概率统计1.2概率的定义与计算

Ch1-39§1.2概率的定义及计算§1.2概率定义计算历史上概率的三次定义③公理化定义②统计定义①古典定义概率的最初定义基于频率的定义1930年后由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出Ch1-40设在n次试验中，事件A发生了m次，频率nmfn则称为事件A发生的频率Ch1-41频率的性质1)(0Afn1)(nf事件A,B互斥，则)()()(BfAfBAfnnn可推广到有限个两两互斥事件的和事件非负性归一性可加性稳定性某一定数)()(limAPAfnnCh1-42投一枚硬币观察正面向上的次数n=4040,nH=2048,fn(H)=0.5069n=12000,nH=6019,fn(H)=0.5016n=24000,nH=12012,fn(H)=0.5005频率稳定性的实例蒲丰(Buffon)投币皮尔森(Pearson)投币Ch1-43例DeweyG.统计了约438023个英语单词中各字母出现的频率,发现各字母出现的频率不同：A:0.0788B:0.0156C:0.0268D:0.0389E:0.1268F:0.0256G:0.0187H:0.0573I:0.0707J:0.0010K:0.0060L:0.0394M:0.0244N:0.0706O:0.0776P:0.0186Q:0.0009R:0.0594S:0.0634T:0.0987U:0.0280V:0.0102W:0.0214X:0.0016Y:0.0202Z:0.0006Ch1-44频率的应用第五章指出:当试验次数较大时有事件发生的概率事件发生的频率根据如下百年统计资料可得世界每年发生大地震的概率Ch1-45近百年世界重大地震1905.04.04克什米尔地区8.088万1906.08.17智利瓦尔帕莱索港地区8.421917.01.20印度尼西亚巴厘岛1.5万1920.12.16中国甘肃8.610万1923.09.01日本关东地区7.914.2万1935.05.30巴基斯坦基达地区7.55万时间地点级别死亡“重大”的标准①震级7级左右②死亡5000人以上Ch1-46时间地点级别死亡1948.06.28日本福井地区7.30.51万1970.01.05中国云南7.71万1976.07.28中国河北省唐山7.824.21978.09.16伊朗塔巴斯镇地区7.91.51995.01.17日本阪神工业区7.20.6万1999.08.17土耳其伊兹米特市7.41.7万2003.12.26伊朗克尔曼省6.83万2004.12.26印尼苏门答腊岛附近海域9.015万世界每年发生大地震概率约为14%Ch1-47概率的统计定义概率的定义在相同条件下重复进行的n次试验中,事件A发生的频率稳定地在某一常数p附近摆动,且随n越大摆动幅度越小,则称p为事件A的概率,记作P(A).对本定义的评价优点：直观易懂缺点：粗糙模糊不便使用Ch1-48设是随机试验E的样本空间，若能找到一个法则，使得对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A),称之为事件A的概率，这种赋值满足下面的三条公理：非负性：0)(,APA归一性：1)(P11)(iiiiAPAP可列可加性：,,21AA其中为两两互斥事件，概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫(A.H.Колмогоров)1933年建立.概率的公理化定义公理化定义Ch1-49概率的性质0)(P)(1)(APAP1)(AP有限可加性:设nAAA,,21两两互斥niiniiAPAP11)(若BA)()()(APBPABP)()(BPAPCh1-50对任意两个事件A,B,有)()()(ABPBPABPBAB=AB+(B–A)P(B)=P(AB)+P(B–AB)B-ABABCh1-51加法公式：对任意两个事件A,B,有)()()()(ABPBPAPBAP)()()(BPAPBAP推广：)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAPCh1-52)()1()()()()(2111111nnnnkjikjinjijiniiniiAAAPAAAPAAPAPAP一般：右端共有项.12nCh1-53例1小王参加“智力大冲浪”游戏,他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,两类问题都能答出的概率为0.1.求小王解事件A,B分别表示“能答出甲,乙类问题”(1)6.01.07.0)()()(ABPAPBAP(1)答出甲类而答不出乙类问题的概率(2)至少有一类问题能答出的概率(3)两类问题都答不出的概率(2)8.0)()()()(ABPBPAPBAP(3)2.0)()(BAPBAP例1Ch1-54课后同学问：例1中小王他能答出第一类问题的概率为0.7,答出第二类问题的概率为0.2,两类问题都能答出的概率为0.1.为什么不是？2.07.0若是的话,则应有)()()(2121APAPAAP而现在题中并未给出这一条件.在§1.4中将告诉我们上述等式成立的条件是：事件相互独立.21,AACh1-55例2设A,B满足P(A)=0.6,P(B)=0.7,在何条件下，P(AB)取得最大(小)值？最大(小)值是多少？解)()()()(ABPBPAPBAP)()()()(BAPBPAPABP3.01)()(BPAP1)(BAP最小值在时取得6.0)()(APABP——最小值——最大值)()(BPBAP最大值在时取得例2Ch1-56课上有同学提问最小值是否正确？例2中回答当时,取得BA)(BAP这相当于问如下命题是否成立答：不成立！BA1)(BAP⊛⊛式是“羊肉包子打狗”——有去路,没回路为什么呢？学了几何概型便会明白.Ch1-57设随机试验E具有下列特点：基本事件的个数有限每个基本事件等可能性发生则称E为古典(等可能)概型古典概型中概率的计算：记中包含的基本事件总数n的基本事件个数组成AknkAP/)(则古典（等可能）概型概率的古典定义古典概型Ch1-58bam例3袋中有a只白球，b只红球，从袋中按不放回与放回两种方式取m个球（),求其中恰有k个（）白球的概率mkak,bam)1()1)(()(mbababaAnmba解（1）不放回情形E:球编号，任取一球，记下颜色，放在一边，重复m次:记事件A为m个球中有k个白球，则)!(!)!(!)!(!!kmbbkaakmkmAACnkmbkakmA例3Ch1-59又解E1:球编号,一次取m个球,记下颜色mbaCn11:记事件A为m个球中有k个白球，则kmbkaACCn不放回地逐次取m个球,与一次任取m个球算得的结果相同.则mbakmbkakmAAACAP)(mkak,因此mbakmbkaCCCAP)(mkak,称超几何分布Ch1-60（2）放回情形E2:球编号,任取一球,记下颜色,放回去,重复m次mban)(22:记B为取出的m个球中有k个白球,则mkmkkmbabaCBP)()(kmkkmbabbaaCbaap记),min(,,2,1)1()(makppCBPkmkkm称二项分布Ch1-61设有k个不同的球,每个球等可能地落入N个盒子中（）,设每个盒子容球数无限,求下列事件的概率:Nk（1）某指定的k个盒子中各有一球；（4）恰有k个盒子中各有一球；（3）某指定的一个盒子没有球；km（2）某指定的一个盒子恰有m个球()（5）至少有两个球在同一盒子中；（6）每个盒子至多有一个球.例4（分房模型）例4Ch1-62解kNn设(1)~(6)的各事件分别为61AA则!1kmAkANknmAP!)(11kkNNkCAP!)(4kkNNAP)1()(3kmkmkNNCAP)1()(2kkNkNkCNAP!)(5)(14APkANm)1(3mkmkANCm)1(2!4kCmkNA!5kCNmkNkA!6kCmkNA)()(46APAPCh1-63例4的“分房模型”可应用于很多类似场合“球”可视为人“盒子”相应视为房子信封信钥匙门锁女舞伴生日人男舞伴Ch1-64例5“分房模型”的应用生物系二年级有n个人，求至少有两人生日相同（设为事件A)的概率.解为n个人的生日均不相同,这相当于A本问题中的人可被视为“球”，365天为365只“盒子”若n=64，每个盒子至多有一个球.由例4（6）nnnCAP365!)(365.365!1)(1)(365nnnCAPAP.997.0)(AP例5Ch1-65解.5040410An例6在0,1,2,3,,9中不重复地任取四个数，求它们能排成首位非零的四位偶数的概率.设A为“能排成首位非零的四位偶数”四位偶数的末位为偶数,故有种可能15C而前三位数有种取法,由于首位为零的四39A位数有种取法,所以有利于A发生的取1248CA229628143915ACACnA法共有种.904150402296)(AP例6Ch1-662121AAAAA解nn9设A表示事件“n次取到的数字的乘积能被10整除”设A1表示事件“n次取到的数字中有偶数”A2表示事件“n次取到的数字中有5”A=A1A2例7在1,2,3,,9中重复地任取n()个数,求n个数字的乘积能被10整除的概率.2例7Ch1-67nnAP951nnAP982nnAAP9421nnnnAAPAPAPAAPAP9485212121.94851nnnnAPCh1-681o明确所作的试验是等可能概型,有时需设计符合问题要求的随机试验,使其成为等可能概型.3o计算古典概率时须注意应用概率计算的有关公式,将复杂问题简单化.如例7.2o同一题的样本空间的基本事件总数随试验设计的不同而不同,如例3不放回试验的两种不同设计.一般越小越好.nn计算古典概率注意事项Ch1-69若P(A)0.01,则称A为小概率事件.小概率事件一次试验中小概率事件一般是不会发生的.若在一次试验中居然发生了,则可怀疑该事件并非小概率事件.小概率原理————小概率原理(即实际推断原理)Ch1-70例8区长办公室某一周内曾接待过9次来访,这些来访都是周三或周日进行的,是否可以断定接待时间是有规定的？解假定办公室每天都接待，则P(9次来访都在周三、日)==0.00001279972这是小概率事件,一般在一次试验中不会发发生.现居然发生了,故可认为假定不成立,从而推断接待时间是有规定的.例8Ch1-71习题作业P46习题一781012151719补充作业.)(2DP设事件A,B,C同时发生必导致事件)()()(CPBPAPD发生，则Ch1-72柯尔莫哥洛夫(A.H.Колмогоров1903-1987)1939年任苏联科学院院士.先后当选美,法,意,荷,英,德等国的外籍院士及皇家学会会员.为20世纪最有影响的俄国数学家.俄国数学家柯尔莫哥洛夫Ch1-73柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一系列重要分支作出重大贡献.他建立了在测度论基础上的概率论公理系统,奠定了近代概率论的基础.他又是随机过程论的奠基人之一,其主要工作包括:20年代关于强大数定律、重对数律的基本工作;Ch1-741933年在《概率论的基本概念》一文中提出的概率论公理体系(希尔伯特第6问题)30年代建立的马尔可夫过程的两个基本方程;用希尔伯特空间的几何理论建立弱平稳序列的线性理论;40年代完成独立和的弱极限理论,经验分布的柯尔莫哥洛夫统计量等;Ch1-75在动力系统中开创了关于哈密顿系统的微扰理论与K系统遍历理