SPSS主成分分析

主成分分析实例－不旋转使用默认值进行最简单的主成分分析(默认为主成分分析法:Principalcomponents)对美国洛杉矶12个人口调查区的5个经济学变量的数据进行因子分析，菜单：Analyze－DataReduction－FactorVariables：pop，School，employ，Services，house其他使用默认值（主成分分析法Principalcomponents，选取特征值1，不旋转)比较有用的结果：两个主成分(因子)f1,f2及因子载荷矩阵(ComponentMatrix)，根据该表可以写出每个原始变量（标准化值）的因子表达式：Pop0.581f1+0.806f2School0.767f1-0.545f2employ0.672f1+0.726f2Services0.932f1-0.104f2house0.791f1-0.558f2每个原始变量都可以是5个因子的线性组合，提取两个因子f1和f2，可以概括原始变量所包含信息的93.4%。f1和f2前的系数表示该因子对变量的影响程度，也称为变量在因子上的载荷。但每个因子（主成分）的系数(载荷)没有很明显的差别，所以不好命名。因此为了对因子进行命名，可以进行旋转，使系数向0和1两极分化，这就要使用选择项。洛衫矶对12个人口调查区的数据编号总人口中等学校平均总雇员数专业服务中等房价nopop校龄Schoolemploy项目数Serviceshouse1570012.82500270250002100010.96001010000334008.810001090004380013.61700140250005400012.8160014025000682008.3260060120007120011.440010160008910011.5330060140009990012.534001801800010960013.73600390250001196009.63300801200012940011.4400010013000因子分析实例－旋转Rotation由于系数没有很明显的差别,所以要进行旋转(Rotation：method一般用Varimax方差最大旋转),使系数向0和1两极分化,例子同上菜单：Analyze－DataReduction－FactorVariables：pop，School，employ，Services，houseExtraction：使用默认值（method：Principalcomponents，选取特征值1）Rotation：method选VarimaxScore:Saveasvariables和DisplayfactorscoreCoefficientmatrix比较有用的结果：两个主成分(因子)f1,f2及旋转后的因子载荷矩阵(RotatedComponentMatrix)，根据该表可以写出每个原始变量（标准化值）的因子表达式：Pop0.01602f1+0.9946f2School0.941f1-0.00882f2employ0.137f1+0.98f2Services0.825f1+0.447f2house0.968f1-0.00605f2第一主因子对中等学校平均校龄,专业服务项目,中等房价有绝对值较大的载荷(代表一般社会福利-福利条件因子);而第二主因子对总人口和总雇员数有较大的载荷(代表人口-人口因子).P326比较有用的结果:因子得分fac1_1,fac2_1。其计算公式：因子得分系数和原始变量的标准化值的乘积之和。然后可以利用因子得分进行聚类（Analyze-Classify-HierarchicalCluster）。主成分分析实例P330－不旋转市场研究中的顾客偏好分析在市场研究中，常常要求分析顾客的偏好和当前市场的产品与顾客偏好之间的差别，从而找出新产品开发的方向。顾客偏好分析时常用到主成分分析方法（因子没有旋转）。例子P330：数据来自SAS公司，1980年一个汽车制造商在竞争对手中选择了17种车型，访问了25个顾客，要求他们根据自己的偏好对17种车型打分。打分范围0～9.9，9.9表示最高程度的偏好。data13-02a（17×25：17个case，25个变量V1-V25）菜单：Analyze－DataReduction－FactorVariables：V1-V25Extraction：method：PrincipalcomponentsExtract:Numberoffactors:3要三个主成分Score:Saveasvariables比较有用的结果：3个主成分及其因子载荷矩阵(ComponentMatrix)：第一主成分和第二主成分的载荷图（Loadingplots）比较有用的结果:因子得分fac1_1,fac2_1,fac3_1。然后可以利用因子得分进行各种分析：做偏好图：用fac1_1,fac2_1做散点图（Graphs-Scatter：X-fac1_1,Y-fac2_1）:第一主成分反映了车的产地，第二主成分反映了车的特性（质量、动力、座位数等）具体见P332-334成绩数据（student.sav）100个学生的数学、物理、化学、语文、历史、英语的成绩如下表（部分）。从本例可能提出的问题目前的问题是，能不能把这个数据的6个变量用一两个综合变量来表示呢？这一两个综合变量包含有多少原来的信息呢？能不能利用找到的综合变量来对学生排序呢？这一类数据所涉及的问题可以推广到对企业，对学校进行分析、排序、判别和分类等问题。主成分分析例中的的数据点是六维的；也就是说，每个观测值是6维空间中的一个点。我们希望把6维空间用低维空间表示。先假定只有二维，即只有两个变量，它们由横坐标和纵坐标所代表；因此每个观测值都有相应于这两个坐标轴的两个坐标值；如果这些数据形成一个椭圆形状的点阵（这在变量的二维正态的假定下是可能的）那么这个椭圆有一个长轴和一个短轴。在短轴方向上，数据变化很少；在极端的情况，短轴如果退化成一点，那只有在长轴的方向才能够解释这些点的变化了；这样，由二维到一维的降维就自然完成了。主成分分析当坐标轴和椭圆的长短轴平行，那么代表长轴的变量就描述了数据的主要变化，而代表短轴的变量就描述了数据的次要变化。但是，坐标轴通常并不和椭圆的长短轴平行。因此，需要寻找椭圆的长短轴，并进行变换，使得新变量和椭圆的长短轴平行。如果长轴变量代表了数据包含的大部分信息，就用该变量代替原先的两个变量（舍去次要的一维），降维就完成了。椭圆（球）的长短轴相差得越大，降维也越有道理。-4-2024-4-2024主成分分析对于多维变量的情况和二维类似，也有高维的椭球，只不过无法直观地看见罢了。首先把高维椭球的主轴找出来，再用代表大多数数据信息的最长的几个轴作为新变量；这样，主成分分析就基本完成了。注意，和二维情况类似，高维椭球的主轴也是互相垂直的。这些互相正交的新变量是原先变量的线性组合，叫做主成分(principalcomponent)。主成分分析正如二维椭圆有两个主轴，三维椭球有三个主轴一样，有几个变量，就有几个主成分。选择越少的主成分，降维就越好。什么是标准呢？那就是这些被选的主成分所代表的主轴的长度之和占了主轴长度总和的大部分。有些文献建议，所选的主轴总长度占所有主轴长度之和的大约85%即可，其实，这只是一个大体的说法；具体选几个，要看实际情况而定。•对于我们的数据，SPSS输出为•这里的InitialEigenvalues就是这里的六个主轴长度，又称特征值（数据相关阵的特征值）。头两个成分特征值累积占了总方差的81.142%。后面的特征值的贡献越来越少。TotalVarianceExplained3.73562.25462.2543.73562.25462.2541.13318.88781.1421.13318.88781.142.4577.61988.761.3235.37694.137.1993.32097.457.1532.543100.000Component123456Total%ofVarianceCumulative%Total%ofVarianceCumulative%InitialEigenvaluesExtractionSumsofSquaredLoadingsExtractionMethod:PrincipalComponentAnalysis.•特征值的贡献还可以从SPSS的所谓碎石图看出ScreePlotComponentNumber654321Eigenvalue43210•怎么解释这两个主成分。前面说过主成分是原始六个变量的线性组合。是怎么样的组合呢？SPSS可以输出下面的表。ComponentMatrixa-.806.353-.040.468.021.068-.674.531-.454-.240-.001-.006-.675.513.499-.181.002.003.893.306-.004-.037.077.320.825.435.002.079-.342-.083.836.425.000.074.276-.197MATHPHYSCHEMLITERATHISTORYENGLISH123456ComponentExtractionMethod:PrincipalComponentAnalysis.6componentsextracted.a.•这里每一列代表一个主成分作为原来变量线性组合的系数（比例）。比如第一主成分作为数学、物理、化学、语文、历史、英语这六个原先变量的线性组合，系数（比例）为-0.806,-0.674,-0.675,0.893,0.825,0.836。•如用x1,x2,x3,x4,x5,x6分别表示原先的六个变量，而用y1,y2,y3,y4,y5,y6表示新的主成分，那么，原先六个变量x1,x2,x3,x4,x5,x6与第一和第二主成分y1,y2的关系为：X1=-0.806y1+0.353y2X2=-0.674y1+0.531y2X3=-0.675y1+0.513y2X4=0.893y1+0.306y2x5=0.825y1+0.435y2x6=0.836y1+0.425y2•这些系数称为主成分载荷（loading），它表示主成分和相应的原先变量的相关系数。•比如x1表示式中y1的系数为-0.806，这就是说第一主成分和数学变量的相关系数为-0.806。•相关系数(绝对值）越大，主成分对该变量的代表性也越大。可以看得出，第一主成分对各个变量解释得都很充分。而最后的几个主成分和原先的变量就不那么相关了。•可以把第一和第二主成分的载荷点出一个二维图以直观地显示它们如何解释原来的变量的。这个图叫做载荷图。ComponentPlotComponent11.0.50.0-.5-1.0Component21.0.50.0-.5-1.0englishhistoryliteratchemphysmath该图左面三个点是数学、物理、化学三科，右边三个点是语文、历史、外语三科。图中的六个点由于比较挤，不易分清，但只要认识到这些点的坐标是前面的第一二主成分载荷，坐标是前面表中第一二列中的数目，还是可以识别的。因子分析主成分分析从原理上是寻找椭球的所有主轴。因此，原先有几个变量，就有几个主成分。而因子分析是事先确定要找几个成分，这里叫因子（factor）（比如两个），那就找两个。这使得在数学模型上，因子分析和主成分分析有不少区别。而且因子分析的计算也复杂得多。根据因子分析模型的特点，它还多一道工序：因子旋转（factorrotation）；这个步骤可以使结果更好。当然，对于计算机来说，因子分析并不比主成分分析多费多少时间。从输出的结果来看，因子分析也有因子载荷（factorloading）的概念，代表了因子和原先变量的相关系数。但是在输出中的因子和原来变量相关系数的公式中的系数不是因子载荷，也给出了二维图；该图虽然不是载