§9.2二重积分的计算

二重积分的定义定义设),(yxf是有界闭区域D上的有界函数。将闭区域D任意分成n个小闭区域:i)3,,2,1(i，并以i表示个第i小闭区域的面积。),(iii，作和式iniiif1),(。若当各小闭区域的最大直径0d时，和式的极限存在，则称此极限为),(yxf在闭区域D上的二重积分，记作Ddyxf),(，即iniiidDfdyxf10),(lim),(在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd故二重积分可写为xyoD则面积元素为当函数f(x,y)在区域D上连续时，我们可以用特定的分割来解决定积分的计算。§9.2二重积分的计算9.2.1利用直角坐标计算二重积分xoabxdxx.)(badxxAVRRxyoxxyoRx已知平行截面面积的立体的体积当0),(yxf时，Ddyxf),(的值等于以D为底，以曲面),(yxfz为顶的曲顶柱体的体积。而平行截面面积为已知的立体的体积又可以用定积分来计算。这就启示我们可以用二重积分的几何意义来寻求二重积分的计算方法。如图所示的积分区域称为X型区域。oxyab)(2xy)(1xyDoxyab)(2xy)(1xyD1．积分区域D为X型区域设D：)()(21xyxbxa①其中],[)(1baCx，],[)(2baCx。下面用切片法来计算二重积分Ddyxf),(所表示的柱体的体积。)()(21),()(xxdyyxfxA。)(xAxxxoxyDz)(2xy)(1xy),(yxfzab)(1x)(2x)(xA),(yxfzxyz)()(),()(xxdyyxfxA21.一般地，平面的平面且平行于上任一点过yozxba],[，与曲顶柱体相交所得截面的面积为从而得曲顶柱体的体积dxdyyxfdxxAVxxbaba]),()()()(21[，于是，二重积分dxdyyxfdyxfxxbaD]),(),()()(21[②公式②常记作)()(),(),(xxbaDdyyxfdxdyxf21。③这是把二重积分化为先对y后对x的二次积分的公式。记忆口诀：“先积一条线，再扫一个面”。用公式③时，必须是X型区域。X型区域的特点是：穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界相交不多于两点。oxyab)(2xy)(1xyDx)()(),(),(xxbaDdyyxfdxdyxf21。③)(1yx)(2yxoxyDcd)(1yx)(2yxoxyDcd如图所示的积分区域称为Y型区域。设D：)()(21yxydyc④其中],[)(1dcCy、],[)(2dcCy。2．积分区域D为Y型区域用公式⑤时，必须是Y型区域。Y型区域的特点是：穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界相交不多于两点。类似可得，二重积分)()(21),(),(yydcDdxyxfdydyxf⑤上式右端的积分称为先对x后对y的二次积分公式。)(1yx)(2yxoxyDcd当平行于坐标轴的直线与D的边界曲线的交点多于两点时，一般可把D分成几个子区域，分别按X型或Y型区域计算，然后再根据区域可加性得到在整个区域D上的二重积分。例如在图中，把D分成三部分，它们都是X型区域。D1D2D3oxy3．积分区域D既不是X型区域也不是Y型区域。D是X型的，可表示为D：)()(21xyxbxa；D又是Y型的，可表示为D：)()(21yxydyc，则有4．积分区域D既是X型区域又是Y型区域。.),(),(),()()()()(yydcxxbaDdxyxfdydyyxfdxdyxf2121oxyabcdD二重积分化为二次积分，确定积分限是关键。其定限方法如下：（1）在xoy平面上画出积分区域D的图形；（2）若区域D为X型的，则把D投影到x轴上，得投影区间],[ba，a和b就是对x积分的下限和上限。],[bax，过点x画一条与y轴平行的直线，假如它与边界曲线交点的纵坐标分别为)(1xy和)(2xy，且)()(12xx，则)()(21xx和就是对y积分的下限和上限。定限原则：（1）上限一定要大于下限，（2）最外层的限不允许有积分变量。)()(),(),(xxbaDdyyxfxdyxf21doxy)(2xy)(1xyDaxb解法1：D是X型的。例1．计算Dxyd，其中D是由直线1y，2x及xy所围成的闭区域。12oxyxy1y)2,2()1,2()1,1(x2121211]2[dxyxxydydxxydxxD.89]48[]22[2242131xxdxxx解法2：D是Y型的。2122221]2[dyxyxydxdyxydyyD.89]8[]2[22422131yydyyy21oxyyx2x注：①化二重积分为二次积分时，积分限的确定顺序与积分顺序相反。②在计算内积分时，外积分变量是常数。y解法1：先积x后积y，D：2,212yxyy，例2．计算Dxyd，其中D由xy2和2xy所围成。oxy2yx)1,1()2,4(2yx2212yyDxydxdyxyddyyyy])2([212152dyyxyy22122]21[.855]62344[21262341yyyy12yoxy2xy)1,1()2,4(xyxy1D：10xxyx，2D：412xxyx。.8552411021xxxxDDDxydydxxydydxxydxydxyd4D1D21解法2：先积y后积x，2121DDDDD且，因为2ye的原函数不是初等函数，则无法计算积分的值，故只能用先积x后积y的次序进行计算。yoxxy1y1解：若先积y后积x，得11022xyDydyedxde，例3．Dyde2，其中D是由直线xy，1y和y轴所围成。10010222dyyedxedydeyyyDy).1(21211102eey积分次序的选择原则：（1）第一原则—函数原则：必须保证各层积分的原函数能够求出。（2）第二原则—区域原则：若积分区域是X型（或Y型）则先对积分或)(xy。（3）第三原则—分块原则：若积分区域既是X型又是Y型且满足第一原则时，要使积分分块最少。例4．交换二次积分的积分次序。（1）yyf(x,y)dxdy240改变二次积分次序的关键是正确画出积分区域的图形，要经历“由限画图”和“由图定限”两个过程。先积y后积x，则21DDD，1D：xyxx2022，2D：xyx2020，yyf(x,y)dxdy240.20202022xxxf(x,y)dydxf(x,y)dydx解：先积x后积y，则D：yxyy240，yox4(2,4)22xyxy2-21D2D1D：21121xyy，2D：221xyy，解：先积x后积y，则21DDD，22D（2）22121121yyf(x,y)dxdyf(x,y)dxdy先积y后积x，D：xyxx121，∴2212y1121yf(x,y)dxdyf(x,y)dxdyxxf(x,y)dydx121。oxy1211D2xy1xy1