线性空间习题

线性空间习题所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1．次数等于)1(nn解：不构成。因两个n次多项式相加不一定是n次多项式。例如(5)(2)3nnxx的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；AnnA)(Af解：构成.令|为实系数多项式，是实矩阵}V)(Af)(xfAnn;fxgxhxkfxdx则有;fAgAhAkfAdA由于矩阵的加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条规则，故V2．设是一个构成线性空间。实矩阵，的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；的实系数多项式3．全体n解：构成。因为实对称(反对称，上三角，下三角）之和、之倍数仍为实对称(反对称，上三角，下三角），故做成线性空间。级实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；4．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；解：不构成。例如，以那个已知向量为对角线的任意两个向量，它们的和不属于这个集合。5．全体实数的二元数列，对于下面定义的运算1122121212,,,ababaabbaa解：构成。6．平面上的全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：0k解：不能构成。因为10，不满足规则5。7．集合与加法同6）数量乘法定义为：k解：不能构成。因为kl2klklkl8．全体正实数，加法与数量乘法定义为：ababkkaa解：能构成。显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，且满足八条规则。求下列线性空间的维数与一组基9．数域PnnP解：nnP1112121212nnnnnnaaaaaaAaaa上的空间的元素为000010000ijE于是11nnijijijAaE是nnP2nijE(,1,2,,)ijn令维，基是10．nnP解：i)令0110ijF，其余都是零，1ijjiaa所以是111222,...,,,...,,...,nnnnFFFFF(1)2nn中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的数域P上的空间是对称矩阵所成空间的一组基，维的。ii)令0110ijG，其余均为零,1ijjiaa所以它是nnnnGGGGG,1223112,...,,...,,...,2)1(nn是反对称阵所成空间的一组基，维的。iii)令......1......ijH)(ji所以是nnnnHHHHH,...,,...,,,...,222111(1)2nn是上三角阵所成空间的一组基，维。11．第3题8）中的空间解：数1是“零”元，任一不等于1的正实数都是线性无关的向量，取空间一非“零”元，例如，取2，对于任一正实数，a2)(log2aa所以此空间是一维的，2是一组基，或者说，任意非“零”元都可作R可经2线性表出。的基。12．实数域上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间，其中21000000A132i解：因为21,2313i)23()13()3(12qnqnqnn所以21AEA1113而)23()13()3(2qnqnqnAAEAn下证2,,AAE令,3221OEkAkAk线性无关。即00032213221321kkkkkkkkk其系数行列式0)(311111222故方程只有零解：0321kkk线性无关，由它们作基，构成三维线性空间。2,,AAE在中，求由基到基的过渡矩阵，并求向量在所指基下的坐标.设4P4321,,,43,21,,13．),3,1,6,6(),1,2,3,5(),0,1,3,0(),1,1,1,2(),1,0,0,0(),0,1,0,0(),0,0,1,0(),0,0,0,1(11214321在),,,(4321xxxx4321,,,下的坐标；解：4321,,,4321,,,3101121163316502A4321,,,4321,,,14321,,,A14．),2,1,3,1(),2,1,1,2(),2,2,1,0(),1,0,1,2(),1,0,1,1(),1,1,2,1(),1,1,1,1(),0,1,2,1(11214321在)0,0,0,1(4321,,,解：令),1,0,0,0(),0,1,0,0(),0,0,1,0(),0,0,0,1(4321eeee下的坐标；4321,,,4321,,,eeee1110011112121111Aeeee4321,,,Beeee4321,,,22211120311112024321,,,4321,,,eeee由前式得143214321,,,,,,Aeeee代入后一式得BA143214321,,,,,,15.证明：实数域作为它自身上的线性空间与第3题8）中的空间同构。证：因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同构。16.设,都是线性空间的子空间，且证明：如果的维数和的维数相等，那么。1V2VV1V2V1V2V21VV证：设rV1dimr,...,,1121VVr,...,,1121VV所以也是的一组基，2V且它们的维数相等，因为，可找到一组基17.设nnPA1)证明：全体与AnnPAC2)EAAC3)nA...000...............0...0200...001AC记作的一子空间，可交换的矩阵组成时，求时，求的维数和一组基。证：1)全体与A可交换的矩阵的集合记为)(0,ACAC)(,ACDB,)()(ADBDABAADABDBA)(ACDB,)()()()(AkBBAkABkkBA)(ACkB构成子空间。AC2)EAnnPAC3)设为可与交换的矩阵，由第四章习题5可知，只能是对角矩阵，故维数为;)(ijbBABnnnEEE,...,,2211时，为一组基。18.证明：和siiV1),...,2(011siVVijji证：必要性：，011ijiiijjiVVVV所以011ijjiVV充分性（反证法）：设siiV1（1）s...021不是直和，那么零向量还有一个分解式：是直和的充要条件是其中，),...,2,1(sjVjj在式（1）中设最后一个不为零的向量是，)(skk0,,...021kjjkV这时kk121...因此11kjjkVkkV011kjjkVV那么式（1）变为，又，这与矛盾。19.设213010001A求33PA解：SEA113000000100010001设222111cbacbacbaBA与可交换，即可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。中全体与),()(,SEBBSEBAAB得BSSBSB222111cbacbacba113000000222111333ccccccccc212121222111333000000113000000cccbbbaaacbacbacbaBS由对应元素相等，得221221221133330cccccbbbcaaacc(1)方程组(1)的系数矩阵秩为2，解空间维数为5。与A,0022211cbababaB2,ca2211,,,,babab110000001,0010000031,100010001,0000010031,300000013其一组基由上面得到可经可交换的矩阵为表示，20.求由下列向量生成的子空间的交的基与维数。设)1,1,1,1()0,1,2,1(21)7,3,1,1()1,0,1,2(21解：设交的向量,22112211llkk则有,022112211llkk即(1),07,03,02,0221222121212121llklkkllkkllkk算得且,07110301111121211D0011112211方程(1)的解空间维数为1，交的维数也为1。任取一非零解，)1,3,4,1(),,,(2121llkk)4,3,2,5(421即它们的交为)(L得交的一组基：，是一维的，就是一组基。21.设与分别是齐次方程组与的解空间，1V2V0...21nxxxnnxxxx121...证明：21VVPn证：0...21nxxx1n),0,...,0,1,1(1,),0,...,1,0,1(2)1,...,0,0,1(1n由nnxxxx121...的解空间是取基为维，即,0...,0,013221nnxxxxxx其系数矩阵,11...000..................00...11000...011A因此解空间是一维的，令1)(nAR1nx)1,...,1,1(基为(1),,...,,121n故向量(1)是,0111110...001...............0...1010...011nP中任意元可经向量组(1)表示，从而nP21VVPn)dim()dim()dim(21VVPn21VVPn的一组基。取