第四章向量组的线性相关性

第四章向量组的线性相关性本章要点一、向量组的线性相关性判定定理二、向量组的秩与矩阵的秩之间的关系三、线性方程组解的结构§4.1向量组及其线性组合一、向量的定义二、向量组与矩阵的关系三、线性组合与线性表示四、等价向量组五、向量组的秩与矩阵的秩的关系定义1.,,,21个分量称为第个数第个分量，个数称为该向量的维向量，这组称为所组成的数个有次序的数iainnnaaanin分量中有复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，一、向量的定义1、维向量的概念n),,,(21nTaaaanaaaa212、维向量的表示方法维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用等表示，如：TTTTba,,,n维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用等表示，如：,,,bann注意：１．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如mnAnm矩阵有个维列向量aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1.,,,的列向量组称为矩阵向量组Aa1a2an二、向量组与矩阵的关系a2ajana1a2ajan,mnAmn类似地矩阵又有个维行向量aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211T1T2TiTmT1T2TiTm向量组,,…，称为矩阵A的行向量组．T1T2Tm反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,,,,12mmnnm个维列向量所组成的向量组构成一个矩阵矩阵构成一个的向量组维行向量所组成个nmnmTmTT,,,21TmTTB21),,,(21mA，，，组实数，对于任何一给定向量组mmkkkA,,,,:2121定义1.,21个线性组合的系数称为这，，mkkk，称为向量组的一个向量2211mmkkk线性组合三、线性组合与线性表示mmb1122，使，，一组数如果存在和向量给定向量组mmbA,,,,,:2121.mmxxxb1122即线性方程组有解的线性组合，这时称是向量组则向量Ab向量能由向量组线性表示．bA定义2.),,(),(2121的秩，，的秩等于矩阵，，条件是矩阵线性表示的充分必要能由向量组向量bBAAbmm定理1：定义２..,,,:,,,:2121这两个能相互线性表示，则称量组与向若向量组称线性表示，则向量组组中的每个向量都能由若及设有两个向量组BAABBAsm向量组能由向量组线性表示向量组等价．BA四、等价向量组使在数存量线性表示，即对每个向能由（和（若记,,,),,2,1().,,,),,,212121mjjjjsmkkksjbABbbbBAmmjjjjkkkb2211,),,,2121mjjjmkkk（),,,21sbbb（从而msmmssmkkkkkkkkk21222211121121),,,（.)(数矩阵称为这一线性表示的系矩阵ijsmkK..ABBABAABAB设矩阵经初等行变换变成，则的每个行向量都是的行向量组的线性组合，即的行向量组能由的行向量组线性表示由初等变换可逆性可知，的行向量组也能由的行向量组线性表示，于是的行向量组与的行向量组等价.的列向量组等价列向量组与的，则经初等列变换变成类似，若矩阵BABA:,,,,,(,,,)(,)(,,,,,,)()(,)lmmmlBbbbAaAaaAaaaABaXaabbbRARABB1212121212向量组能由向量组：线性表示的充分必要条件是矩阵秩相当于矩阵等于矩阵方程定理2:的秩，即。有解。:,,:,,,()()(,)mlAaaaBbbbRARBRABABAB1212向量组与向量组等价的充要条件是其中和是向量组和所构推论:成的矩阵。.,,,1301,0421,3121,22111321321表示式并求出线性表示能由向量组证明向量设、例0000000012102301~1210121012101111~1032341201-211111Br2rrrr2rr131214123()(),RARB因此，向量能由向量组，，线性表示。的通解为方程（由上式的最简形，可得bxaaa),,321ccccx1223012123可任意取值．其中从而得表示式c)12()23(),,(321321cccxb:,,,:,,,(,,,)(,,,),3;,,lmlmBARRBARARABRBRABRBRA12121212若向量组能由向量组线性表示，则　证明：因为向量组能由向量组线性表示，因此而所定以理：。§4.2向量组的线性相关性一、线性相关的概念二、线性相关的判定与齐次方程组解之间的关系三、小结0,,,,,,,:22112121mmmmkkkkkkA使全为零的数如果存在不给定向量组注意1.,,,,,nnnn121112200若线性无关则只有当时才有成立。2.,对于任一向量组不是线性无关就是线性相关。定义3一、线性相关性的概念则称向量组是线性相关的，否则，称它线性无关．A.,0,0,3.线性无关则说若线性相关则说若时向量组只包含一个向量.4.组是线性相关的包含零向量的任何向量.,.5量共面向量相关的几何意义是三是两向量共线；三个向义量对应成比例，几何意充要条件是两向量的分它线性相关的量组对于含有两个向量的向定理1向量组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．m,,,212mm,,,211m证明充分性设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表示.maaa,,,21ma即有112211mmma三、线性相关性的判定故01112211mmma因这个数不全为0，1,,,,121mm故线性相关.m,,,21必要性设线性相关，m,,,21则有不全为0的数使,,,,21mkkk.02211mmkkk因中至少有一个不为0，mkkk,,,21不妨设则有,01k.13132121mmkkkkkk即能由其余向量线性表示.1证毕..)(;),,,(,,,2121mARmAmm必要条件是向量组线性无关的充分于向量个数的秩小矩阵条件是它所构成的线性相关的充分必要向量组定理4下面举例说明定理的应用.,.(,,).mmmAxxxAxA11221200向量组线性相关就是齐次线性方程组即有非零解其中结论:维向量组nTnTTeee1,,0,0,0,,1,0,0,,0,121，.,讨论其线性相关性维单位坐标向量组称为n解.),,,(21阶单位矩阵是的矩阵维单位坐标向量组构成neeeEnn.)(01nERE，知由.2)(向量组是线性无关的知此，故由定理等于向量组中向量个数即ER例１，，，742520111321.21321的线性相关性，及，，试讨论向量组解.2,21321321即可得出结论）的秩，利用定理，及（），，可同时看出矩阵（成行阶梯形矩阵），施行初等行变换变，，对矩阵（已知例２分析751421201),,(321~2325rr，000220201.,,2),(,,2),,(2121321321线性无关向量组线性相关；，向量组可见RR751220201~12rr1312~rrrr550220201.,,,,,,,,321133322211321线性无关试证线性无关已知向量组bbbbbb例30,,332211321bxbxbxxxx使设有,0)()(133322211xxx）（即,0)()()332221131xxxxxx（亦即线性无关，故有，，因321.0,0,0322131xxxxxx证02110011101列式由于此方程组的系数行.,,0321321线性无关向量组，所以故方程组只有零解bbbxxx.2时一定线性相关于向量个数小当维数维向量组成的向量组，个）（mnnm.,,,,,:,,,,:(3)121且表示式是唯一的线性表示必能由向量组向量则线性相关组而向量线性无关设向量组AbbBAmm(1)mmmABBA1211,,,,:,,,,,若向量组：线性相关则向量组也线性相关；反之若向量组线性无关则向量组也线性无关。定理五.2,,11)()()(2,.1)()(),,,(),,,(1111线性相关知向量组根据定理因此，从而，有则根据定理线性相关若向量组，有记）（BmARBRmARAARBRaaaBaaAmmm证明...:1关的任何部分组都线性无向量组线性无关，则它反之，若一个线性相关含有零向量的向量组必特别地，量组线性相关相关的部分组，则该向一个向量组若有线性）可推广为结论（说明.,,,,)(,.)(),,,(,,,2212121线性相关个向量故则若，有构成矩阵维向量个）（mmmnmmmARmnnARAnm.)(1)(.1)(;)().()(),,,,,(),,,,()3(2121mBRmBRmmBRBmARABRARbBAmm，即有所以组线性相关，有因组线性无关，有因有记.),,,(,)()(21一线性表示，且表示式唯组能由向量有唯一解，即向量知方程组由AbbxmBRARm1.线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）2.线性相关与线性无关的判定方法：两个定理．（难点）四、小结§4.3向量组的秩一、最大线性无关组二、矩阵与向量组秩的关系三、向量组秩的重要结论四、小结，满足个向量中能选出，如果在设有向量组rrAA,,,21定义１线性无关；）向量组（rA,,,:1210关，个向量的话）都线性相中有个向量（如果中任意）向量组（112rArA.的秩称为向量组数最大无关组所含向量个r;0）（简称的一个向量组是那末称向量组AA最大线性无关向量组最大无关组一、最大线性无关向量组的秩也记作向量组maaa,,,21),,,(21maaaR.最大无关组行即是行向量组的一个所在的最大无关组，列即是列向量组的一个所在的，则的一个最高阶非零子式是矩阵若rDrDADrrr;1）最大无关组不唯一（结论说明.2关组是等价的）向量组与