旋转曲面的面积

10.4旋转曲面的面积通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变速直线运动的路程）的分析，采用“分割、近似代替、求和、取极限”四个基本步骤确定了它们的值，并由此抽象出定积分的概念，我们发现，定积分是确定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？一定积分的元素法(或微元法)为了说明微元法，我们先来回顾一下曲边梯形面积转化为定积分的计算过程。step1.分割：任意划分[a,b]为n个小区间niiiiAAnixx11),~1(],[则step2.近似：],,[1iiixx)(iiixf计算)1(~ni微元法step3.求和：niiixfA1)(step4.取极限：niiixfA10)(limbadxxfA)(即分析：在上述问题注意到:所求量(即面积)A满足：1。与区间[a,b]及[a,b]上连续函数f(x)有关;2。对[a,b]具有可加性，;1iniAA即3。)(,)(iiiixoAfA且误差为局部量实际上，引出A的积分表达式的关键步骤是第二步，因此求解可简化如下：微元法step1:选取积分变量及积分区间（如x属于[a,b]）step2:取微区间[x,x+dx]求出)()(局部量dxxfA称为面积元素并记)(dxxfdAstep3:badxxfA)(计算这种方法称为定积分的元素法或微元法。微元法一般的，如果某一实际问题中所求量Q符合条件:1。Q是与某一变量x的变化区间[a,b]有关的量；2。Q对于[a,b]区间具有可加性；3。局部量.)(iiixfQ那么，将Q用积分来表达的步骤如下:step1.选取积分变量及积分区间],[:bax如step2.取微区间[x,x+dx]，求出)(dxxfQdxxfdQ)(并记step3.badxxfA)(计算微元法求Ｕ的步骤分割用分点bxxxxann110将区间分成n个小区间11],,[iiiiixxxxx以直线代曲把Ｕ在小区间上的局部量iU用某个函数f(x)在]),[(1iiiixx的值与ix之积代替iiixfU)(求和把局部量的近似值累加得到总量的近似值,即niiiniixfUU11)(设量Ｕ非均匀地分布[a,b]上ixnimax1nibaiidxxfxfU10)()(lim由此可知，若某个非均匀量Ｕ在区间[a,b]上满足两个条件：（1）总量在区间上具有可加性，即把区间分成几个小区间时总量就等于各个小区间上的局部量之和，（2）局部量可用iixf)(近似表示它们之间只相差一个ix的高阶无穷小不均匀量Ｕ就可以用定积分来求得这是建立所求量的积分式的基本方法求极限1求微元写出典型小区间],[],[badxxx上的局部量U的近似值dxxfdU)(这就是局部量的微元2求积分即把微元dU在区间[a,b]上dxxf)(作积分表达式，求它在[a,b]上的定积分，即badxxfU)(这就是微元法“无限积累”起来，相当于把例Cyfxab设曲线:=()在[,]上有连续导数,求弧长解:（图一）1x[a,b]。取积分变量i-1i2222xxxSMMxy1xyx。取微区间[,+],则（）21dsydx记弧长微元23S=1abydx。yxo1iMiM1M2M1nMnBM0AMaxxxb一般地，如果旋转曲面是由平面光滑曲线段)(xfy，,xab(0)fx绕x轴旋转一周而成的，旋转曲面的面积为多少？取积分变量为x，],[bax在],[ba上任取小区间],[dxxx，通过x轴上的点x与dx分别作垂直于x轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条狭带．当dx很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，取其为面积元素，'22()1dSfxfxdxxdxxxyo旋转曲面的面积为'221baSfxfxdx)(xfy二旋转曲面的面积若曲线由参数方程,,xxttyyt定义，且0,yt则由弧微分只是推知曲线C绕x轴旋转所得曲面的面积22''2Sytxtytdt若曲线由极坐标方程)(rr定义，则旋转曲面的面积这是因为这时可看成参数方程sin)(cos)(ryrx，2222)()()()(rryx。22'2sinSrrrd1R例、求半径为的球面面积。22()yRxRxRx解：球面可看作由半圆绕轴旋转而成，于是2222221RRxARxdxRx24R2(sin)(02)(1cos)xatttyatx例、求摆线绕轴旋转一周所得旋转体的表面积。22202(1cos)''Aatxydt解22022(1cos)|sin|2tat2643a例3.3;2;1)0(sincos00033体积及表面积体它绕轴旋转而成的旋转它的弧长它所围成的面积求星形线已知ataytaxaaoyx解.10A设面积为由对称性,有aydxA040223)sin(cos3sin4dtttata20642]sin[sin12dttta.832a.20L设弧长为由对称性,有2022)()(4dtyxL20sincos34tdtta.6a.,30VS体积为设旋转体的表面积为由对称性,有axdxyyS02122203sincos3sin4tdttata.5122aadxyV02202262)sin(cos3sin2dtttata20273)sin1(sin6dttta.105323a作业P255：1，2，3.dAdttytxtyAttyytxxdxxfxfdxxfAxxbxaxxfybaxfyxfybaba)(')(sin)(2)()()(')(')(2)()()()('1)(2)(2)(],[)('')(22222给出，则侧面积公式为若曲线段由极坐标方程：给出，则侧面积公式为若曲线段由参数方程的侧面积轴旋转一周所得旋转体轴所围曲边梯形绕及，，连续，则由曲线在及设三小结