量子力学复习重点课件

量子力学QuantumMechanicsHeisenbergSchrodinger矩阵力学波动力学第一章绪论§1.2光的波粒二象性§1.3原子结构的玻尔理论§1.1经典物理学的困难§1.4微观粒子的波粒二象性§1.1经典物理学的困难一．经典物理学的成就解释了大到天体小到原子分子的运动和各种电磁现象和光的传播等现象.牛顿力学麦克斯韦方程统计物理学低速宏观电磁现象热现象§1.1经典物理学的困难当时物理学家们的世界图样:物质粒子+电磁场=世界物质粒子的运动由经典力学描述电磁场运动由经典电磁学描述.二、经典物理学的困难（1）黑体辐射问题（2）光电效应（3）康普顿效应（4）原子光谱普朗克能量子假说*辐射物体中包含大量谐振子，它们的能量取分立值*存在着能量的最小单元（能量子=h)*振子只能一份一份地按不连续方式辐射或吸收能量三、早期的量子论1、Planck黑体辐射定律2、光量子及光电效应理论•第一个肯定光具有微粒性的是Einstein，他认为，光不仅是电磁波，而且还是一种粒子。•根据他的理论，电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速C传播，这种粒子叫做光量子，或光子。•由相对论光的动量和能量关系p=E/C=hv/C=h/λ提出了光子动量p与辐射波长（λ=C/v）的关系。nkhknhnChnCEphE22其中总结光子能量、动量关系式如下：2.量子跃迁的概念.原子处于定态时不辐射，但是因某种原因，电子可以从一个能级En跃迁到另一个较低（高）的能级Em，同时将发射（吸收）一个光子。光子的频率为：§1.3波尔（Bohr）的量子论1.原子具有能量不连续的定态的概念。Bohr提出了量子化条件：3,2,1nnLL其中的整数倍，即取只能电子的角动量玻尔假定:量子化条件hEEmnmn][假定：与一定能量E和动量p的实物粒子相联系的波（他称之为“物质波”）的频率和波长分别为：•E=hνν=E/hP=h/λλ=h/p•该关系称为de.Broglie关系。因为自由粒子的能量E和动量p都是常量，所以由deBroglie关系可知，与自由粒子联系的波的频率ν和波矢k（或波长λ）都不变，即它是一个单色平面波。，其中nktrkA22]cos[由力学可知，频率为ν，波长为λ，沿单位矢量n方向传播的平面波可表为：写成复数形式)](exp[trkiA)(expEtrpiA这种波就是与自由粒子相联系的单色平面波，或称为描写自由粒子的平面波，这种写成复数形式的波称为deBroglie波二、电子衍射实验戴维孙电子衍射实验正是有了早期的量子论和德布罗意波才奠定了量子力学的诞生第二章波函数和薛定谔方程§1波函数的统计解释§2态叠加原理§3Schrödinger方程§4粒子流密度和粒子数守恒定律§5定态Schrödinger方程（三）波函数的统计解释物质波是描述粒子在空间的概率分布的概率波。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的概率成比例。2.1波函数的统计解释量子力学的第一条基本假定（或公设）1),(2dtrC1),(2dtr归一化波函数归一化因子C的步骤称为归一化换成把axx2cos21)(例：给定),0(ax将其归一化解:令以归一化波函数为)()(),(xcxx设aaaxacacdxcdxaxcdxx822042022212412cos1412cos41)(解得：三、力场中粒子的波函数方程2.3薛定谔方程)(U2E2rmP力场中】【)(U2E2rmPtEiip，),()],(Um2[),(22trtrtrti薛定谔波动方程表示空间中找到粒子的几率随时间的变化dtrwt),(SdSSSdJdtrwdtd),(SSdJ表示单位时间内通过封闭曲面S而流入V的几率2.4粒子流密度和粒子数守恒定律0Jwt几率守恒定律的微分形式结论：单位时间内V中增加几率应等于从体积V外穿过V的边界面流进V的几率，所以上式也叫实域几率守恒方程2.5定态薛定谔方程2、能量本征值方程EU]m2[22改写成EHˆ在量子力学中称与上类似的方程为本征值方程。常量E称为算符H的本征值；Ψ称为算符H的本征函数。2.5定态薛定谔方程（四）定态的性质（1）Hamilton算符的本征值E或En必定是实数nnntr),()]/exp([)]/exp([tiEtiEnnnn]/)(exp[*tEEinnnn0rdtrEEirdtrdtdnnnn),()(),(*nnEE*2.5定态薛定谔方程nnntr),(（2）粒子在空间的几率密度与时间无关)]/exp([)]/exp([tiEtiEnnnn)/exp()/exp(*tiEtiEnnnn)()(rrnn不含时间变量2.5定态薛定谔方程（3）几率流密度与时间无关][m2),(nnnnnitrJ)]/exp()/exp()/exp()/exp([m2**tiEtiEtiEtiEinnnnnnnn)]()()()([m2rrrrinnnn)(rJn不含时间变量a0aⅠⅡⅢx2.6一维无限深势阱axaxxU||||,0)(1.势场势阱内的粒子不可能跑到势阱外面来,所以势阱外找到粒子的几率为零,阱外波函数为零.0)(x在阱外有2.6一维无限深势阱-a0aU(x)IIIIII2.定态薛定谔方程的解:)(0)(m2222axaxEdxd显然E0Ekm2那么方程变成：0)(222xkdxd它的通解是：)(sincos)(axakxBkxAx在势阱内，薛定谔方程为:2.6一维无限深势阱3.能级与波函数考虑波函数标准条件:单值,有限,连续要求波函数在阱内外要连续。所以现在)(at,0sincos)(at,0sincosaxkaBkaAaxkaBkaA.0sin,0coskaBkaA有两种情形的解：0cos,0kaB（1）A和B不能同时为零2.6一维无限深势阱-a0aV(x)IIIIII),5,3,1(,2annk),5,3,1(,2nank22222282kmanmhEaxnAx2cos)(0sin,0(2)kaA),6,4,2(2nank2222m8anEaxnBx2sin)(Ekm22.6一维无限深势阱二者合起来可写为：knann2123,(,,,),m82222naEn)(2sin)(axanAxnn波函数的归一化是：1|)(|2dxxaan所以，aAn1（与n无关）2.6一维无限深势阱最后得到能级和波函数是：,3,2,1).(2sin1)(m82222naxanaxanEnn2.6一维无限深势阱第三章量子力学中的力学量坐标和动量不能同时有确定值，所以状态用波函数表示，力学量用算符表示。经典粒子可用坐标和动量来描写状态(坐标、动量、角动量、能量等)，任何状态下，力学量都有确定值。微观粒子§3.1表示力学量的算符量子力学中力学量算符的构成•量子力学中表示力学量的算符必须是线性,厄密算符,且它的本征函数构成完备系.•经典力学中力学量是坐标r和动量p的函数,把坐标保持不变,动量换为动量算符就构成了量子力学中相应的力学量算符.)ˆ,ˆ(),(prFprFxxxˆxippxxˆ222222ˆˆ2mmpTmpT)(2)(2ˆˆ)(22222rUmrUmpHrUmpHirprLprLˆˆˆ例如§3.1表示力学量的算符§3.2动量算符和角动量算符]sin1)(sinsin1[ˆ22222LiLzˆ(iii)角动量Z方向的分量角动量的平方§3.2动量算符和角动量算符),()1(),(ˆ22YllYLlmePNYimmllmmlm,,2,1,0)(cos)1(),(本征值方程本征值函数（球函数）由于量子数表征了角动量的大小，所以称为角量子数；m称为磁量子数。§3.2动量算符和角动量算符),(),(ˆlmlmzYmYL),(lmY本征函数是mL的本征值是z(3)、角动量Z分量算符的本征值方程§3.3电子在库仑场中的运动（五）总结（1）本征值和本征函数lmnlYrRrnnemZElmnlnlmsn,,2,1,01,,2,1,0),()(),,(,3,2,122242（2）能级简并性能量只与主量子数n有关，而本征函数与n,,m有关，故能级存在简并。当n确定后，=n-nr-1，所以最大值为n-1。当确定后，m=0,±1,±2,....,±。共2+1个值。所以对于En能级其简并度为：210)12(nlnl§3.5厄密算符本征函数的正交性1、本征函数属于分立谱mkkmd*2、本征函数属于连续谱)(*dkm,0km,1mk称为正交归一系满足以上两式的函数系,k4.力学量的可能值,3,2,1,ˆ221n，C，，，，Fnnn的相应的几率是而测量得到某一个中的一定得到一系列本征值测量力学量,3,2,1*ˆ:ndFnmmnnnn若力学量算符有rtCtr，trnnn,,有粒子的波函数若体系的状态已知，则体系的可以测量的力学量的可能测得值的相应的几率就完全确定了。在这个意义上讲，波函数完全描述了体系状态。§3.6算符与力学量的关系§3.6算符与力学量的关系例2已知空间转子处于如下状态),(32),(312111YY试问：（1）Ψ是否是L2的本征态？（2）Ψ是否是Lz的本征态？（3）求L2的平均值；（4）在Ψ态中分别测量L2和Lz时得到的可能值及其相应的几率。§3.6算符与力学量的关系解：（1）Ψ是否是L2的本征态？),(32),(31ˆˆ211122YYLL212112)12(232)11(131YY211122312YYΨ不是L2的本征态。§3.6算符与力学量的关系（2）Ψ是否是Lz的本征态？),(32),(31ˆˆ2111YYLLzz21113231YY21113231YYΨ是Lz的本征态，本征值为。§3.6算符与力学量的关系（3）求L2的平均值dxxFxF)(ˆ)(*先进行归一化：dc*21dYYYYc2111211123231*3231dYYYYYYYYc11212111212111112*92*92*94*9122959491cc53c§3.6算符与力学量的关系21113231YYcdLL2*2ˆdYYLYY211122111251ˆ*251dYYYY2121122111262*251222526]242[5121112111251323153