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1等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义:*12,nnaqqnnNa0且,q称为公比2、通项公式:11110,0nnnnaaaqqABaqABq,首项:1a;公比:q推广:nmnmnnnmnmmmaaaaqqqaa3、等比中项:(1)如果,,aAb成等比数列,那么A叫做a与b的等差中项,即:2Aab或Aab注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个((2)数列na是等比数列211nnnaaa4、等比数列的前n项和nS公式:(1)当1q时,1nSna(2)当1q时,11111nnnaqaaqSqq11''11nnnaaqAABABAqq(,,','ABAB为常数)5、等比数列的判定方法:(1)用定义:对任意的n,都有11(0){}nnnnnnaaqaqqaaa或为常数,为等比数列(2)等比中项:21111(0){}nnnnnnaaaaaa为等比数列(3)通项公式:0{}nnnaABABa为等比数列6、等比数列的证明方法:依据定义:若*12,nnaqqnnNa0且或1{}nnnaqaa为等比数列7、等比数列的性质:2(2)对任何*,mnN,在等比数列{}na中,有nmnmaaq。(3)若*(,,,)mnstmnstN,则nmstaaaa。特别的,当2mnk时,得2nmkaaa注:12132nnnaaaaaa等差和等比数列比较:经典例题透析类型一:等比数列的通项公式例1.等比数列{}na中,1964aa,3720aa,求11a.思路点拨:由等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于1a和q的二元方程组,解出1a和q,可得11a;或注意到下标1937,可以利用性质可求出3a、7a,再求11a.等差数列等比数列定义daann1)0(1qqaann递推公式daann1;mdaanmnqaann1;mnmnqaa通项公式dnaan)1(111nnqaa(0,1qa)中项2knknaaA(0,,*knNkn))0(knknknknaaaaG(0,,*knNkn)前n项和)(21nnaanSdnnnaSn2)1(1)2(111)1(111qqqaaqqaqnaSnnn重要性质),,,,(*qpnmNqpnmaaaaqpnm),,,,(*qpnmNqpnmaaaaqpnm3总结升华:①列方程(组)求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以减少计算量;②解题过程中具体求解时,要设法降次消元,常常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法(除式不为零).举一反三:【变式1】{an}为等比数列,a1=3,a9=768,求a6。【变式2】{an}为等比数列,an>0,且a1a89=16,求a44a45a46的值。【变式3】已知等比数列{}na,若1237aaa,1238aaa,求na。类型二:等比数列的前n项和公式例2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q.举一反三:【变式1】求等比数列111,,,39的前6项和。【变式2】已知:{an}为等比数列,a1a2a3=27,S3=13,求S5.4【变式3】在等比数列{}na中,166naa,21128naa,126nS,求n和q。类型三:等比数列的性质例3.等比数列{}na中,若569aa,求3132310loglog...logaaa.举一反三:【变式1】正项等比数列{}na中,若a1·a100=100;则lga1+lga2+……+lga100=_____________.【变式2】在83和272之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为________。类型四:等比数列前n项和公式的性质例4.在等比数列{}na中,已知48nS,260nS,求3nS。思路点拨:等差数列中也有类似的题目,我们仍然采用等差数列的解决办法,即等比数列中前k项和,第2个k项和,第3个k项和,……,第n个k项和仍然成等比数列。举一反三:【变式1】等比数列{}na中,公比q=2,S4=1,则S8=___________.【变式2】已知等比数列{}na的前n项和为Sn,且S10=10,S20=40,求:S30=?5【变式3】等比数列{}na的项都是正数,若Sn=80,S2n=6560,前n项中最大的一项为54,求n.【变式4】等比数列{}na中,若a1+a2=324,a3+a4=36,则a5+a6=_____________.【变式5】等比数列{}na中,若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56,求a7+a8+a9的值。类型五:等差等比数列的综合应用例5.已知三个数成等比数列,若前两项不变,第三项减去32,则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4,则又成等比数列.求原来的三个数.思路点拨:恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数,应尽量设较少的未知数,并将其设为整式形式.总结升华:选择适当的设法可使方程简单易解。一般地,三数成等差数列,可设此三数为a-d,a,a+d;若三数成等比数列,可设此三数为yx,x,xy。但还要就问题而言,这里解法二中采用首项a,公比q来解决问题反而简便。6举一反三:【变式1】一个等比数列有三项,如果把第二项加上4,,那么所得的三项就成为等差数列,如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成为等比数列,求原来的等比数列.【变式2】已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数。【变式3】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求这四个数.类型六:等比数列的判断与证明例6.已知数列{an}的前n项和Sn满足:log5(Sn+1)=n(n∈N+),求出数列{an}的通项公式,并判断{an}是何种数列?思路点拨:由数列{an}的前n项和Sn可求数列的通项公式,通过通项公式判断{an}类型.举一反三:【变式1】已知数列{Cn},其中Cn=2n+3n,且数列{Cn+1-pCn}为等比数列,求常数p。【答案】p=2或p=3;7【证明】设数列{an}、{bn}的公比分别为p,q,且p≠q【变式3】判断正误:(1){an}为等比数列a7=a3a4;(2)若b2=ac,则a,b,c为等比数列;(3){an},{bn}均为等比数列,则{anbn}为等比数列;(4){an}是公比为q的等比数列,则2{}na、1na仍为等比数列;(5)若a,b,c成等比,则logma,logmb,logmc成等差.类型七:Sn与an的关系例7.已知正项数列{an},其前n项和Sn满足21056nnnSaa,且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项an.总结升华:等比数列中通项与求和公式间有很大的联系,它们是11(1)(2)nnnanaSSn,尤其注意首项与其他各项的关系.举一反三:【变式】命题1:若数列{an}的前n项和Sn=an+b(a≠1),则数列{an}是等比数列;命题2:若数列{an}的前n项和Sn=na-n,则数列{an}既是等差数列,又是等比数列。上述两个命题中,真命题为个.8经典例题透析类型一:等比数列的通项公式例1.等比数列{}na中,1964aa,3720aa,求11a.思路点拨:由等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于1a和q的二元方程组,解出1a和q,可得11a;或注意到下标1937,可以利用性质可求出3a、7a,再求11a.解析:法一:设此数列公比为q,则8191126371164(1)20(2)aaaaqaaaqaq由(2)得:241(1)20aqq..........(3)∴10a.由(1)得:421()64aq,∴418aq......(4)(3)÷(4)得:42120582qq,∴422520qq,解得22q或212q当22q时,12a,1011164aaq;当212q时,132a,101111aaq.法二:∵193764aaaa,又3720aa,∴3a、7a为方程220640xx的两实数根,∴41673aa或16473aa∵23117aaa,∴271131aaa或1164a.总结升华:①列方程(组)求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以减少计算量;②解题过程中具体求解时,要设法降次消元,常常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法(除式不为零).举一反三:【变式1】{an}为等比数列,a1=3,a9=768,求a6。【答案】±96法一:设公比为q,则768=a1q8,q8=256,∴q=±2,∴a6=±96;法二:a52=a1a9a5=±48q=±2,∴a6=±96。【变式2】{an}为等比数列,an>0,且a1a89=16,求a44a45a46的值。【答案】64;∵21894516aaa,又an>0,∴a45=49∴34445464564aaaa。【变式3】已知等比数列{}na,若1237aaa,1238aaa,求na。【答案】12nna或32nna;法一:∵2132aaa,∴312328aaaa,∴22a从而13135,4aaaa解之得11a,34a或14a,31a当11a时,2q;当14a时,12q。故12nna或32nna。法二:由等比数列的定义知21aaq,231aaq代入已知得2111211178aaqaqaaqaq21331(1)7,8aqqaq211(1)7,(1)2(2)aqqaq将12aq代入(1)得22520qq,解得2q或12q由(2)得112aq或1412aq,以下同方法一。类型二:等比数列的前n项和公式例2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q.解析:若q=1,则有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1.因a1≠0,得S3+S6≠2S9,显然q=1与题设矛盾,故q≠1.由3692SSS得,369111(1)(1)2(1)111aqaqaqqqq,整理得q3(2q6-q3-1)=0,由q≠0,得2q6-q3-1=0,从而(2q3+1)(q3-1)=0,因q3≠1,故312q,所以342q。10举一反三:【变式1】求等比数列111,,,39的前6项和。【答案】364243;∵11a,13q,6n∴666111331364112324313S。【变式2】已知:{an}为等比数列,a1a2a3=27,S3=13,求S5.【答案】1211219或;∵322273aa,31(1)113313aqqqq或,则a1=1或a1=9∴5555191131213121S113913S-或==-.【变式3】在等比数列{}na中,166naa,21128naa,126nS,求n和q。【答案】12q或2,6n;∵211nnaaaa,∴1128naa解方程组1112866nnaaaa,得1642naa或1264naa①将1642naa代入11nnaaqSq,得12q,由11nnaaq
本文标题:等比数列知识点总结与典型例题+答案
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