二阶非齐次方程的解法

02qprr),(0为常数qpqyypy复习特征根的情况通解的表达式实根21rr实根21rr复根ir2,1xrxreCeCy2121xrexCCy2)(21)sincos(21xCxCeyx0)()(yxqyxpy2211yCyCy通解为：)()()(xfyxqyxpy*2211yyCyCy通解为：)(xfqyypy对应齐次方程,0qyypy通解结构*,*2211yyCyCyyYy即f(x)常见类型),(xPm,)(xmexP,cos)(xexPxm,sin)(xexPxm难点：如何求特解y*？方法：待定系数法.二阶常系数非齐次线性方程的解法02qprr(P,q为常数)设非齐方程特解为xexQy)(*代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm不是特征方程的根，若)1(,02qp),()(xQxQm可设是特征方程的单根，若)2(,02qp,02p),()(xxQxQm可设;)(*xmexQy;)(*xmexxQy)()(xPexfmx一、型是特征方程的重根，若)3(,02qp,02p),()(2xQxxQm可设综上讨论：非齐次方程,)(*xQexymxk是特征重根是特征单根不是特征根2,10k.)(*2xmexQxyqyypy)(xPemx的通解y*可以设为：★特别地xAeqyypyxkeBxy*B是待定常数★特别地)(xPqyypym)(*xQxymk0020,0,01000qppqqk即是重根即是单根即不是根（A是常数）是特征重根是特征单根不是特征根2,10k02qprr.22的一个特解求方程xyyy解特征方程,0122rr，121rr是特征根，不这里0,)(02xexxf,*2CBxAxy设代入方程,得22)22()4(xCBAxBAAx022041CBABAA.64*2xxy于是例1641CBA.32的一个特解求方程xeyyy解特征方程,0322rr，3,121rr是特征单根，而这里1,1,)(xexf,*xBxey设将y*代入原方程,得xxxxxxeBxeBxeBeBxeBe3222xxeBe4.41*xxey于是例2.41B,*xxBxeBey,2*xxBxeBey0xe型二、]sincos[)(xBxAexfx],sincos[*xDxCexyxk设,10是特征根不是特征根iikC,D是待定常数.A,B,λω是常数以上的推导过程省略,只要求我们会用它.)(xfqyypy的特解y*可设为：.2cos3的一个特解求方程xeyyyx解特征方程为,0132rr.有实根,21不是特征根ii),2sin2cos(*xDxCeyx故设xexCDxCDexx2cos]2sin)10(2cos)10[(010110CDCD所求非齐方程特解为)2sin101102cos1011(*xxeyx例3这里)2sin02(cos)(xxexfx2,1代入原方程，得将*,**,yyy10110,1011DC.sin4的通解求方程xyy解特征方程,012r,是特征单根ii),sincos(*xDxCxy故代入原方程,sincos2sin2xxDxC0,21DC所求非齐方程特解为,cos21*xxy原方程通解为.cos21sincos21xxxCxCy例4,02,1ir对应齐次方程的通解,sincos21xCxCY1,0),sin4cos0()(0xxexfx这里.sin6424的通解求方程xxyy解xxfxxfxfxfxfsin6)(,42)(),()()(2121特征方程,042r,*)(411BAxyxfyy的特解可设为***21yyy.*yYy原方程的通解为：例5,202,1ir,2sin2cos21xCxCY,sincos*)(422xDxCyxfyy的特解可设为★请设出下列方程的一个特解：3445.12xyyy23.2xyyxexyy29.4xeyyy2.3xeyyyx2sin52.5)sin4(cos32.64xxeyyyxCBxAxy2*.1)(*.2BAxxyxeBxy2*.3xeCBxAxy)(*.42)2sin2cos(*.5xDxCxeyx)sincos(*.64xDxCeyx二阶常系数非齐次线性微分方程解法)(xfqyypy二阶常系数非齐次线性方程型)()()1(xPexfmx解法待定系数法.,)(*xQexymxk设是特征重根是特征单根不是特征根2,10k三、小结型]sincos[)()2(xBxAexfx],sincos[*xDxCexyxk设.1;0是特征方程的单根时不是特征方程的根时iik例6?:.5.,00:5,:,,.1.21,4.316.32,20:8,30:7他被排除在嫌疑犯之外不在现场的证言能否使张某问分钟案现场步行需”从张某的办公室到凶公室打完电话就离开了办时打了一个电话办公室上班“下午张某一直在并有证人说张某声称自己是无罪的但某此案的最大嫌疑犯是张小时内始终保持在室温在几得尸体温度为尸体即将被抬走时，测；一小时后，当测得尸体温度为赶到凶案现场法医与晚上被发现受害者的尸体于晚上CCC0t8:209:201解人死后体温调节功能消失，尸体温度T(t)受外界环境的影响，服从牛顿冷却定理.)1.21(TkdtdTktaetT1.21)(通解为4.31)1(,6.32)0(TTteT11,05.111.21CT37若死者的体温正常，为分时小时57295.25.111.213711,0tet故死者死亡的时间是.235572208分时分时分时t故张某不能被排除在嫌疑犯之外.基本概念一阶方程类型1.直接积分法2.可分离变量3.齐次方程4.线性方程可降阶方程线性方程解的结构定理1;定理2定理3;定理4二阶常系数线性方程解的结构二阶常系数线性齐次方程的解f(x)的形式及二阶常系数非齐次线性方程的解二阶方程待定系数法特征方程法本章主要内容注意:.)(.1解法每一种类型都有固定的方程的阶数和特点认准方程的类型..2解看清是求通解还是求特作业：P175.3.4.(1)(2)要求：只设出y*.