辛等差数列0

在等差数列{an}中，（1）已知a15=33，a45=153，求a61；（2）已知S8=48，S12=168，求a1和d；（3）已知a6=10，S5=5，求a8和S8；（4）已知a16=3，求S31.考点一基本量计算【分析】证明数列{an}为等差数列，只需证明an+1-an=d(d为常数).考点二等差数列的判定与证明a1在数列{an}中，前n项和为Sn.已知a1=3，a2=2，且Sn+1-2Sn+Sn-1+1=0（n∈N*,且n≥2）.(1)求证：数列{an}是等差数列；(2)求数列{（4-an）·2n}的前n项和Tn.(1)证明：由Sn+1-2Sn+Sn-1+1=0（n∈N*，且n≥2）,得（Sn+1-Sn）-（Sn-Sn-1）=-1，即an+1-an=-1（n≥2）.又由已知a1=3，a2=2，∴a2-a1=2-3=-1.∴an+1-an=-1（n∈N*）.∴数列{an}是以3为首项，以-1为公差的等差数列，且an=-n+4.在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.【分析】(1)由a1=20及S10=S15可求得d,进而求得通项,由通项得到此数列前多少项为正,或利用Sn是关于n的二次函数,利用二次函数求最值的方法求解.(2)利用等差数列的性质,判断出数列从第几项开始变号.考点三等差数列前n项和的最值＊对应演练＊在等差数列{an}中，a1＜0,S9=S12,求数列前多少项和最小.解法一：由S9=S12，得9a1+d=12a1+d,得3a1=-30d，∴d=-a1.∵a1＜0,∴d＞0,∴Sn=na1+n（n-1）d=dn2-dn=(n-)2-d.∵d＞0,∴Sn有最小值.又∵n∈N*,∴n=10或n=11时，Sn取最小值，最小值是-55d，即S10或S11最小且S10=S11=-55d.289×21112×10121212212d2218212设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn=324，最后6项的和为180（n＞6）,求数列的项数n.【分析】在等差数列{an}中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq（m，n，p，q∈N*）用此性质可优化解题过程.考点四等差数列性质的应用8．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m－n|＝________.解析由题意设这4个根为14，14＋d，14＋2d，14＋3d.则14＋14＋3d＝2，∴d＝12，∴这4个根依次为14，34，54，74，∴n＝14×74＝716，m＝34×54＝1516或n＝1516，m＝716，∴|m－n|＝12.12三、解答题9．等差数列{an}的公差d≠0，试比较a4a9与a6a7的大小．解设an＝a1＋(n－1)d，则a4a9－a6a7＝(a1＋3d)(a1＋8d)－(a1＋5d)(a1＋6d)＝(a21＋11a1d＋24d2)－(a21＋11da1＋30d2)＝－6d20，所以a4a9a6a7.10．已知数列{an}满足a1＝15，且当n1，n∈N*时，有an－1an＝2an－1＋11－2an，设bn＝1an，n∈N*.(1)求证：数列{bn}为等差数列．(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由．(1)证明当n1，n∈N*时，an－1an＝2an－1＋11－2an⇔1－2anan＝2an－1＋1an－1⇔1an－2＝2＋1an－1⇔1an－1an－1＝4⇔bn－bn－1＝4，且b1＝1a1＝5.∴{bn}是等差数列，且公差为4，首项为5.(2)解由(1)知bn＝b1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1.∴an＝1bn＝14n＋1，n∈N*.∵a1＝15，a2＝19，∴a1a2＝145.令an＝14n＋1＝145，∴n＝11.即a1a2＝a11，∴a1a2是数列{an}中的项，是第11项.等差数列的性质1.2.3.②上面的命题中的等式两边有相同数目的项，如a1+a2=a3成立吗？【说明】3.更一般的情形，an=，d=am+(n-m)dmnaamn4.在等差数列{an}中，由m+n=p+qm,n,p,q∈N★am+an=ap+aq注意：①上面的命题的逆命题是不一定成立的；5.在等差数列{an}中a1+ana2+an-1a3+an-2…===.____a),2n(5a1a1,3aan1nn1n则中，已知数列.____a),Nn(2aa2a,1aannn1n1n则满足，已知数列例.已知｛an｝的前n项和Sn=n2＋n－2,求an.解：当n≥2时，an=Sn－Sn-1=n2＋n－2－(n－1)2－(n－1)＋2=2n当n=1时，a1=0)2(2)1(0nnnan1.若Sn=n2－1，求an2.若Sn=2n2－3n，求an)2(12)1(0nnnan54nan＝例3：在等差数列中，a312，S120，S130（1）求公差d的范围（2）问S1，S2，S3…S12中哪一个最大，并说明理由。372421206da02121313011202111212)1(:11111ddadadada解nnnnnaSaaa则且各项为正数数列例21,}{:41)2(11121-)1(1}{)2(1221221:1121221212211211nnannnaan)(nn-nSSanSnnSSSnSSSSSSSSSnSSSSSnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn为首项，公式数列是以解例6：设各项为正数的数列{an}与{bn}满足an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列且a1=1，b1=2，a2=3，求通项an，bn2)1(2)1(22)1()1(22)229)(1(229231}{222:221222122121212111212111121nnnnbbanbnnbbbbabaabbbbbbbbbbbabbabbaaabnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn由成等差数列数列解nnnnnnTnbNnabNnnnSna项和前求数列项和前数列例}{)(||)(10}{:82)5(1050)5(1010502||510,5,}{5.501120112)2()1(9:22255521nnnnnnTnnSSSSSTnnnSTnannananSSnannnnnnnnnnnn时当时当负前几项为正以后各项为中即解2、等差数列{an}的各项都是小于零的数，且，则它的前10项和S10等于（）92832823aaaa（A）-9（B）-11（C）-13（D）-15（7）等差数列{an}中，若Sm=Sn(m≠n)，则Sm+n的值为（）0)()(2)()(DSSCSSBSSAnmnmnm8、在等差数列{an}中，a100，a110且a11a10，Sn为前n项和，则下列结论正确的是（）（A）S1,S2,…S10都小于零，S11,S12,…都大于零（B）S1,S2,…S5都小于零，S6,S7,…都大于零（C）S1,S2,…S20都小于零，S21,S22,…都大于零（D）S1,S2,…S19都小于零，S20,S21,…都大于零9、等差数列{an}是递减数列，且a2a3a4=48，a2+a3+a4=12，则数列{an}的通项公式是（）（A）an=2n-2（B）an=2n+4（C）an=-2n+12（D）an=-2n+1013、数列{an}，{bn}均为等差数列，前n项和分别为Sn，Tn，已知Sn:Tn=(5n+13):(4n+5)，则a10:b10=____3419、已知数列{an}是首项为a(a≠0）的等差数列，其前n项的和为Sn，数列{bn}的通项bn=,其前n项的和为T。（I）用等差数列定义证明数列{bn}是等差数列。（II）nSn的值求若)(,7855nnbanTS20、设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=-62，S6=-75（I）求{an}的通项公式an及前n项和公式Sn;（II）求和|a1|+|a2|+|a3|+…+|a14|22已知等差数列前三项为a.4.3a,前n项和为S,S=2550.1,求n及k的值2,求的值.nknSSS11121(1)由已知得：a+3a=8，∴a=2∴公差d=4a-a=22550)1(22)1(1kkkdkkkaSk∴k=50或k=－51(舍)（2）由(1)知)1(2kkkkSknSSS11121)111()3121()211(nn1111nnn