常染色体遗传模型5

常染色体遗传模型在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对，基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因A和a控制的，（A、a为表示两类基因的符号）那么就有三种基因对，记为AA，Aa，aa。例如,金鱼草是由两个遗传基因决定它的花的颜色,基因型为AA的金鱼草开红花,基因型为Aa的金鱼草开粉红色花,而基因型为aa的金鱼草开白色花.给出双亲体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如表(1)所示。父体-母体子代AA-AAAA-AaAA-aaAa-AaAa-aaaa-aaAA11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/21双亲随机结合的较一般模型相对比较复杂，这些我们仅研究一个较简单的特例。例农场的植物园中某种植物的基因型为AA,Aa和aa。农场计划采用AA型的植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？（a）假设（i）设an,bn和cn分别表示第n代植物中，基因型为AA,Aa和aa的植物占植物总数的百分比,n=0,1,2,…。。令x(n)为第n代植物的基因型分布：nnnncbax)(当n=0时000)0(cbax表示植物基因型的初始分布（即培育开始时的分布）显然有1000cba（b）建模根据假设(ii)，先考虑第n代中的AA型。由于第n－1代的AA型与AA型结合,后代全部是AA型；第n－1代的Aa型与AA型结合，后代是AA型的可能性为1/2，而第n－1代的aa型与AA型结合，后代不可能是AA型。因此当n=1,2…时1110211nnnncbaa111(1)2nnnaab即类似考虑第n代中的Aa型和aa可推出111(2)2nnnbbc（ii）第n代的分布与第n－1代的分布之间的关系是通过表(1)确定的。0(3)nc将（1）、（2）、（3）式相加，得111nnnnnncbacba根据假设(I)，可递推得出：1000cbacbannn对于(1)式.(2)式和(3)式，我们采用矩阵形式简记为()(1),1,2,(4)nnxMxn其中nnnncbaxM)(,00012100211（注：这里M为转移矩阵的位置）由（4）式递推，得)0()2(2)1()(xMxMMxxnnnn(5)（5）式给出第n代基因型的分布可由初始分布的关系。为了计算出Mn，我们将M对角化，即求出可逆矩阵P和对角阵D，使M=PDP-1因而有Mn=PDnP-1,n=1,2,…其中nnnnD321321000这里，，是矩阵M的三个特征值。对于（4）式中的M，易求得它的特征值和特征向量：=1，=1/2，=0123123因此121011001,0000210001321eeeD所以100210111321eeeP通过计算，，因此有)0(1)(xPPDxnn0001002101110000210001100210111cban＝1PP即00011)(000212102112111cbacbaxnnnnnnnn021212121010010000cbcbcbannnn＝所以有0212121211010010nnnnnnnccbbcba当n时，0,0,1nnncba即在极限的情况下，培育的植物都是AA型。若在上述问题中，不选用基因AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如表所示。模型讨论后代基因型父体-母体的基因型AA-AAAa-Aaaa-aaAA11/40Aa01/20aa01/41并且)0()(xMxnn，其中141002100411MM的特征值为21,1,1321通过计算，可以解出与、相对应的两个线性无关的特征向量e1和e2，及与相对应的特征内量e3：12121,100,101321eee因此02101110211,1112001011PP)0(1)(xPPDxnn000021011102112100010001111200101cban解得：01000102121212121bccbbbaannnnnn当n时，021n，所以000021,0,21bccbbaannn因此，如果用基因型相同的植物培育后代，在极限情况下，后代仅具有基因AA和aa。模型二常染色体遗传疾病现在世界上发现的遗传病有几千种，这些都是由于父母或家族遗传基因所造成的。常染色体遗传疾病对应的基因型将人口分成三类。记AA型——正常人，Aa型——隐性患者，aa——显性患者。若在开始时一代人口中AA，Aa，aa型基因的人所占百分比为000,,cba；)(),(),(321nxnxnx为第n代人口中所占的百分比。控制结合显性患者不能生育后代，隐性患者必须与一个正常人结合才能生育后代。从1n开始就有0)(3nx，即不再有显性患者，且)1(21)(1(21)1()(22211nxnxnxnxnx）),2,1(n（1）或)1()1(210211)()(2121nxnxnxnx（2）递推得0021)()(baCnxnxn（3）市场占有率模型设有甲、乙、丙三家企业，生产同一种产品，共同供应1000家用户，各用户在各企业间自由选购，但不超出这三家企业，也无新的客户。假定在10月末经过市场调查得知，甲、乙、丙三家企业拥有的客户分别是：250户，300户，450户，而11月份用户可能的流动情况如表所示：从到甲乙丙甲2301010250乙2025030300丙30104104502802704501000假定该产品用户的流动按上述方向继续变化下去(转移概率不变)，预测12月份三家企业市场用户各自的拥有量，并计算经过一段时间后，三家企业在稳定状态下该种产品的市场占有率。假定该产品用户的流动按上述方向继续变化下去(转移概率不变)，预测12月份三家企业市场用户各自的拥有量，并计算经过一段时间后，三家企业在稳定状态下该种产品的市场占有率。解：第一步：根据调查资料，确定初始状态概率向量，这里0000123,,250/1000,300/1000,450/1000SSSS0.25,0.3,0.45第二步：确定一次转移概率矩阵，此例由用户可能流动情况调查表可知，其一步转移概率矩阵为230/25010/25010/2500.920.040.0420/300250/30030/3000.0670.8330.130/45010/450410/4500.0670.0220.911P矩阵中每一行的元素，代表着各企业保持和失去用户的概率，如第一行甲企业保持用户的概率是0.92，转移到乙、丙两企业的概率都是0.04，甲企业失去用户的概率是0.04＋0.04＝0.08。第三步：利用马尔可夫链模型进行预测。显然，12月份三家企业市场占有率为222202123,,SSSSSP20.920.040.040.25,0.3,0.450.0670.8330.10.2150,0.2088,0.37690.0670.0220.91112月份三个企业市场用户拥有量分别为：甲：乙：丙：现在，假定该产品用户的流动情况按上述方向继续变化下去，我们来求三个企业的该种产品市场占有的稳定状态概率。上述结果表明：如果甲、乙、丙三家企业的市场占有率照目前转移概率状态发展下去，那么经过一段时间后，三企业的市场占有率分别为45.58％、15.98%和38.44%.显然，对于乙、丙两企业而言，必须迅速找出市场占有率下降的原因。最佳服务地点选择市汽车出租公司在甲、乙、丙三处开设租车还车处。顾客可在甲、乙、丙三处任意租车和还车。今公司准备在上述三处之一设立汽车维修保养厂。初步确定在汽车集中比较多的一处设置维修保养场。根据统计资料，顾客在上述三处还车的概率如表所示，试确定在何处设汽车维修保养场。还车的概率还车处租车处甲乙丙甲0.80.20乙0.200.8丙0.20.20.6解：由题意可知，该问题的转移概率矩阵P为：0.80.200.200.80.20.20.6P20.680.160.160.320.20.480.320.160.52P0.80.20,,10.200.8,,10.20.20.6xyxyxyxy成立上式展开，得0.80.20.21xyxyx0.20.20.21xyxyy0.20.80.611xyxyxy解上述联立方程式，得0.5,0.167xy故,,10.5,0.167,0.333xyxy由上述计算可知，在稳定状态汽车还到甲处得概率为0.5，即向甲处还车得概率占出租汽车得一半，其余乙、丙处总共也只有一半，因此汽车维修保养场设在甲处是最佳得选择。