二阶系统的时间响应

第2章数学模型为了从理论上对控制系统进行性能分析，首先要建立系统的数学模型。系统的数学模型，是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。系统数学模型有多种形式，这取决于变量和坐标系统的选择。在时间域，通常采用微分方程或一阶微分方程组的形式；在复数域则采用传递函数形式；而在频率域采用频率特性形式。必须指出，建立合理的数学模型，对于系统的分析和研究极为重要。由于不可能将系统实际的错综复杂的物理现象完全表达出来，因而要对模型的简洁性与精确性进行折衷的考虑。一般是根据系统的实际结构参数和系统分析所要求的精度，忽略一些次要因素，建立既能反映系统内在本质特性，又能简化分析计算工作的模型。学习目的1.了解建立系统数学模型的一般步骤2.掌握拉氏变换和反变换方法3.掌握建立系统数学模型的各种方法（包括时域、复数域；解析式、图示式）4.了解非线性数学模型线性化的方法5.熟悉各种不同物理属性控制系统数学模型的建立过程内容提要本章主要阐述控制系统数学模型的基本概念、时域模型——运动微分方程和复数域模型——传递函数的建立、数学模型的图示法——方框图和信号流图的建立步骤与方法，介绍拉氏变换与拉氏反变换重点传递函数概念的建立、典型环节和控制系统传递函数的推导难点实际物理系统，特别是机械系统传递函数的推导建立系统数学模型，一般采用解析法或实验法。所谓解析法建模，即依据系统及元件各变量之间所遵循的物理学定律，理论推导出变量间的数学关系式，从而建立数学模型。本章仅讨论解析建模方法，关于实验法建模将在后面的章节进行介绍。2.1控制系统的运动微分方程2.1.1建立数学模型的一般步骤用解析法列写系统或元件微分方程的一般步骤是：(1)分析系统的工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量。(2)从系统的输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量所遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件动态微分方程。(3)消去中间变量，得到一个描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程。(4)写成标准化形式。将与输入有关的项放在等式右侧，与输出有关的项放在等式的左侧，且各阶导数项按降幂排列。2.1.2控制系统微分方程的列写1．机械系统任何机械系统的数学模型都可以应用牛顿定律来建立。机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可以使用质量、弹性和阻尼三个要素来描述。(1)机械平移系统图2.1所示为常见的质量-弹簧-阻尼系统，图中的、、分别表示质量、弹簧刚度和粘性阻尼系数。以系统在静止平衡时的那一点为零点，即平衡工作点，这样的零位选择消除了重力的影响。设系统的输入量为外作用力，输出量为质量块的位移。现研究外力与位移之间的关系。在输入力的作用下，质量块将有加速度，从而产生速度和位移。质量块的速度和位移使阻尼器和弹簧产生粘性阻尼力和弹性力。这两个力反馈作用于质量块上，影响输入的作用效果，从而使质量块的速度和位移随时间发mKtfiB)(otxtfi)(otxtfimtfBtfKtfi图2.1机械平移系统力学模型生变化，产生动态过程。根据牛顿第二定律，有点击观看公式推导由阻尼器、弹簧的特性，可写出由以上三个式子，消去和，并写成标准形式，得一般、、均为常数，故式（2.1）为二阶常系数线性微分方程。它描述了输入和输出之间的动态关系。方程的系数取决于系统的结构参数；而方程的阶次等于系统中独2io2d()()()()dBKftftftmxttod()()dBftBxtto()()KftKxttfBtfK2oooi2dd()()()()ddmxtBxtKxtfttt（2.1）mKBtfi)(otx立的储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。当质量很小可忽略不计时，系统由并联的弹簧和阻尼器组成，如图2.2所示。此时，系统的运动方程为一阶常系数微分方程这说明，同一系统由于简化程度的不同，可以有不同的数学模型。ooid()()()dBxtKxtftt图2.2弹簧-阻尼系统力学模型(2)机械旋转系统包含定轴旋转的机械系统用途极其广泛。其建模方法与平移系统非常相似。只是这里将质量、弹簧、阻尼分别变成转动惯量、扭转弹簧、旋转阻尼。图2.3所示为一机械旋转系统，旋转体通过柔性轴（用扭转弹簧表示）与齿轮连接。旋转体在粘性介质中旋转，因而承受与旋转速度成正比的阻尼力矩。设齿轮转角为系统输入量，旋转体转角为系统输出量，据此建立系统的运动微分方程（忽略轴承上的摩擦）。扭转弹簧左、右端的转角分别为、，设它加给旋转体的扭矩为（当时，弹簧的扭矩为零），则旋转体上除了受弹簧的扭矩外，也受阻尼扭矩作用，因而有扭矩平衡方程io()[()()]KTtKtt2o2d()()()dKBJtTtTttK)(it)(ot)(it)(ot)(tTBoi)(tTK和旋转阻尼特性方程由以上三式整理可得机械旋转系统运动微分方程图2.3机械旋转系统力学模型od()()dBTtBtt2oooi2dd()()()()ddJtBtKtKttt（2.2）2．电气系统电阻、电感和电容器是电路中的三个基本元件。通常利用基尔霍夫定律来建立电气系统的数学模型。电气系统数学模型无源电路网络如图2.4所示，设输入端电压为系统输入量。电容器两端电压为系统输出量。现研究输入电压和输出电压之间的关系。电路中的电流为中间变量。RLCCLR)(ituC)(otu)(itu)(otu图2.4无源电路网络CLR根据基尔霍夫定律，有点击观看公式推导消去中间变量，稍加整理，即得一般假定、、都是常数，则上式为二阶常系数线性微分方程。若，系统也可简化为一阶常微分方程有源电路网络如图2.5所示，设电压为系统输入量，电压为系统输出量。现建立与之间的关系式。id()1()()ddituRitLitttCo1()duittC)(ti2oooi2dd()()()()ddLCutRCutututtt（2.3）0LRLC)()()(ddRCiootututut（2.4）)(itu)(otu)(itu)(otuoid()()dutRCutt图2.5有源电路网络图中点为运算放大器的反相输入端，为运算放大器的开环放大倍数。因为且一般值很大，所以点电位运算放大器的输入阻抗一般都很高，故而可认为因此，可以得到即oo()()AutKutAoKoKoo()0AuutK)()(21titioid()()dututCRtoid()()dutRCutt（2.5）3．流体系统流体系统比较复杂，但经过适当简化也可以用微分方程加以描述。图2.6所示为一简单的液位控制系统。在此系统中，箱体通过输出端的节流阀对外供液。设流入箱体的流量为系统输入量，液面高度为输出量，下面列写液位波动的运动微分方程。i()qt)(tH图2.6液位控制系统根据流体连续方程，可得式中——箱体的截面积。设液体是不可压缩的，通过节流阀的液流是紊流，则其流量公式为式中——由节流阀通流面积和通流口结构形式决定的系数，通流面积不变时为常数。消去中间变量得液位波动方程为显然，式（2.8）是一个非线性微分方程。4．模型分析将上述系统模型进行比较，可清楚地看到，物理本质不同的)()(d)(doitqtqttHA（2.6）A)()(otHatq（2.7）aao()qt)()(d)(ditqtHattHA（2.8）系统，可以有相同的数学模型。反之，同一数学模型可以描述物理性质完全不同的系统。因此，从控制理论来说，可抛开系统的物理属性，用同一方法进行普遍意义的分析研究，这就是信息方法，从信息在系统中传递、转换的方面来研究系统的功能。而从动态性能来看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似，若方程系数等值则响应完全一样，这样就有可能利用电系统来模拟其它系统，进行实验研究。这就是控制理论中的功能模拟方法的基础。分析上述系统模型还可以看出，描述系统运动的微分方程的系数都是系统的结构参数及其组合，这就说明系统的动态特性是系统的固有特性，取决于系统结构及其参数。用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统；如果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为线性时变系统。线性系统的特点是具有线性性质，即服从叠加原理。这个原理是说，多个输入同时作用t于线性系统的总响应，等于各输入单独作用时产生的响应之和。用非线性微分方程描述的系统称为非线性系统，如前述的液位控制系统。在工程实践中，可实现的线性定常系统，均能用阶常系数线性微分方程来描述其运动特性。设系统的输入量为，系统的输出量为，则单输入、单输出阶系统常系数线性微分方程有如下的一般形式（2.9）式中，，…，和，，…，——由系统结构参数决定的实常数。由于实际系统中总含有惯性元件以及受到能源能量的限制，所以总是n)(itx)(otxn1ooo011o1ddd()dddnnnnnnxxxaaaaxtttt1iii011i1ddd()dddmmmmmmxxxbbbbxttttnm0a1ana0b1bmb2.2拉氏变换与反变换机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。2.2.1拉普拉斯变换的定义如果有一个以时间为自变量的实变函数，它的定义域是，那么的拉普拉斯变换定义为式中，是复变数，（σ、ω均为实数），称为拉普拉斯积分；是函数的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称为的象函数，而称为的原函数；L是表示进行拉普拉斯变换的符号。0edstFsLftftt(2.10)ttf0ttfsjs0est)(sFtf)(sFtftf)(sF式（2.10）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数。2.2.2几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数的拉氏变换单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为单位阶跃函数如图2.7所示，它表示在时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。单位阶跃函数的拉氏变换式为当，则。)(sF)0(1)0(0)(1ttt)(1t0t0e1de)(1)](1[)(0stststttLsF0)Re(s0elimstt所以2.指数函数的拉氏变换指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中是常数。令则与求单位阶跃函数同理，就可求得ssstLst1)1(00e1)(1（2.11）attfe0)(0dedeeettLsFtasstatatass1assLsFat11e)(1（2.12）a图2.7单位阶跃函数3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换设，，则由欧拉公式，有所以ttfsin)(1ttfcos)(201desinsin)(tttLsFstj2eesinjjtttttsFsttsttdeedeej21)(0j0j1ttsttstsdeedej210)j(0)j(0ej10ej1j21)j()j(tstsss22j1j1j21sss(2.13)同理4.单位脉冲函数δ(t)的拉氏变换单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。其幅值和作用时间的乘积等于1，即。如图2.8所示。单位脉冲函数的数学表达式为(2.14）222