课堂、融入教学时,数学就会更加平易近人,学生才会进一步理解数学、喜欢数学！xOy1234554321CABEDGF图262