2013高考总复习数学(理)专题03第7节 正弦定理和余弦定理

创新课堂第三单元第三单元三角函数、解三角形创新课堂第三单元第七节正弦定理和余弦定理创新课堂第三单元知识汇合1.设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，R是△ABC的外接圆半径．(1)正弦定理在一个三角形中，，即＝＝＝2R.(2)正弦定理的三种形式①a＝，b＝，c＝；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a∶b∶c＝.各边和它所对角的正弦的比相等asinAbsinBcsinC2RsinA2RsinB2RsinCa2Rb2Rc2RSinA∶sinB∶sinC创新课堂第三单元2.三角形常用面积公式(1)S＝12ah(h表示三角形长为a的边上的高)；(2)S＝＝＝＝；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．3.余弦定理三角形任何一边的平方等于．即a2＝，b2＝，c2＝或cosA＝，cosB＝，cosC＝.12ah12acsinB12bcsinA12absinC其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosCb2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab创新课堂第三单元考点一正弦定理、余弦定理的应用【例1】在△ABC中，已知a＝3，b＝2，B＝45°，求A、C和c.解方法一：∵B＝45°90°，且ba，∴此题有两解．由正弦定理，得sinA＝asinBb＝3sin45°2＝32，∴A＝60°或A＝120°.(1)当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，∴c＝bsinCsinB＝2sin75°sin45°＝6＋22.(2)当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，∴c＝bsinCsinB＝2sin15°sin45°＝6－22.∴A＝60°，C＝75°，c＝6＋22，或A＝120°，C＝15°，c＝6－22.典例分析创新课堂第三单元方法二：由余弦定理有b2＝a2＋c2－2ac·cosB，即(2)2＝(3)2＋c2－23c·cos45°，整理得c2－6c＋1＝0，解得c＝6＋22或c＝6－22.又cosA＝b2＋c2－a22bc，①当a＝3，b＝2，c＝6－22时，由①可得cosA＝－12，故A＝120°；当a＝3，b＝2，c＝6＋22时，由①可得cosA＝12，故A＝60°.所以A＝60°，C＝75°，c＝6＋22，或A＝120°，C＝15°，c＝6－22.创新课堂第三单元点拨已知三角形的两边及其中一边的对角，解三角形时，要对解的情况进行判断．例如，已知两边a，b及其中一边的对角A，解三角形时，要作如下判断：创新课堂第三单元考点二三角形的面积问题【例2】(2010·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝34(a2＋b2－c2)．(1)求角C的大小；(2)求sinA＋sinB的最大值．解(1)由题意可知12absinC＝34×2abcosC，所以tanC＝3.因为0Cπ，所以C＝π3.(2)由已知sinA＋sinB＝sinA＋sin(π－C－A)＝sinA＋sin2π3－A＝sinA＋32cosA＋12sinA＝3sinA＋π6≤3.当△ABC为正三角形时取等号，所以sinA＋sinB的最大值是3.创新课堂第三单元考点三判断三角形的形状【例3】(2010·辽宁)在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状创新课堂第三单元解(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，A＝120°，(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，得sinB＝sinC＝12.因为0°B90°，0°C90°，故B＝C.所以△ABC是等腰的钝角三角形．创新课堂第三单元创新课堂第三单元考点四正、余弦定理的综合应用【例4】(2010·陕西)在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．解在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得cos∠ADC＝AD2＋DC2－AC22AD·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得ABsin∠ADB＝ADsin∠B，∴AB＝AD·sin∠ADBsin∠B＝10sin60°sin45°＝10×3222＝56.创新课堂第三单元创新课堂第三单元1.从近两年课改地区高考试题来看，本部分既有选择、填空题的考查，又有解答题的考查，分值8分左右，属于中档题．2.正、余弦定理能够解决的四种类型的解三角形问题均有考查．高考体验创新课堂第三单元【2012高考真题新课标理17】（本小题满分12分）已知,,abc分别为ABC三个内角,,ABC的对边，cos3sin0aCaCbc（1）求A（2）若2a，ABC的面积为3；求,bc.【答案】（1）由正弦定理得：cos3sin0sincos3sinsinsinsinaCaCbcACACBCsincos3sinsinsin()sin13sincos1sin(30)2303060ACACaCCAAAAA（2）1sin342SbcAbc2222cos4abcbcAbc创新课堂第三单元1.已知△ABC中，a＝2，b＝3，B＝60°，那么角A等于()A.135°B.90°C.45°D.30解析：由正弦定理asinA＝bsinB，得2sinA＝332，解得sinA＝22.又a＝2b＝3，所以AB，所以A＝45°.答案：C2.△ABC的边分别为a、b、c，且a＝1，c＝42，B＝45°，则△ABC的面积为()A.43B.5C.2D.62解析：S△ABC＝12acsinB＝12×1×42×sin45°＝2.答案：C练习巩固创新课堂第三单元3.(2010·上海)若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC()A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析：在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，∴a∶b∶c＝5∶11∶13，令a＝5k，b＝11k，c＝13k(k0)，cosC＝a2＋b2－c22ab＝25k2＋121k2－169k22×5×11k2＝－231100，又∵C∈(0，π)，∴C∈π2，π，∴△ABC为钝角三角形，故选C.答案：C创新课堂第三单元4.在△ABC中，若sinC＝2cosAsinB，则此三角形必是()A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.有一角为30°的直角三角形解析：由sinC＝2cosAsinB，得sin(A＋B)＝2cosAsinB，即sinAcosB＋cosAsinB＝2cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，所以sin(A－B)＝0.又因为－πA－Bπ，所以A－B＝0，即A＝B.答案：A创新课堂第三单元5.(2010·北京)在△ABC中，若b＝1，c＝3，∠C＝2π3，则a＝________.解析：∵c2＝a2＋b2－2ab·cosC，∴(3)2＝a2＋12－2a·1·cos23π，∴a2＋a－2＝0，∴(a＋2)(a－1)＝0，∴a＝1.答案：1创新课堂第三单元6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝π3，cosA＝45，b＝3.(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面积．解析：(1)∵角A、B、C为△ABC的内角，且B＝π3，cosA＝45，∴C＝2π3－A，sinA＝35.∴sinC＝sin2π3－A＝32cosA＋12sinA＝32×45＋12×35＝3＋4310.(2)由(1)知sinA＝35，sinC＝3＋4310.又∵B＝π3，b＝3，∴在△ABC中，由正弦定理得a＝bsinAsinB＝65.于是△ABC的面积S＝12absinC＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350.创新课堂第三单元7.在△ABC中，若bcosCccosB＝1＋cos2C1＋cos2B，试判断△ABC的形状．解析：由已知1＋cos2C1＋cos2B＝1＋2cos2C－11＋2cos2B－1＝cos2Ccos2B＝bcosCccosB，∴cosCcosB＝bc.由正弦定理知bc＝sinBsinC，∴cosCcosB＝sinBsinC.即sinCcosC＝sinBcosB，也即sin2C＝sin2B.∵∠B、∠C为△ABC的内角，∴2C＝2B或2B＋2C＝180°，即∠B＝∠C或∠B＋∠C＝90°.综上所述，△ABC为等腰三角形，或为直角三角形．创新课堂第三单元8.在△ABC中，若C＝3B，求cb的取值范围．解析：∵A＋B＋C＝π，C＝3B，∴A＝π－4B0.∴0Bπ4，∴0sin2B12.又∵cb＝sinCsinB＝sin3BsinB＝3－4sin2B，∴13－4sin2B3，∴1cb3.创新课堂第三单元9.(2010·安徽)△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA＝1213.(1)求AB→·AC→；(2)若c－b＝1，求a的值．解析：由cosA＝1213，得sinA＝1－12132＝513.又12bcsinA＝30，∴bc＝156.(1)AB→·AC→＝bccosA＝156×1213＝144.(2)a2＝b2＋c2－2bccosA＝(c－b)2＋2bc·(1－cosA)＝1＋2×156×1－1213＝25，∴a＝5.创新课堂第三单元10.【2012高考真题陕西理9】在ABC中，角,,ABC所对边长分别为,,abc，若2222abc，则cosC的最小值为（）A.32B.22C.12D.12【答案】C.【解析】由余弦定理知214242)(212cos222222222abababbaabbabaabcbaC，故选Ｃ．创新课堂第三单元11.【2012高考真题浙江理18】(本小题满分14分)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA＝23，sinB＝5cosC．(Ⅰ)求tanC的值；(Ⅱ)若a＝2，求ABC的面积．【答案】本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。(Ⅰ)∵cosA＝23＞0，∴sinA＝251cos3A，又5cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA＝53cosC＋23sinC．整理得：tanC＝5．创新课堂第三单元(Ⅱ)由图辅助三角形知：sinC＝56．又由正弦定理知：sinsinacAC，故3c．(1)对角A运用余弦定理：cosA＝222223bcabc．(2)解(1)(2)得：3borb＝33(舍去)．∴ABC的面积为：S＝52．