河北联合大学轻工学院机器人基础PPT第3章 位姿描述和齐次变换

第1节位置和姿态的表示第2节坐标变换第3节齐次坐标变换第4节齐次变换的性质第5节旋转变换通式第三章位姿描述和齐次变换第1节位置和姿态的表示第2节坐标变换第3节齐次坐标变换第4节齐次变换的性质第5节旋转变换通式第三章位姿描述和齐次变换机器人研究所3第1节位置和姿态的表示ZXYzxyOo需要推导坐标系o-xyz在坐标系O-XYZ中如何表示！机器人研究所4第1节位置和姿态的表示为描述机器人各个连杆之间、机器人和环境之间的运动关系，通常将它们都当成刚体，研究各个刚体之间的关系。因此构件的空间位置和姿态可用其上任一点在空间的位置和与构件固接的坐标系相对于参考坐标系的方位来描述。XAZAYAXBYBZBPOA固接在构件上的动坐标系{B}参考坐标系{A}AP机器人研究所5第1节位置和姿态的表示位置描述（DescriptionofPosition）zyxAppppyAxAzAoA{A}App图1位置表示Ap：p点在坐标系{A}中的表示，也称作位置矢量。机器人研究所6第1节位置和姿态的表示姿态描述（DescriptionofOrientation）图2方位表示yAxAzAoA{A}yBxBzBoB{B}Ap333231232221131211rrrrrrrrrzyxRBABABAAB：坐标系{B}相对于坐标系{A}的方位，也称作旋转矩阵。ABR机器人研究所7第1节位置和姿态的表示姿态描述（DescriptionofOrientation）图2方位表示yAxAzAoA{A}yBxBzBoB{B}Ap333231232221131211rrrrrrrrrzyxRBABABAAB1;1AATABBBRRR旋转矩阵是单位正交矩阵。10AAAAAABBBBBBAAAAAABBBBBBxxyyzzxyyzzx机器人研究所8第1节位置和姿态的表示姿态描述（DescriptionofOrientation）绕x轴、y轴和z轴旋转θ角的旋转矩阵为：0(,)0001RcszsccsscxR00001),(csscyR00100),(yAxAoA{A}yBxB{B}θpcosθsinθ图3绕z轴旋转θ角表示；表示ccosssin机器人研究所99坐标系描述（DescriptionofFrames）相对参考系{A}，坐标系{B}的原点位置和坐标轴的方位，分别由位置矢量(PositionVector)和旋转矩阵(RotationMatrix)描述。这样，刚体的位姿（位置和姿态）可由坐标系{B}来描述，即BoAABRBp}{pABoABR第1节位置和姿态的表示机器人研究所1010机器人手抓坐标系描述与机器人手爪固接的坐标系叫手爪坐标系。原点：机器人手爪指尖中点，由位置矢量P表示；Z轴：设在手指接近物体的方向，称接近矢量a(approach)；Y轴：设在两手指的联线方向，称方位矢量o(orientation)；X轴：由右手法则确定：n＝oⅹa，称为法向矢量n(normal)。第1节位置和姿态的表示a(zB)o(yB)n(xB)第1节位置和姿态的表示第2节坐标变换第3节齐次坐标变换第4节齐次变换的性质第5节旋转变换通式第三章位姿描述和齐次变换机器人研究所12第2节坐标变换平移坐标变换(TranslationTransform)坐标系{B}与{A}方向相同，但原点不重合。BoABApppyAxAzAoA{A}yBxBzBoB{B}ApBoBpAp图4平移变换此式称为平移方程。其中是{B}系原点OB在{A}系中的表示。ABopP机器人研究所13第2节坐标变换旋转坐标变换(RotationTransform){B}与{A}有共同的坐标原点，但方位不同。yAxAzAoyBxBzBBp图5旋转变换ppAABBRppBBAARP机器人研究所14第2节坐标变换复合变换(CompositeTransform)AABABBopRpp图6复合变换yAxAzAoA{A}yCxCzCoB{B}ApBoBpApyBxBzBPpppACABoCABBpRp机器人研究所15例2.1已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对于坐标系{A}的zA轴转30°，再沿{A}的xA轴移动12单位，并沿{A}的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵。假设点p在坐标系{B}的描述为Bp=[3,7,0]T，求它在坐标系{A}中的描述Ap。15RAB解：yAoA{A}yBzBxB30°xAzA第2节坐标变换机器人研究所16例2.1已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对于坐标系{A}的zA轴转30°，再沿{A}的xA轴移动12单位，并沿{A}的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵。假设点p在坐标系{B}的描述为Bp=[3,7,0]T，求它在坐标系{A}中的描述Ap。16RAB解：yAoA{A}30°xAzA12yBzBxB第2节坐标变换机器人研究所17例2.1已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对于坐标系{A}的zA轴转30°，再沿{A}的xA轴移动12单位，并沿{A}的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵。假设点p在坐标系{B}的描述为Bp=[3,7,0]T，求它在坐标系{A}中的描述Ap。17RAB解：yAoA{A}xAzA12yBzBxB6第2节坐标变换机器人研究所18例2.1已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对于坐标系{A}的zA轴转30°，再沿{A}的xA轴移动12单位，并沿{A}的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵。假设点p在坐标系{B}的描述为Bp=[3,7,0]T，求它在坐标系{A}中的描述Ap。18RAB解：yAoA{A}xAzA12yBzBxB6303000.8660.50,30303000.50.8660001001ABcsRRzsc第2节坐标变换机器人研究所19例2.1已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对于坐标系{A}的zA轴转30°，再沿{A}的xA轴移动12单位，并沿{A}的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵。假设点p在坐标系{B}的描述为Bp=[3,7,0]T，求它在坐标系{A}中的描述Ap。19RAB解：yAoA{A}xAzA12yBzBxB601260ABp第2节坐标变换机器人研究所20P20解：例2.1已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对于坐标系{A}的zA轴转30°，再沿{A}的xA轴移动12单位，并沿{A}的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵。假设点p在坐标系{B}的描述为Bp=[3,7,0]T，求它在坐标系{A}中的描述Ap。yAxAzAoA{A}oB{B}ApBoBpApBxBzB00.8660.5031211.0980.50.86607613.562001000AABABBpRppRABy第2节坐标变换第1节位置和姿态的表示第2节坐标变换第3节齐次坐标变换第4节齐次变换的性质第5节旋转变换通式第三章位姿描述和齐次变换机器人研究所22第3节齐次坐标变换齐次坐标和齐次变换坐标变换，式中对于点是非齐次的，将其等价为齐次变换形式：pRppAABABBopB|000|111ppRpABAABBo等价于pRppAABABBo11pTpAABB齐次变换直角坐标齐次坐标机器人研究所23第3节齐次坐标变换齐次坐标和齐次变换称为齐次变换矩阵，对它有以下物理理解：描述坐标系{B}相对于坐标系{A}的位姿；代表同一点P在两个坐标系{A}和{B}中描述之间的映射关系；表示同一坐标系中，点P运动前后的位姿关系。TAB机器人研究所24例2.1已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对于坐标系{A}的zA轴转30°，再沿{A}的xA轴移动12单位，并沿{A}的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵。假设点p在坐标系{B}的描述为Bp=[3,7,0]T，求它在坐标系{A}中的描述Ap。RAByAxAzAoA{A}yCxCzCoB{B}ApBoBpApyBxBzB240.8660.50120.50.866060010010001pAAABBoBRT第3节齐次坐标变换解：机器人研究所25例2.1已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对于坐标系{A}的zA轴转30°，再沿{A}的xA轴移动12单位，并沿{A}的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵。假设点p在坐标系{B}的描述为Bp=[3,7,0]T，求它在坐标系{A}中的描述Ap。RAByAxAzAoA{A}yCxCzCoB{B}ApBoBpApyBxBzB250.8660.5012311.0980.50.86606713.562001000000111ppAABBT第3节齐次坐标变换解：机器人研究所26第3节齐次坐标变换例2.2齐次变换矩阵描述坐标系{B}相对于{A}的位姿，可解释为：{B}坐标原点相对于{A}的位置：[1,-3,4,1]T;{B}坐标原点相对于{A}的方向分别为：{B}的X轴与{A}的Y轴同向[0,1,0,0]T;{B}的Y轴与{A}的Z轴同向[0,0,1,0]T;{B}的Z轴与{A}的X轴同向[1,0,0,0]T.0011100301040001TAByAzAxAoAyBzBxBoB1-34机器人研究所27第3节齐次坐标变换平移齐次变换(HomogeneousTransformationofTranslation){A}分别沿{B}的X、Y、Z坐标轴平移a、b、c距离的平移齐次变换矩阵写为：100010Trans(,,)0010001ababcc机器人研究所28第3节齐次坐标变换平移齐次变换(HomogeneousTransformationofTranslation)对已知矢量u=[x,y,z,1]T进行平移变换所得的矢量v为：100010Trans(,,)001000111vuaxxabyybabcczzc机器人研究所29第3节齐次坐标变换旋转齐次变换(HomogeneousTransformationofRotation)100000Rot(,)000001csxsc000100Rot(,)000001csysc0000Rot(,)00100001csscz机器人研究所30第3节齐次坐标变换多次变换给定坐标系{A}，{B}和{C}，已知{B}相对{A}的描述为，{C}相对{B}的描述为，则有同理可有：即一个坐标系变换至另一坐标系的齐次变换矩阵等于依次经历中间坐标系各齐次变换矩阵的连乘积。TABTBCPTPAABBPTPBBCCPTPAACCPTTPAABCBCTTTAABCBCTTTTTTAABCDEFBCDEF机器人研究所3131例2.3已知点u=[7,3,2]T，将u绕z轴旋转90°得到点v，再将点v绕y轴旋转90°得到点w，求点v、w的坐标。c90s900073s90c900037Rot,90001022000111vuz