中科大数学分析历年期中期末考试及小测验试题

数数数学学学分分分析析析(B)历历历年年年考考考试试试真真真题题题说说说明明明1.这里收录了若干套中国科学技术大学数学分析(B)测验以及考试真题，以及一套数学分析(A)的试题作为样卷.2.排序顺序优先考虑知识涵盖范围，其次为时间先后.即先B1后B2，期中复习请参考标注有期中试卷及其前面的测验试卷，因为在它们后面试卷都会涉及到期中考试之后的内容.3.本附录的主要作用是供同学们考试之前模拟使用，越靠近现在的考卷越能接近现在的出题风格.4.没有参考答案，希望读者自行思考，同时熟悉题目类型.建议本门课程的助教在平时习题课先将学过的部分的测验题进行讲解，在考前习题课讲解对应的考试题.5.正值科大60周年校庆，亦为少年班成立40周年之际，谨以此真题集锦，献礼科大，也便于以后的助教的习题课工作和同学们复习本门课程.感谢李平教授和17级少创班同学们提供往年题目.再次祝愿科大数学教育越办越好！2017-2018秋季学期数学分析(B1)助教2017-2018春季学期数学分析(B2)助教15级理科试验1班吴天2018年4月于合肥12中中中国国国科科科学学学技技技术术术大大大学学学2011-2012学学学年年年第第第一一一学学学期期期数数数学学学分分分析析析(B1)第第第一一一次次次测测测验验验1.(10分)用数列极限的定义证明limn!1n2n+sinn=12:2.(10分)设函数f(x)在x0有定义.请叙述极限limx!+1f(x)存在有限的Cauchy判别准则.3.(40分)求下列极限(其中的n都是正整数)：(1)limn!1n32rn+sin1npn(2)limx!1x3x2+2x2x21(3)limn!1(2n+3n)1n(4)limx!0(2cosx)1x24.(10分)设正数列fang满足an+16ban，n=1;2;


，其中0b1.求证：数列Sn=nXk=1ak收敛.5.(10分)设a1=1，an+1=an+sinan2，n=1;2;


.讨论数列fang的收敛性和极限.6.(10分)设E是非空有上界的数集，且它的上确界a不在E中.求证：E有数列fxng严格递增趋于E的上确界.7.(10分)设f(x)是定义在实轴R上的函数且对任意x;y有jxf(y)yf(x)j6Mjxj+Mjyj，其中M0.求证：(1)limx!1f(x)x收敛.(2)存在常数a使得对任意x有jf(x)axj6M.3中中中国国国科科科学学学技技技术术术大大大学学学2011-2012学学学年年年第第第一一一学学学期期期数数数学学学分分分析析析(B1)第第第二二二次次次测测测验验验1.(50分)计算题.(1)求函数f(x)=xex2在R上的最大值，最小值和凸凹区间.(2)计算极限limx!+11+1xx2ex:(3)计算极限limx!02cosxp1+6xe3xln(1x2):(4)计算4p2，精确到103.(注意：要求给出计算过程，不允许使用计算器)(5)水果公司在对其最新电子产品iDayDream售前市场调研发现，如以3000元的价格出售iDayDream，会有一百万顾客有购买意向，此时每台iDayDream会有1000元的利润；而每当价格提升或者降低100元，潜在顾客会在原来基础上降低或增加5%.试求对水果公司而言iDayDream的最佳定价以及此时的利润.(在计算中，你可以使用：当x靠近0时，ln(1+x)x)2.(10分)设多项式f(x)=kYi=1(xxi)ni，其中k2，n1;


;nk为正整数，且kXi=1ni=n，x1x2


xk:证明：对于16i6k1，存在xiixi+1，使得f0(x)=nkYi=1(xxi)ni1k1Yi=1(xi):3.(10分)设p;q为正实数且1p+1q=1:求证：对于x1;x20，x1x26xp1p+xq2q:4.(10分)设函数f(x)在区间[A;A](A为正常数)上满足f00=f.证明：f(x)=f(0)cosx+f0(0)sinx:5.(20分)设f(x)在[a;b]上1阶可导，在(a;b)内2阶可导，且f(a)=f(b)=0，f0(a)f0(b)0.证明：(1)存在2(a;b)，f()=0.(2)存在a12b，f0(1)=f(1)，f0(2)=f(2).(3)存在2(a:b)，f00()=f().4中中中国国国科科科学学学技技技术术术大大大学学学2012-2013学学学年年年第第第一一一学学学期期期数数数学学学分分分析析析(B1)第第第一一一次次次测测测验验验1.(20分)判断下列命题的真伪，并说明理由.(1)若对任意0，存在无穷多个n，使得janaj，则数列fang收敛于a；(2)若对任意0，存在正整数N，当nN时，janaNj，则数列fang收敛；(3)若f:[2;2]![1;1]连续，则存在x02[2;2]使得f(x0)=x0；(4)若f:R!R一致连续，则f有界.2.(32分)计算下列极限.(1)limn!11+1n1n(2)limn!1n(n1)r11n(3)limx!+1x+3x+12x(4)limx!0tanx(p1+sinx1)1cos(sinx)3.(10分)设f(x)=limn!11+x2enxx+enx:求f(x)，并研究其连续性.4.(10分)设函数f:(0;+1)!(1;+1)满足：对任意x2(0;1)，f(x)=f(x2).若f(x)在x=1处连续，证明f(x)为常值函数.5.(12分)设1，x10，xn+1=(1+xn)+xn(n=1;2;


):求limn!1xn:6.(8分)设an=nXk=1(1)k1k，判断数列fang的收敛性.7.(8分)设数列fang满足limn!1ann=0，证明：limn!11nmax16k6nfakg=0:5中中中国国国科科科学学学技技技术术术大大大学学学2012-2013学学学年年年第第第一一一学学学期期期数数数学学学分分分析析析(B1)第第第二二二次次次测测测验验验1.(35分)计算.(1)x2ex的n阶导数.(2)已知sin(xy)+y2=x，求dydx:(用x;y的函数表示)(3)limx!01cosx2x3sinx:(4)limx!1x(a1xb1x)，a;b0:(5)limx!0(1+x)1xe1x:(6)limx!01cosxcos2xcos3x1cosx:(7)求函数lnx，x0的曲率.2.(10分)求证A:=maxfnpn:n=1;2;


g存在，并求出相应的n0使得n0pn0=A.3.(10分)求常数a;b使得f(x)=8:tan2(ax)x;x0(2a1)x+b;x60在定义域上可导.4.(15分)设函数f在区间I上可导.证明f(x)在I上一致连续的充分条件是导函数有界.并举例说明必要性不成立.5.(15分)设有界闭区间[a;b]上函数f(x)满足fx+(1)y
6f(x)+(1)f(y)，8x;y2[a;b]，2(0;1):证明f(x)在[a;b]上有界.6.(15分)设f(x)在0附近有2阶连续导数，且f00(0)6=0.求证，对任意x，如果jxj充分小时，则存在唯一2(0;1)使得f(x)=f(0)+f0(x)x:并求limx!0:6中中中国国国科科科学学学技技技术术术大大大学学学2013-2014学学学年年年第第第一一一学学学期期期数数数学学学分分分析析析(B1)第第第一一一次次次测测测验验验1.(10分)用数列极限的定义证明limn!1n2n+(1)np2=12:2.(18分)判别下面两个极限是否收敛？(1)limx!+1(1)[x]xx+1(2)limn!1nXk=1(1)k1lnkk33.(32分)求下列极限(其中的n都是正整数)：(1)limn!1nXk=11n+(1)kpk(2)limx!01+ln(2x+1)
1sinx(3)limx!0npx+11x(4)limn!1(n+lnn)n
2(0;1)
4.(15分)设g(x)在(1;+1)上是单调函数，f(x)=sing(x).求证f(x)在任意点x0的左右极限都存在.5.(15分)设数列fang收敛于a，且相邻两项之差为整数.求证：从某项开始都有an=a.6.(10分)设a1=1，an+1=1+2an(n2N).求证：fang收敛，并求其极限.7中中中国国国科科科学学学技技技术术术大大大学学学2013-2014学学学年年年第第第一一一学学学期期期数数数学学学分分分析析析(B1)第第第二二二次次次测测测验验验1.(12分)试确定常数a;b的值，使得f(x)=limn!1x2n1+ax2+bxx2n+1为连续函数.2.(12分)设函数f(x)在点x=0处有二阶导数且limx!0f(x)x=0，求f(0);f0(0);limx!0f(x)x2:3.(12分)设函数f(x)在点x0处二阶可导，f0(x0)6=0，求limx!x01f(x)f(x0)1(xx0)f0(x0):4.(12分)设由参数方程8:x=etsinty=etcost确定y是x的函数，求dydx和d2ydx2:5.(12分)设函数f(x)在x=0处可导，在什么条件下，jf(x)j在x=0处也可导？6.(10分)设函数f(x)在x=1处连续，且对任意x;y2(0;+1)，满足f(xy)=f(x)+f(y).证明f(x)在(0;+1)上连续.7.(10分)利用微分学的方法证明：当自然数n9时，(pn)pn+1(pn+1)pn.8.(10分)今年，中国田径运动员在男子百米比赛中创造了10秒整的全国纪录.有人说这位运动员在这次比赛中一定在某个一秒钟的时间内正好跑了10米.这个说法正确吗？请给出你的证明.9.(10分)设函数f(x)在[a;b]上连续，在(a;b)内有二阶导数，且满足f00(x)=exf(x)，f(a)=f(b)=0，证明：f(x)0.8中中中国国国科科科学学学技技技术术术大大大学学学2015-2016学学学年年年第第第一一一学学学期期期数数数学学学分分分析析析(B1)第第第一一一次次次测测测验验验1.(10分)用函数极限的定义证明limx!11x1x2+x+2x3+x2x1=14:2.(10分)数列fpnpn+(1)npn
g是否收敛？说明理由.3.(20分)求下面数列的极限：(1)limn!1(n!)knn(k2N)(2)limn!11+2sin1nn4.(20分)求下面函数的极限：(1)limx!1x2+2x32x2+8x10(2)limx!0cosxcos2xx25.(10分)函数xsinx在(0;+1)是否有界，当x!+1时是否为无穷大量？说明理由.6.(10分)求数列fn+12n1sinn2g的上极限和下极限.7.(10分)设数列fang由a1=1，an+1=an+1an(n1)定义.判断数列nanpno是否收敛，若收敛，则求其极限.8.(10分)设a1=1，a2=2，an+1=3n12nann12nan1(n=2;3;


):求证数列fang收敛.9中中中国国国科科科学学学技技技术术术大大大学学学2015-2016学学学年年年第第第一一一学学学期期期数数数学学学分分分析析析(B1)第第第二二二次次次测测测验验验1.(1)设f(x)=ax+bcx+d(x6=dc)，求f(n)(x).(2)对由参数方程8:x=tsinty=1cost确定的函数y=y(x)，求d2ydx2:2.求极限：(1)limx!01x2cotxx(2)limx!+1he2x+x2(1+1x)xei3.证明：(1)不等式npxnpy6npxy对任何xy0成立.(2)不等式cotx1x22对任何x6=0成立.4.求函数f(x)=exnXk=0xkk!