概率论与数理统计复习框架

概率论与数理统计知识点框架2015.6.7制作教学内容第一章随机事件及其概率第二章随机变量及其分布第三章随机变量的数字特征第四章大数定律与中心极限定理第一章随机事件及其概率随机事件概率1.事件的概念及种类2.事件发生的含义3.事件的关系4.事件的运算5.运算的性质1.事件的独立性事件的独立性与伯努利概型条件概率与全概公式2.伯努利概型1.概率的古典定义2.概率的公理化定义3.概率的性质1.条件概率2.乘法公式3.全概公式4.逆概公式（贝叶斯公式）例：某工厂有四个车间生产同一种计算机配件，四个车间的产量分别占总产量的15%、20%、30%和35%，已知这四个车间的次品率依次为0.04、0.03、0.02及0.01．现在从该厂生产的产品中任取一件，问恰好抽到次品的概率是多少？例：第一个箱中有10个球，其中8个事白球；第二个箱中有20个球，其中4个是白的.现从每个箱中任取一球，然后从这两球中任取一球，取到白球的概率是多少？例设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10,1/5,1/10及2/5.如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来迟到的概率分别为1/4，1/3，1/12.已知此人迟到，试推断他是怎样来的？第二章随机变量及其分布离散型随机变量及其分布连续性随机变量及其分布随机变量与分布函数1.离散型随机变量的分布1.随机变量的概念2.分布函数概念及其性质二维随机变量2.几种常见的离散型随机变量分布1.联合分布与边缘分布2.随机变量的独立性随机变量函数的分布1.概率密度概念及其性质2.几种常见的连续型随机变量的分布1.一维随机变量函数的分布2.二维随机变量函数的分布（离散型）例：设随机变量X的分布列如下表所示：求:(1)常数a;(2)P(X1),P(-2X≤0),P(X≥2).X-2-1012P(X=xk)a3a1/8a2aXkx10x2fx0kX()例已知连续型随机变量有概率密度其它求系数及分布函数F(x),并求P(1.52.5)袋中有两只白球三只黑球，有放回摸球两次，定义X为第一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，则(X,Y)的联合分布列为例XY010125925625625453525253Y的边缘分布列X的边缘分布列XP015352所以X和Y的边缘分布列分别为YP015352例26,,(,)0,.().XXYxyxfxyfx设随机变量和具有联合概率密度其他求边缘概率密度解yyxfxfXd),()(,10时当xyyxfxfXd),()(xxy2d6xy2xyOxy)1,1().(62xx,10时或当xx.0d),()(yyxfxfX.,0,10),(6)(2其他因而得xxxxfXxy2xyOxy)1,1(例设(X,Y)的联合分布律为且X与Y相互独立，试求和.1XY1913123218191,}3{}1{}3,1{YPXPYXP)91181)(18191(181.61又由分布列的性质,有1913118191187.92解由X与Y相互独立，知解例设(X,Y)的联合密度函数为问X与Y是否相互独立？X,Y的边缘密度分别为,010)1(4d8)(21其他xxxyxyxfxX，因为)()(),(yfxfyxfYX所以X,Y不相互独立.,010,08),(其他yyxxyyxf,0104d8)(30其他yyxxyyfyYxy011设(X,Y)的联合密度函数为问（1)试求常数c;(2)讨论X与Y是否相互独立？其他00,0),()43(yxceyxfyx15XYX2已知的概率分布为-2-1012P0.10.20.20.10.4求＝例+1的分布.82.,0,40,8)(的概率密度求随机变量其他的概率密度为设随机变量XYxxxfXX例17例:对一圆片直径X进行测量，其值在[5,6]上服从均匀分布，求圆片面积Y的概率密度.18XYX456P020503XY.已知与相互独立，其分布为求的分布例...Y23P0406..第三章随机变量的数字特征方差几种常见分布的数学期望与方差数学期望1.方差的定义2.方差的计算1.离散型随机变量的数学期望2.连续型随机变量的数学期望3.随机变量函数的数学期望4.数学期望的性质离散型：0-1分布、二项分布、泊松分布协方差与相关系数4.标准化随机变量3.方差的性质1.协方差概念及其性质3.相关系数取值的解释及不相关与相互独立的关系2.相关系数连续型：均匀分布、指数分布、正态分布例的分布律为：设离散型随机变量XXkp21011.04.03.02.0).(XE求：解：4.01.024.013.002.0)1()(XE概率密度为：设连续型随机变量X例01()2120xxfxxx其他).(XE求：解X-2-100.1P10.20.30.4例设随机变量X的概率分布如下：求)13(XE,2EX.41)13()13(iiipxXE4122iiipxEX.14.043.012.021.05.14.013.002.011.04例已知二维随机变量(,)XY的联合分布列为0XY1013130011013求()EXY.设X表示机床A一天生产的产品废品数，Y表示机床B一天生产的产品废品数，它们的概率分布如下：X0120.5P30.30.10.1例解Y0120.6P30.10.20.1问：两机床哪台质量好？设两台机床的日产量相等。.8.0)(E)(EYX均值相等,据此不能判断优劣,再求方差.X0120.5P30.30.10.1Y0120.6P30.10.20.1.8.0)(E)(EYX均值相等,据此不能判断优劣,再求方差.，6.11.091.043.015.00)(E2X,8.11.092.041.016.00)(E2Y.96.08.06.1)](E[)(E)(D222XXX.16.18.08.1)](E[)(E)(D222YYY由于D(X)D(Y)，因此，机床A的波动较机床B的波动小,质量较稳定.21,11,1()0,.().XxxfxDX设随机变量具有概率密度其他求例设(X,Y)的联合分布律为例解0XY1012.00.30.50Cov(,).XY求协方差E0.5XE()XY000.2010.3100.511000.50.5先求出边缘分布，E()0.3Y0.70.3)(E)(E)(E),(CovYXXYYX0.15例具有分布列为：设二维随机变量),(YXXY10110310310310试计算随机变量X与Y的相关系数.第四章大数定律与中心极限定理大树定律中心极限定理切比雪夫不等式1.切比雪夫大数定律1.独立同分布中心极限定理2.伯努利大数定律2.二项分布中心极限定理3.辛钦大数定律30例：一个螺丝钉重量是一个随机变量，期望值是1两，标准差是0.1两。求一盒（100个）同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率。例：对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量，其期望值为2，方差为1.69。求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率。例:设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏灯开灯概率都是0.6，而假定各盏灯开、关彼此独立，求夜晚同时开着的灯数在5800至6200之间的概率的近似值．（）（）6000,2400,EXDX~10000,0.6,XB解Ｘ表示同时开着的灯数，则3258006200PX58006000620060002400()2400XEXPDX（）24.0810.9999.从而