高中数学选修1-1(文)第二章 圆锥曲线与方程 例题与练习

@188.com第1页共39页第二章圆锥曲线与方程知识体系总览§2.1椭圆知识梳理1、椭圆及其标准方程（1）.椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F、2F的距离的和大于|1F2F|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F2F|，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F2F|，则动点的轨迹是线段1F2F.（2）.椭圆的标准方程：12222byax12222bxay（a＞b＞0）（3）.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x项的分母大于2y项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.2、椭圆的简单几何性质（a＞b＞0）.（1）．椭圆的几何性质：设椭圆方程12222byax,线段1A2A、1B2B分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，(2).离心率：ace221ba0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.(3)椭圆的焦半径：exaMF1，exaMF2.2a=2b+2c(4).椭圆的的内外部点00(,)Pxy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab(5).焦点三角形21FPF经常利用余弦定理．．．．、三角形面积公式．．．．．．．将有关线段1PF、2PF、2c，有关角21PFF结合起来，建立12PFPF、12PFPF等关系．面积公式：．．．．．圆锥曲线的截取（章导言）圆锥曲线的几何特征（2.1.1阅读材料）圆锥曲线的轨迹定义圆锥曲线的标准方程曲线的几何性质曲线的模型应用坐标法@188.com第2页共39页2tan2b§2.1.1椭圆及其标准方程典例剖析题型一椭圆的定义应用例1：评析：点P在椭圆上这个条件的转化常有两种方法：一是点P椭圆的定义，二是点P满足椭圆的方程，应该认真领会椭圆定义题型二椭圆标准方程的求法例2：已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（2,0）且过点53(,)22，求椭圆的标准方程解法1因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为22221(0)xyabab，由椭圆的定义可知：222253532(20(202102222a）（））（）10a又2222,6cbac所以所求的标准方程为221106xy解法222222,4cbaca，所以可设所求的方程为222214xyaa，将点53(,)22代人解得：10a所以所求的标准方程为221106xy评析求椭圆的标准方程总结有两种方法：其一是由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是先确定标准方程的类型，并将其用有关参数,ab表示出来然后结合条件建立,ab所满足的等式，求得,ab的值，再代人方程备选题例3：设点P是圆224xy上的任一点，定点D的坐标为（8，0），若点M满足2PMMD．当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程．解设点M的坐标为,xy，点P的坐标为00,xy，由2PMMD，得00,28,xxyyxy，即0316xx，03yy[e-mail]第3页共39页00,xy在圆224xy上，所以22004xy．即2231634xy，即2216439xy，这就是动点M的轨迹方程．评析本题中的点M与点P相关，我们得到0316xx，03yy是关键，利用点P在224xy上的条件，进而便求得点M的轨迹方程，此法称为代人法．点击双基1、．中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆方程是（C）A.22143xyB.22134xyC.2214xyD.2214yx2新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是（3，0），则椭圆的标准方程为（B）A新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆116922yxB新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆1162522yxC新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆1251622yxD新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆191622yx３.与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是(B)A1858014520125201202522222222yxDyxCyxByx4、椭圆5522kyx的一个焦点坐标是)2,0(，那么k________新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆15、椭圆的焦点为12(0,5),(0,5)FF，点(3,4)P是椭圆上的一个点，则椭圆的方程为新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解：焦点为12(0,5),(0,5)FF，可设椭圆方程为2222125yxaa；点(3,4)P在椭圆上，2221691,4025aaa，所以椭圆方程为2214015yx课外作业一、选择题1．已知椭圆1162522yx上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（D）A新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆2B新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆3C新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆5D新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆72．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(，则椭圆方程是（D）A．14822xyB．161022xyC．18422xyD．161022yx3．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（D）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1）4．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（C）A．116922yxB．1162522yxC．1162522yx或1251622yxD．以上都不对5．椭圆的两个焦点是F1(－1,0),F2(1,0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆方程是（C）。@188.com第4页共39页＋9y2＝1B16x2＋12y2＝1C4x2＋3y2＝1D3x2＋4y2＝16、椭圆)0(022nmmnnymx的焦点坐标为（C）A、nm,0B、nm,0C、mn,0D、mn,07．已知△ABC的顶点B、C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(C)（A）23（B）6（C）43（D）128．设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P满足条件)0(921aaaPFPF，则点P的轨迹是（A）A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段二、填空题9方程221||12xym表示焦点在y轴的椭圆时，实数m的取值范围是_______(1,3)(3,1)m10．与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为________1101522yx．11、如果M(x,y)在运动过程中，总满足关系式10)3()3(2222yxyx，则M的轨迹方程是2211625xy三、解答题12．将圆224xy上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线．答案：221,4xy椭圆13．答案：14．思悟小结1.要灵活运用椭圆的定义来解决问题，一般情况下涉及焦点问题则应首先考虑定义。2.要求椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面。“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心是原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”是指的2a与2b具体数值，常用待定系数法.当椭圆的焦点位置不明确时，可设方程为221(0,0)xymnmn，也可以设方程为221(0,0)AxByAB，避免讨论和繁杂的计算@188.com第5页共39页§2.1.2椭圆的简单的几何性质（第一课时）典例剖析题型一求椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标等．例1已知椭圆22(3)(0)xmymm的离心率32e，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解把椭圆的方程写成：2213xymmm，(2)0,033mmmmmmm3mmm，22,3mambm，22(2)33mmmcabmmm由32e，得(2)332mmmm，1,m椭圆的标准方程为：22114yx131,,22abc，故椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为1233(,0),(,0)22FF，四个顶点坐标分别为121111(1,0),(1,0),(0,),(0,).22AABB评析：解决此类问题的关键是将所给的方程正确地化成椭圆的标准方程，然后判断焦点在哪个坐标