管理统计学第7章 参数估计D.

管理工程学院《管理统计学》1管理统计学管理工程学院《管理统计学》2第7章参数估计管理工程学院《管理统计学》3第7章参数估计7.1参数估计的一般问题7.2一个总体参数的区间估计7.3两个总体参数的区间估计7.4样本量的确定管理工程学院《管理统计学》4学习目标1.估计量与估计值的概念2.点估计与区间估计的区别3.评价估计量优良性的标准4.一个总体参数的区间估计方法5.两个总体参数的区间估计方法6.样本量的确定方法管理工程学院《管理统计学》57.1参数估计的一般问题7.1.1估计量与估计值7.1.2点估计与区间估计7.1.3评价估计量的标准管理工程学院《管理统计学》6估计量与估计值管理工程学院《管理统计学》71.估计量：用于估计总体参数的随机变量–如样本均值，样本比例,样本方差等–例如:样本均值就是总体均值的一个估计量2.参数用表示，估计量用表示3.估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值–如果样本均值x=80，则80就是的估计值估计量与估计值(estimator&estimatedvalue)ˆ管理工程学院《管理统计学》8点估计与区间估计管理工程学院《管理统计学》9点估计(pointestimate)1.用样本的估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计；用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计2.无法给出估计值接近总体参数程度的信息–虽然在重复抽样条件下，点估计的均值可望等于总体真值，但由于样本是随机的，抽出一个具体的样本得到的估计值很可能不同于总体真值–一个点估计量的可靠性是由它的抽样标准误差来衡量的，这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可靠性的度量管理工程学院《管理统计学》10区间估计(intervalestimate)1.在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减估计误差而得到2.根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量–比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%样本统计量(点估计)置信区间置信下限置信上限管理工程学院《管理统计学》11区间估计的图示x95%的样本-1.96x+1.96x99%的样本-2.58x+2.58x90%的样本-1.65x+1.65xx管理工程学院《管理统计学》121.将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平2.表示为(1-为是总体参数未在区间内的比例3.常用的置信水平值有99%,95%,90%相应的为0.01，0.05，0.10置信水平(confidencelevel)管理工程学院《管理统计学》131.由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间2.统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间3.用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值–我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个–总体参数以一定的概率落在这一区间的表述是错误的置信区间(confidenceinterval)管理工程学院《管理统计学》14置信区间(95%的置信区间)重复构造出的20个置信区间点估计值管理工程学院《管理统计学》15评价估计量的标准管理工程学院《管理统计学》16无偏性(unbiasedness)•无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数P()BA无偏有偏ˆˆ管理工程学院《管理统计学》17有效性(efficiency)有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效AB的抽样分布的抽样分布P()ˆˆ管理工程学院《管理统计学》18一致性(consistency)•一致性：随着样本量的增大，估计量的•值越来越接近被估计的总体参数AB较小的样本量较大的样本量P()ˆˆ管理工程学院《管理统计学》197.2一个总体参数的区间估计7.2.1总体均值的区间估计7.2.2总体比例的区间估计7.2.3总体方差的区间估计管理工程学院《管理统计学》20一个总体参数的区间估计总体参数符号表示样本统计量均值比例方差xp2s管理工程学院《管理统计学》21总体均值的区间估计(正态总体、２已知，或非正态总体、大样本)管理工程学院《管理统计学》2200.050.10.150.20.250.30.350.40.45-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.51-Zαα管理工程学院《管理统计学》2300.050.10.150.20.250.30.350.40.45-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.51Zαα管理工程学院《管理统计学》2400.050.10.150.20.250.30.350.40.45-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.512/2/Zα/2μ0管理工程学院《管理统计学》2500.050.10.150.20.250.30.350.40.45-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.512/2/X/2)(Xzp()1(||)1XXXXppzXz/2/?为什么记为21XPZn管理工程学院《管理统计学》26总体均值的区间估计(大样本)•1.假定条件–总体服从正态分布,且方差(２)已知–如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n30)2.使用正态分布统计量z3.总体均值在1-置信水平下的置信区间为)1,0(~Nnxz)(22未知或nszxnzx管理工程学院《管理统计学》27总体均值的区间估计(例题分析)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对食品质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3管理工程学院《管理统计学》28总体均值的区间估计(例题分析)解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根据样本数据计算得：。由于是正态总体，且方差已知。总体均值在1-置信水平下的置信区间为28.109,44.10192.336.105251096.136.1052nzx该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g36.105x管理工程学院《管理统计学》29总体均值的区间估计(例题分析)【例】一家保险公司收集到由36个投保人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(单位：周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间36个投保人年龄的数据233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532管理工程学院《管理统计学》30总体均值的区间估计(例题分析)解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根据样本数据计算得：，总体均值在1-置信水平下的置信区间为63.41,37.3713.25.393677.7645.15.392nszx投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁5.39x77.7s管理工程学院《管理统计学》31•平均上网时间为8.58小时，标准差为0.69小时。•我们初步假设该样本的分布是正态分布，且样本的标准差等于总体的标准差。•则，全校学生上网时间的均值有的可能性是•我们取为95%，则•可知，均值在（7.23，9.93）中，可靠性95%大学生每周上网花多少时间？xzx2)1()1()93.9,23.7(69.096.158.82xzx管理工程学院《管理统计学》32总体均值的区间估计(正态总体、２未知、小样本)管理工程学院《管理统计学》33总体均值的区间估计(小样本)•1.假定条件–总体服从正态分布,但方差(２)未知–小样本(n30)2.使用t分布统计量3.总体均值在1-置信水平下的置信区间为)1(~ntnsxtnstx2管理工程学院《管理统计学》34t分布t分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布xt分布与标准正态分布的比较t分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t(df=13)t(df=5)z管理工程学院《管理统计学》35总体均值的区间估计(例题分析)【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(单位：h)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间16灯泡使用寿命的数据1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470管理工程学院《管理统计学》36总体均值的区间估计(例题分析)解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131根据样本数据计算得：，总体均值在1-置信水平下的置信区间为2.1503,8.14762.1314901677.24131.214902nstx该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8h～1503.2h1490x77.24s管理工程学院《管理统计学》37总体比例的区间估计管理工程学院《管理统计学》38总体比例的区间估计•1.假定条件–总体服从二项分布–可以由正态分布来近似2.使用正态分布统计量z)1,0(~)1(Nnpz3.总体比例在1-置信水平下的置信区间为nppzp)-1(2管理工程学院《管理统计学》39总体比例的区间估计(例题分析)【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机地抽取了100名下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96%35.74%,65.55%35.9%65100%)651%(6596.1%65)1(2nppzp该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%~74.35%管理工程学院《管理统计学》【例】在某市区随机调查了300个居民户，其中6户拥有LED电视机。试求该区（按户计算的）等离子电视机拥有率的0.95置信区间。解：本例总体单位数N很大，故采用放回抽样的有关公式计算。n=300,p=0.02，nP=6≥5，可以认为户数n充分大，α=0.05，0.02521.96zz。30098.002.096.1=0.0081因此，所求电视机拥有率的置信区间为0.02-0.00810.02+0.0081，即（0.0119，0.0281）。管理工程学院《管理统计学》41总体方差的区间估计管理工程学院《管理统计学》42总体方差的区间估计•1.估计一个总体的方差或标准差•2.假设总体服从正态分布3.总体方差2的点估计量为s2,且4.总体方差在1-置信水平下的置信区间为1~1222nsn111122122222nsnnsn管理工程学院《管理统计学》43总体方差的区间估计(图示)221222总体方差的1的置信区间自由度为n-1的2管理工程学院