第一部分 专题一 第五讲 导数应用(一)

第五讲导数应用(一)上页下页课前自主诊断限时规范训练课堂对点补短第五讲导数应用(一)上页下页课前自主诊断限时规范训练课堂对点补短第五讲导数应用(一)考点一导数的几何意义解析试题1．(2015·高考全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.8考点一考点二考点三上页下页课前自主诊断限时规范训练课堂对点补短第五讲导数应用(一)解析试题解法一由y＝x＋lnx得y′＝1＋1x，∴曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线的斜率k＝2，故切线方程为y＝2x－1.∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，∴y＝2x－1，y＝ax2＋a＋2x＋1，消去y得ax2＋ax＋2＝0.∵a≠0且Δ＝a2－4×2a＝0，∴a＝8.考点一考点一考点二考点三上页下页课前自主诊断限时规范训练课堂对点补短第五讲导数应用(一)解析试题解法二同解法一，得曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线方程为y＝2x－1.∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，∴设切点的坐标为(x0，y0)，∴y0＝2x0－1①.由y′＝2ax＋(a＋2)，得2ax0＋(a＋2)＝2②.由题意知a≠0，由②可得x0＝－12.把x0＝－12代入①，得y0＝－2，∴－12，－2在曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1上，故a＝8.考点一考点一考点二考点三上页下页课前自主诊断限时规范训练课堂对点补短第五讲导数应用(一)解析试题考点一考点一考点二考点三2．(2016·高考全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是____________．y＝－2x－1上页下页课前自主诊断限时规范训练课堂对点补短第五讲导数应用(一)考点一考点一考点二考点三解析试题先利用函数奇偶性求出x0时f(x)的解析式，再求切线方程．因为f(x)为偶函数，所以当x0时，f(x)＝f(－x)＝lnx－3x，所以f′(x)＝1x－3，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.上页下页课前自主诊断限时规范训练课堂对点补短第五讲导数应用(一)考点二利用导数研究函数的单调性解析试题3．(2016·高考四川卷)设函数f(x)＝ax2－a－lnx，g(x)＝1x－eex，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数．(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x1时，g(x)0；(3)确定a的所有可能取值，使得f(x)g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立．考点一考点二考点三上页下页课前自主诊断限时规范训练课堂对点补短第五讲导数应用(一)考点二(1)由题意得f′(x)＝2ax－1x＝2ax2－1x(x0)．当a≤0时，f′(x)0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．当a0时，由f′(x)＝0有x＝12a，当x∈0，12a时，f′(x)0，f(x)单调递减；当x∈12a，＋∞时，f′(x)0，f(x)单调递增．解析试题考点一考点二考点三上页下页课前自主诊断限时规范训练课堂对点补短第五讲导数应用(一)考点二(2)证明：令s(x)＝ex－1－x，则s′(x)＝ex－1－1.当x1时，s′(x)0，所以ex－1x，从而g(x)＝1x－1ex－10.(3)由(2)知，当x1时，g(x)0.当a≤0，x1时，f(x)＝a(x2－1)－lnx0.故当f(x)g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a0.当0a12时，12a1.解析试题考点一考点二考点三上页下页课前自主诊断限时规范训练课堂对点补短第五讲导数应用(一)考点二由(1)有f12af(1)＝0，而g12a0，所以此时f(x)g(x)在区间(1，＋∞)内不恒成立．当a≥12时，令h(x)＝f(x)－g(x)(x≥1)．当x1时，h′(x)＝2ax－1x＋1x2－e1－xx－1x＋1x2－1x＝x3－2x＋1x2x2－2x＋1x20.因此，h(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．又因为h(1)＝0，所以当x1时，h(x)＝f(x)－g(x)0，即f(x)g(x)恒成立．综上，a∈12，＋∞.解析试题考点一考点二考点三上页下页课前自主诊断限时规范训练课堂对点补短第五讲导数应用(一)利用导数研究函数的极值与最值解析试题4．(2016·高考天津卷)设函数f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)存在极值点x0，且f(x1)＝f(x0)，其中x1≠x0，求证：x1＋2x0＝0；(3)设a0，函数g(x)＝|f(x)|，求证：g(x)在区间[－1,1]上的最大值不小于14.考点三考点一考点二考点三上页下页课前自主诊断限时规范训练课堂对点补短第五讲导数应用(一)(1)由f(x)＝x3－ax－b，可得f′(x)＝3x2－a.下面分两种情况讨论：①当a≤0时，有f′(x)＝3x2－a≥0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．②当a0时，令f′(x)＝0，解得x＝3a3或x＝－3a3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：解析试题考点三考点一考点二考点三上页下页课前自主诊断限时规范训练课堂对点补短第五讲导数应用(一)x－∞，－3a3－3a3－3a3，3a33a33a3，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递减区间为－3a3，3a3，单调递增区间为－∞，－3a3，3a3，＋∞.解析试题考点三考点一考点二考点三上页下页课前自主诊断限时规范训练课堂对点补短第五讲导数应用(一)(2)证明：因为f(x)存在极值点，所以由(1)知a0，且x0≠0.由题意，得f′(x0)＝3x20－a＝0，即x20＝a3，进而f(x0)＝x30－ax0－b＝－2a3x0－b.又f(－2x0)＝－8x30＋2ax0－b＝－8a3x0＋2ax0－b＝－2a3x0－b＝f(x0)，且－2x0≠x0，由题意及(1)知，存在唯一实数x1满足f(x1)＝f(x0)，且x1≠x0，因此x1＝－2x0，所以x1＋2x0＝0.解析试题考点三考点一考点二考点三上页下页课前自主诊断限时规范训练课堂对点补短第五讲导数应用(一)(3)证明：设g(x)在区间[－1,1]上的最大值为M，max{x，y}表示x，y两数的最大值．下面分三种情况讨论．①当a≥3时，－3a3≤－11≤3a3，由(1)知，f(x)在区间[－1,1]上单调递减，所以f(x)在区间[－1,1]上的取值范围为[f(1)，f(－1)]，因此M＝max{|f(1)|，|f(－1)|}＝max{|1－a－b|，|－1＋a－b|}＝max{|a－1＋b|，|a－1－b|}＝a－1＋b，b≥0，a－1－b，b0.所以M＝a－1＋|b|≥2.解析试题考点三考点一考点二考点三上页下页课前自主诊断限时规范训练课堂对点补短第五讲导数应用(一)②当34≤a3时，－23a3≤－1－3a33a31≤23a3.由(1)和(2)知f(－1)≥f－23a3＝f3a3，f(1)≤f23a3＝f－3a3，所以f(x)在区间[－1,1]上的取值范围为f3a3，f－3a3，因此M＝maxf3a3，f－3a3＝max－2a93a－b，2a93a－b＝max2a93a＋b，2a93a－b＝2a93a＋|b|≥29×34×3×34＝14.解析试题考点三考点一考点二考点三上页下页课前自主诊断限时规范训练课堂对点补短第五讲导数应用(一)③当0a34时，－1－23a323a31.由(1)和(2)知f(－1)f－23a3＝f3a3，f(1)f23a3＝f－3a3，所以f(x)在区间[－1,1]上的取值范围为[f(－1)，f(1)]．因此M＝max{|f(－1)|，|f(1)|}＝max{|－1＋a－b|，|1－a－b|}＝max{|1－a＋b|，|1－a－b|}＝1－a＋|b|14.综上所述，当a0时，g(x)在区间[－1,1]上的最大值不小于14.解析试题考点三考点一考点二考点三上页下页课前自主诊断限时规范训练课堂对点补短第五讲导数应用(一)诊断评价考点错题题号错因(在相应错因中画√)知识性方法性运算性审题性考点一考点二考点三※用自己的方式诊断记录减少失误从此不再出错考点三考点一考点二考点三根据上面所做题目，请填写诊断评价上页下页课前自主诊断限时规范训练课堂对点补短第五讲导数应用(一)考点一导数的几何意义[经典结论·全通关]f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝(x－x0)f′(x0)．考点一考点二考点三上页下页课前自主诊断限时规范训练课堂对点补短第五讲导数应用(一)考点一解析试题[自主突破·提速练]1．(2016·高考全国Ⅱ卷)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝__________.1－ln2考点一考点二考点三上页下页课前自主诊断限时规范训练课堂对点补短第五讲导数应用(一)考点一分别求出两个对应函数的导数，设出两个切点坐标，利用导数得到两个切点坐标之间的关系，进而求出切线斜率，求出b的值．求得(lnx＋2)′＝1x，[ln(x＋1)]′＝1x＋1.设曲线y＝lnx＋2上的切点为(x1，y1)，曲线y＝ln(x＋1)上的切点为(x2，y2)，则k＝1x1＝1x2＋1，所以x2＋1＝x1.又y1＝lnx1＋2，y2＝ln(x2＋1)＝lnx1，所以k＝y1－y2x1－x2＝2，所以x1＝1k＝12，y1＝ln12＋2＝2－ln2，所以b＝y1－kx1＝2－ln2－1＝1－ln2.考点一考点二考点三解析试题上页下页课前自主诊断限时规范训练课堂对点补短第五讲导数应用(一)考点一解析试题2．(2016·昆明模拟)函数f(x)＝14lnx＋x2－bx＋a(b0，a∈R)的图象在点(b，f(b))处的切线的倾斜角为α，则倾斜角α的取值范围是()A.π4，π2B.π4，π2C.3π4，πD.3π4，πB考点一考点二考点三上页下页课前自主诊断限时规范训练课堂对点补短第五讲导数应用(一)考点一依题意得f′(x)＝14x＋2x－b，f′(b)＝14b＋b≥214b·b＝1(b0)，当且仅当14b＝b0，即b＝12时取等号，因此有tanα≥1，π4≤απ2，即倾斜角α的取值范围是π4，π2，故选B.考点一考点二考点三解析试题上页下页课前自主诊断限时规范训练课堂对点补短第五讲导数应用(一)考点一通解试题3．(2016·贵阳一中月考)曲线f(x)＝x－3x上任一点P处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为________．6考点一考点二考点三优解上页下页课前自主诊断限时规范训练课堂对点补短第五讲导数应用(一)考点一设点P(m，n)，∵f′(x)＝1＋3x2，∴曲线f(x)＝x－3x在点P处的切线方程为y＝1＋3m2x－6m，切线与直线y＝x的交点为(2m,2m)，与直线x＝0的交点为(0，－6m)，∴切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形