平面应力和平面应变

第三章平面问题要点——建立平面问题的基本方程包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；边界条件的描述；方程的求解方法等§3.1平面应力问题与平面应变问题1.平面应力问题(1)几何特征xyyztba一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。btat,——平板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等(2)受力特征外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿z方向不变化。xyyztba(3)应力特征如图选取坐标系，以板的中面为xy平面，垂直于中面的任一直线为z轴。由于板面上不受力，有02tzz02tzzx02tzzy因板很薄，且外力沿z轴方向不变。0z0zx可认为整个薄板的各点都有：由剪应力互等定理，有0zy0yzzy0xzzx结论：平面应力问题只有三个应力分量：),(yxxyyxxy),(yxxx),(yxyyxyxyxyxyxyyxxy应变分量、位移分量也仅为x、y的函数，与z无关。2.平面应变问题(1)几何特征水坝滚柱厚壁圆筒一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。——近似认为无限长(2)外力特征外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度z方向不变化。约束——沿长度z方向不变化。(3)变形特征如图建立坐标系：以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴。设z方向为无限长，则,u,x,x沿z方向都不变化，仅为x，y的函数。任一横截面均可视为对称面水坝因为任一横截面均可视为对称面，则有0w所有各点的位移矢量都平行于xy平面。——平面位移问题0z0yzzy0xzzx),(yxyy),(yxxx),(yxxyyxxy——平面应变问题注：(1)平面应变问题中0z但是，0z)(yxz(2)平面应变问题中应力分量：)0(,,,zyzxxyzyx——仅为xy的函数。可近似为平面应变问题的例子：煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应变问题非平面问题3.平面问题的求解问题：已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：xyyx,,xyyx,,vu,——仅为xy的函数需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：（2）几何学关系：（3）物理学关系：形变与应力间的关系。应力与体力、面力间的关系；形变与位移间的关系；建立边界条件：——平衡微分方程——几何方程——物理方程（1）应力边界条件；（2）位移边界条件；§3-2平面问题基本方程xyxyxyPBACxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyydxxxyxy§3.2.1平衡微分方程xyxyxyPBACxyO取微元体PABC（P点附近），dxPAdyPBDXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyyZ方向取单位长度。设P点应力已知：yxxyyx,,体力：X，YAC面：222)(!21dxxdxxxxxdyyyxyx222)(!21dxxdxxxyxyxydxxxxBC面：dxxxyxydyyyy注：这里用了小变形假定，以变形前的尺寸代替变形后尺寸。xyxyxyPBACxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy由微元体PABC平衡，得0DM2121)(dxdydxdydxxxyxyxy02121)(dydxdydxdyyyxyxyx整理得：dyydxxyxyxxyxy2121yxxy当0,0dydx时，有——剪应力互等定理xyxyxyPBACxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy0xF11)(dydydxxxxx11)(dxdxdyyyxyxyx01dyXdx两边同除以dxdy，并整理得：0Xyxyxx0yF1)(11)(dxdyxdxdxdyyxyxyyyy011dyYdxdyxy两边同除以dxdy，并整理得：0Yxyxyy平面问题的平衡微分方程：00YyxXyxyxyyxx（2）说明：（1）两个平衡微分方程，三个未知量：yxxyyx,,——超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含E、μ，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；（4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。xyxyxyPBACxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy§3.2.2斜面上的应力主应力1.斜面上的应力（1）斜面上应力在坐标方向的分量XN，YNxyOdxdydsPABsXNYNNyxxyxy设P点的应力分量已知：yxxyyx,,斜面AB上的应力矢量:s斜面外法线N的关于坐标轴的方向余弦：myN),cos(lxN),cos(ldsdymdsdx由微元体平衡：,0xF0111dsYdydxNxyy0111dsXdxdyNyxx整理得：xyyNlmY（3）0111dsXmdsldsNyxxyxxNmlX,0yF整理得：（4）外法线xyOdxdydsPABsXNYNNyxxyxy（2）斜面上的正应力与剪应力NNNNNmXlYNNNmYlXxyyNlmYyxxNmlX（3）（4）将式（2-3）（2-4）代入，并整理得：xyyxNlmml222xyxyNmllm)()(22（5）（6）说明：（1）运用了剪应力互等定理：yxxy（2）的正负号规定N将N转动90°而到达的方向是顺时针的，则该为正；反之为负。NN——任意斜截面上应力计算公式（3）若AB面为物体的边界S，则YYNXXNYlmXmlsxysysxysx)()()()(（18）——平面问题的应力边界条件2.一点的主应力与应力主向xyOdxdydsPABsXNYNNyxxyxyNNNNNmXlYNNNmYlX（1）主应力若某一斜面上，则该斜面上的正应力称为该点一个主应力；0NN当时，有0NsNmYlXNNxyyNlmYyxxNmlXmlmxyylmlyxx求解得：yyxlmyxxlm0)()(22xyyxyx222122xyyxyx（7）——平面应力状态主应力的计算公式主应力所在的平面——称为主平面；主应力所在平面的法线方向——称为应力主向；由式（7）易得：yx21I——平面应力状态应力第一不变量（2）应力主向yyxlmyxxlm设σ1与x轴的夹角为α1，σ1与坐标轴正向的方向余弦为l1、m1，则2222222cos)90cos(cossintanlm)(2yxy或设σ2与x轴的夹角为α2，σ2与坐标轴正向的方向余弦为l2、m2，则1111111cos)90cos(cossintanlmxyx1xyx2)(1yxy或应力主向的计算公式：yxyxyx2211tantan（8）由yx21得)(12xyxxy12tan1tantan21显然有表明：σ1与σ2互相垂直。结论任一点P，一定存在两互相垂直的主应力σ1、σ2。（3）σN的主应力表示xyOsNN2dxdydsPABN1由xyyxNlmml222xyxyNmllm)()(222212mlN)(12lmN2212)(lσ1与σ2分别为最大和最小应力。（4）最大、最小剪应力由)(12lmN)1(2lm122ml)(21411222lN)(1122llN)(1242llN显然，当)21(0212ll时，τN为最大、最小值：221minmax由21l得，τmax、τmin的方向与σ1（σ2）成45°。xyOdxdydsPABN12sNN小结：xyyNlmYyxxNmlX（3）（4）xyyxNlmml222xyxyNmllm)()(22（5）（6）YlmXmlsxysysxysx)()()()(（18）——平面问题的应力边界条件2212mlN)(12lmN2212)(l（1）斜面上的应力yxyxyx2211tantan（8）表明：σ1与σ2互相垂直。（2）一点的主应力、应力主向、最大最小应力222122xyyxyx（7）221minmaxτmax、τmin的方向与σ1（σ2）成45°。§3.2.3几何方程刚体位移建立：平面问题中应变与位移的关系——几何方程1.几何方程一点的变形线段的伸长或缩短；线段间的相对转动；xyOP考察P点邻域内线段的变形：PAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvvdyPBdxPA变形前变形后PABBPAuvdxxvvdxxuudyyuudyyvv注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。xyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvvPA的正应变：dyvdyyvvyvyPB的正应变：dxudxxuuxuxP点的剪应变：P点两直角线段夹角的变化yuxvxyyudyudyyuutantanxvdxvdxxvvxyxyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvv整理得：yuxvyvxuxyyx——几何方程（9）说明：（1）反映任一点的位移与该点应变间的关系，是弹性力学的基本方程之一。（2）当u、v已知，则可完全确定；反之，已知，不能确定u、v。xyyx,,xyyx,,（∵积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）（3）xy——以两线段夹角减小为正，增大为负。2.刚体位移物体无变形，只有刚体位移。即：,0,0,0时当xyyxxvxfyuyf0201)()(0xux0yvy0yuxvxy(a)(b)(c)由(a)、(b)可求得：)()(21xfvyfu(d)将(d)代入(c)，得：0)()(21dxxdfdyydf或写成：dxxdfdyydf)()(21∵上