中值定理

第四章中值定理与导数的应用4.1微分中值定理费马(fermat)引理是或最小值,并且证:不妨假设则00xyo0x设罗尔(Rolle)定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使.0)(fxyoab)(xfy证:故在[a,b]上取得最大值M和最小值m.若M=m,则因此在(a,b)内至少存在一点设若Mm,则M和m中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使.0)(f注意:定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,x1yo则由费马引理得x1yo1x1yo例证明方程,15)(5xxxf,0)(0xf有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则)(xf在[0,1]连续,且由介值定理知存在,)1,0(0x使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有在以因为)(xf10,xx为端点的区间满足罗尔定理条件,之间所以在10,xx至少存在一点但矛盾,故假设不真!设拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导则至少存在一点使.)()()(abafbffxyoab)(xfy作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:)(x)(xf.)()(xabafbf)(a由罗尔定理知至少存在一点,)(babbfaafb)()(设拉格朗日中值定理的有限增量形式推论若函数在区间I上满足则在I上必为常数.证:在I上任取两点日中值公式,得0由的任意性知,在I上为常数.)10()(0xxxfy令则例证明等式证:设由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:),(x,2cotarcarctanxx例证明不等式证:设,)1ln()(ttf中值定理条件,即因为故.)0()1ln(1xxxxx因此应有柯西(Cauchy)中值定理及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内那么至少存在一点使得.)()()()()()(FfaFbFafbf满足:如果函数证:作辅助函数)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx)()()()()()()()(baFbFbFafaFbfa,),(,],[)(内可导在上连续在则babax且使即由罗尔定理知,至少存在一点.)()()()()()(FfaFbFafbf第四章中值定理与导数的应用4.2洛必达法则在这一节,我们主要求下列七种未定式的极限:)()(lim)3xgxfx存在(或为).)()(lim)()(limxgxfxgxfaxax,)()()2可导与xgxf设洛必达法则:的某去心领域内满足下列条件:则例求解:该极限为型.由洛必达法则,有例求解:原式例求解:原式11limnxxxnnxxn1lim0例求解:(1)n为正整数的情形.原式0xnxexn1limxnxexnn22)1(limxnxen!lim.)0,0(limnexxnx例求.)0,0(limnexxnx(2)n不为正整数的情形.nx从而xnexxkexxkex1由(1)0limlim1xkxxkxexexkx1kx存在正整数k,使当x1时,其他未定式:解决方法:通分000取倒数0010取对数例求).0(lnlim0nxxnx解:原式nxxxlnlim0110limnxxxn0.)tan(seclim2xxx解:原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim2例求例求.lim0xxx解:xxx0limxxxeln0limxxxelnlim1xxe1lim0e例求.)sin(coslim210xxxxx解:令,)sin(cos21xxxxy取对数得).sinln(cos1ln2xxxxy于是200)sinln(coslimlnlimxxxxyxxxxxxxxx2cossincos1lim0)sin(cos2coslim0xxxxx.21所以210)sin(coslimxxxxxyxln0elimyxlnlim0e.e21例求.sintanlim20xxxxx解:注意到～原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxxxx22tan1sec31第四章中值定理与导数的应用4.3函数单调性的判别法函数单调性的判别法若设函数则在I内单调递增,)0)((xf(递减).证:无妨设任取由拉格朗日中值定理得0故这说明在I内单调递增.在开区间I内可导,例确定函数的单调区间.解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)(xf得2,1xxx)(xf)(xf)1,(2001)2,1(),2(21故的单调增区间为,)1,();,2(的单调减区间为).2,1(12xoy12例证明当x0时,有证明:令则当x0时,所以函数在区间内单调递增.又因此当x0时,即第四章中值定理与导数的应用4.4函数的极值与最值函数的极值(1)则称为的极大值点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小值点,称为函数的极小值.极大值点与极小值点统称为极值点,极大值与极小值统称为极值.如果在的某个去心领域内,有定理(极值第一判别法),)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,,0时由小到大通过当xx(1))(xf“左正右负”,.)(0取极小值在则xxf(2))(xf“左负右正”,.)(0取极大值在则xxf3x1x4x2x5xxaboy41,xx为极大点52,xx为极小点3x不是极值点例求函数的极值.解:1)求导数32)(xxf3132)1(xx35235xx2)求极值可疑点令,0)(xf得;521x令,)(xf得02x3)列表判别x)(xf)(xf0520033.0)0,(),0(52),(52是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为定理(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.函数的最值及其求法函数的最值点只可能是:驻点,不可导点,端点.对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.例3.21求函数在闭区间大值和最小值.解:显然上的最在开区间内可导,求导数得令解得在开区间内的驻点:由于比较可得最大值为最小值为例铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20AC⊥AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货D点应如何选取?20AB100C解:设,(km)xADx则,2022xCD,)34005(2xxky23)400(40052xky令得又所以为唯一的15x极小点,故AD=15km时运费最省.总运费物从B运到工厂C的运费最省,从而为最小点,问DKm,公路,第四章中值定理与导数的应用4.5函数曲线的凹凸性及其判别定义设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是向下凸(凹)的;(2)若恒有则称的图形是向上凸(凸)的.曲线的凹凸性与拐点yox1x221xx2xyox2x1x221xx(1)在I内则在I内图形是下凸的;(2)在I内则在I内图形是上凸的.设函数在区间I上有二阶导数,则凹凸判定法例判断曲线的凹凸性.解:,362xxy所以曲线在上是向下凸的.所以曲线在上是向上凸的.(1)若)(xf在两侧异号,0x则点))(,(00xfx是曲线的一个拐点.拐点的充分条件定义连续曲线上凹凸性发生变化的点称为曲线的拐点.定理设函数在点的某个领域内连续,在去心领域(2)若)(xf在两侧同号,0x则点))(,(00xfx不是曲线的一个拐点.)(3632xx例求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求:y,121223xxy2)求拐点可疑点坐标令0y得,,03221xx对应3)列表判别271121,1yy)0,(),0(32),(32yxy0320012711故该曲线在)0,(),(32及上向下凸,向上凸,点(0,1)及),(271132均为拐点.上在),0(3232)1,0(),(271132第四章中值定理与导数的应用4.6函数作图无渐近线.点M与某一直线L的距离趋于0,则称直线L为曲线曲线的渐近线定义若曲线C上的点M沿着曲线无限地远离原点时,C的渐近线.例如,双曲线有渐近线0byax但抛物线NLbxkyMxyoC)(xfyPxyo水平与垂直渐近线若则曲线有水平渐近线.by)(x或若则曲线有垂直渐近线.0xx)(0xx或例求曲线的渐近线.解:2)211(limxx2y为水平渐近线;,)211(lim1xx1x为垂直渐近线.21斜渐近线斜渐近线.bxky若)(bxk0])([lim)(xbkxxfxx)(bxk0])([lim)(xbkxxfx])([lim)(xbxxfkx，xxfkx)(lim)(].)([lim)(xkxfbx其中例求曲线的渐近线.解:,)1)(3(3xxxy,lim3yx)1(x或所以有铅直渐近线3x及1x又因xxfkx)(lim32lim22xxxx])([limxxfbx3232lim22xxxxx2xy为曲线的斜渐近线.312xy函数图形的描绘1.确定函数的定义域,期性.3.求并求出及4.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点.2.确定曲线的渐近线,把握函数的变化趋势.5.确定某些特殊点,描绘函数图形.为0和不存在的点.间断点,奇偶性称与周例描绘的图形.解:1)定义域为无对称性及周期性.2),22xxy,22xy,0y令,0y令3)xyyy012)0,()1,0()2,1(),2(00234(极大)(拐点）32(极小)4)xy1332201231