有限元理论

第一讲有限元基本理论主讲人：内容：零、概述一、自由度与约束（弹簧模型）二、有限元的发展三、单元刚度矩阵、总体刚度矩阵四、有限元法的理论基础五、有限元网格与单元六、有限元分析的基本方法七、参考文献Finiteelement或FEA（FiniteElementAnalysis）FEM（FiniteElementmethod）用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的（较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件（如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。零、概述有限元法基本思想学习有限元的目的大致分为两类：1.应用有限元法，特别是运用已有的通用或专用软件求解实际工程技术问题。2.在有限元的理论和方法方面作进一步的研究工作，以提高它的有效性和扩大它的应用领域。虽然在数量上前者占大多数，但两者不能截然划分。因为在应用过程中常常会遇到新的问题和新的要求，同时，实际分析者的兴趣和能力不断提高，从而也有可能开展理论和方法的研究。另一方面，以研究为目的者也常常借助于现有软件提供的支持，并将应用作为研究成果的检验依据和最后目标。应用有限元软件进行工程分析时需要做以下工作：1.理解和把握该分析的目的和需要回答的问题，并确定能正确回答该问题的力学、数学模型。2.建立有限元离散模型和选择合适的计算方案。3.对计算结果作出分析和评估，决定是否需要修改有限元模型和计算方案进行重分析；是否需要修改力学、数学模型；是否需要修改原设计方案。上述1.和3.项中的后一部分工作需要分析者具有必要的力学和工程方面的知识和经验，以及必要时的专家咨询。而2.和3.项中的前一部分工作则需要分析者对于有限元的基本原理和离散方法，常用单元形式和求解方法的特点和应用条件，以及计算结果的检查和评估等，有较清晰的理解和综合应用的能力。这是成功应用现有软件，特别是大型通用软件进行工程分析，包括必要时将新的单元或材料的程序模块接入现有软件，以适应特殊应用需求的前提条件。有限元分析的基本方法：有限元法的基本内容一、自由度与约束1.1[弹簧模型]和有限元法这里，用学习力学时最先出现的[梁模型]，来说明有限元法基本的考虑方法和经常使用的术语的意思。1.1.1弹簧的行为和[弹簧模型]弹簧，一有作用力就伸长和缩短起来。对应于力的大小显示了一定的变形过程。最能发挥弹簧这个特性的，是在以计量和吸收变形等为目的的体重计和弹簧床等等的日用品中频频得到利用。1.1.1弹簧的行为和[弹簧模型]一方面，出现在力学中的[弹簧模型]，是力和伸长关系理想化表现的最基本的力学模型之一。这个模型中，约定力的方向和弹簧伸长的方向为同一个方向。以下所述的弹簧，考虑为所假定的这种[弹簧模型]。就象大家知道的那样，在弹簧上挂上重物，则弹簧的长度比没有重物状态下要变得长。这个变长的量被称为伸长，只要重物（的重量）不变，伸长也不变。1.1.1弹簧的行为和[弹簧模型]然后，再加上一个同样重的重物试试看。伸长就增加到2倍了。同样地挂上3个重物的话，伸长就增加到3倍。这一次，我们来换一下弹簧试试看。对于稍稍硬一点的弹簧，挂上和先前一样的重物试试。所谓硬的弹簧，也就是不容易伸长的弹簧。换句话说，（对于硬弹簧）为得到一样的伸长要有大一点的重物，也即要有大一点的力。1.1.1弹簧的行为和[弹簧模型]其实，对于伸长和力的关系有一个规律决定的。这个关系用公式表示就成如下形式。F=ｋu此处，F作为重物的重量也意味着力，在有限元分析中称为载荷。k，意味着弹簧的强度，称为弹簧系数，在有限元分析中称为刚度。u意味着弹簧的伸长，在有限元分析中被称为位移。这个公式称为虎克定律，大家非常熟悉。其实，虎克定律已成为有限元分析的重要理论。1.1.1弹簧的行为和[弹簧模型]要点：[弹簧模型]的行为，被称为虎克定律，用弹簧系数的数学公式可以表示力和伸长的关系。1.1.2弹簧的自由度在这里让我们来考虑自由度问题。所谓自由度用语言进行严密的定义，如果能够的话我们想尽量避免，而想用形象化的办法作为宗旨来说明。另外我们也试着从所谓“自由”开始来说明。对于自由一定是作为对象所属的事物（事情）而言。而且，总是伴随着对象的场合，意志和行动的，多数情况是把活生生的生物作为对象的。譬如，对提倡尊重基本人权这样的背景，所说到的人类之间大家平等，自由，这样的对象，就是人。到了春天的话，公园或庭园内，还有菜花或紫云英花的花圃里自由自在地来回飞翔的蝴蝶和蜜蜂之类。它们或许并不由它们的意志而是由它们的本能所趋，但不管怎样总是自由地，华丽地飞翔着。某保护团体，他们则主张不限于人类，还要从狗，猫等等的宠物到大海中悠闲游泳着的鲸作为对象给予保护和自由。总之不管怎样，作为对象的人或动物，在发生行动和行为时没有从其他地方来的限制，依他或它所想的那样任意行动，我们把这作为自由这一术语的意思来进行定义吧。那么和所说的自由这一术语相对立，就有所谓约束，限制这样相反的说法，相互间具有密切的关系。也许是稍微老一点的说发，以前大家是初中生或高中生的时候是不是都有这样的经验，即服装啦长发啦以及游行等等都由校规作了各种各样的限制？自由这种东西虽然没有大小和长度的概念，然而由限制的个数和其易难性，可以测量它自由的程度。1.1.2弹簧的自由度[是不是自由]，表现了哪一个是不是自由的情况和程度，而作为表示其尺度的说法，我们将引入所谓自由度这一术语。举例来说，有一妻管严者A氏回家时必定要用电话打照呼，只能使用所掌握的每月规定的零用钱，除工作以外，在外留宿完全不允许。1.1.2弹簧的自由度另有一位，是单身汉B氏，象加班加到深更半夜也好，一下班就和同事出入娱乐街也好，做什么都行。但是自己的身体状况和当时钱包中的钞票限制了他。1.1.2弹簧的自由度还有一位，控制得住妻子的C氏，有时交际应酬很晚回家，即使这样十次中只有一次往家里打电话，有时应酬完了时手提着礼物回家，总之这样已经成了习惯，由于也难得这样晚，到也得到家族方面的信赖。不过，对于三位的自由，多少有几个约束限制着。想象中，自由度最大的一个是B氏，相反A氏的自由度最小，想想看，大家是怎么考虑的？1.1.2弹簧的自由度在这里对这一点，给它随便来回活动的[自由]的权利。点●，因为获得了[自由]的权利，所以前后，左右以及上下哪个方向都能够运动，但不能说这种说法代表了此处所讨论的弹簧问题。之所以是这样，是因为在这个问题中由于弹簧端部的重锤仅仅引起上下方向的移动。从而[弹簧模型]中用●来代表时，这个点必须这样做，即约束掉这个点的前后方向，左右方向的运动，而上下方向必须能够自由地移动。对于CAE而言，使用这样的说法，即把这样的点称为“具有上下方向自由度的[点]”。一般的说，力学模型中的[弹簧模型]，这样来定义的，它是具有和力的方向一样的伸长方向，以及具有一个自由度的模型。1.1.2弹簧的自由度另外，使用坐标系的话，就能具体地表示[点]和模型的自由度。在3维坐标系里定义[点]的话，没有约束限制的情况下，具有3个轴中每个轴方向上的移动和饶该轴转动的共计6个的自由度。另外，可以这样来说明用来代表[弹簧模型]的点●，因为受到限制，使用坐标系时则“该模型具有x方向的自由度，y方向和z方向的自由度受到约束”。1.1.2弹簧的自由度前面所说，载荷作用于弹簧的端部（下端部）位置，仅以一点●来代表，现在准备再用一点●，来考虑2个点的弹簧问题。此时点●，被放置在上部，在固定弹簧的一端上（上端）。这个点因为被固定住，对于任何的运动都必须约束掉。也就是，表现为没有自由度。用2个点来建模，它们之间的距离表示成包含伸长在内的全部长度。1.1.2弹簧的自由度把弹簧问题以[点]来模型化，有关这个点所具有的自由度已经作了说明。而有限元法中被称为构成单元的节点的数个点，具有完全相同概念的自由度，和[点]起着同样的作用。用有限元法来求对应于节点的各个自由度的位移和转角，同时算出应力和应变。1.1.2弹簧的自由度要点：弹簧的自由度仅一个，它的方向为载荷作用的方向。对于在3维空间里的1个[点]，定义了表示3个轴方向的移动和绕各轴旋转的共计6个成分的自由度。有限元法求出各个节点的自由度的成分，计算出变形和应力。1.1.3约束决定问题！约束这一话已经出现了好几次，现在再稍微具体地作一下说明：仍以弹簧为例，象前一节所说明的那样，弹簧的上端被固定在天花板上，挂上重锤弹簧则伸长，这正符合弹簧的本来的作用。对于弹簧，载荷所作用着的下端已经说过了是重要的，而固定在天花板上的另一端上（上端）也很重要。上端如不作固定，弹簧由于重锤就会落下来。本来，弹簧因伸长而起作用，然而如果说端部的约束决定弹簧的这个功能也不过分。1.1.3约束决定问题！以下的例子是材料力学中经常所使用的。同一构件具有相同的载荷，然而端部的约束条件不同的话，则在载荷点的位移量也总是不同的。当然，因为变形不同，构件内部的力的分布，即应力的分布在各个例子中也各不相同。单手拿着纸片双手拿着纸片1.1.3约束决定问题！有限元法，是把实际形状的模型用有限个有限单元的集合体来建立模型，这种模型是把形成各个单元的节点连续地连接起来。也就是，有限元模型，可以这样来考虑，把形状模型用很多个节点（和至今说到的[点]是同样性质）进行置换。因而，在使用有限元法的时候，同弹簧的例子或材料力学的例子一样，重要的是要符合求解的问题对节点的自由度进行正确的约束。1.1.3约束决定问题！要点：约束，根据对它处理方法的不同而会产生不同的现象，有必要引起充分的注意。在有限元法中，约束对于模型化的定义具有重要意义，也就是被称为约束条件或边界条件的处理，在进行模型化处理的过程中，具有重要的位置。1.1.4约束就是消灭自由度？！不限于弹簧问题，对于构件或产品的形状因载荷而变形，要校核它的应力这种问题，对于建模用到的[点]或节点的自由度一定要进行约束。大家要记住，为使用CAE，用任何一种方法来作有限元模型，即使留意设定了载荷和材料的数据，而没有进行约束处理的话，是不能解决问题的。键入START命令，不到几秒钟的时间，系统就出现出错信息而返回，结果什么也没得到空手而归。1.1.4约束就是消灭自由度？！由于载荷的作用，部件要变形，它的某一部位应该被固定住。如果是弹簧，则是在天花板上被固定住的弹簧这一端，如果是材料力学所用的梁模型，那么是梁的端部。使用有限元法，对于求解构件的变形，应力等的弹性问题中，对应于有限元模型，与被固定住的部位相当的节点或者几个节点的组必须进行约束处理。1.1.4约束就是消灭自由度？！假如没有约束的话，象弹簧要落下来一样，既没有伸长也没有收缩整个模型将会朝力的方向移动或转动，完全不对头了。（在运动力学中，这种现象被称为[刚体运动]或{刚体问题}。将各种各样现象转换成模型时，对于自由度和自由度的约束处理，根据它的不同设置而产生的现象也不同，所以是非常重要的。作为刚体而移动作为弹性体而变形1.1.4约束就是消灭自由度？！有时候说成[消灭自由度！]，不是可以形象化得到理解了吗？！要点：对于弹性等的问题使用有限元法的时候，必须对结构模型一部分的自由度进行约束，以确定不会产生刚体变形那样的约束条件。二、有限元的发展问题的描述：1940s，数学家R.Courant用定义在三角星区域上的分片连续函数和最小势能原理想结合，来求St.Venant扭转问题；1954年，联邦德国阿亨大学的J.H.Argyris教授用系统的最小势能原理，得到了系统的刚度方程，使已经成熟的杆系结构矩阵分析法，可以用于连续介质分析；1956年，波音公司的M.J.Turner，R.W.Clough采用直接刚度法给出了用三角形单元求解平面应力问题的正确解答；1960年，Clough在论文中首次采用“FiniteEl